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等差数列前n项和2


等差数列的 前n项和(2)

1 2 2008 f( )? f( ) ??? f ( )? 2009 2009 2009
2.

例1

例2

例3 (2010 年高考山东卷 ) 已知等差数列 {an} 满

足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和

为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 an-1 Tn.
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26,解得 a1=3,d= 2. n?a1+an? 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= , 2 所以 an=2n+1,Sn=n(n+2).

2 (2)因为 an=2n+1,所以 an -1=4n(n+1), 1 11 1 因此 bn= = ( - ). 4n?n+1? 4 n n+1 故 Tn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = (1- + - +…+ - ) n n+1 4 2 2 3 1 1 n = (1- )= . 4 n+1 4?n+1? n 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1?

例4 根据下列条件,确定数列{an }的通项公式. (1)已知数列{an }的前n项和Sn =n2 ? 9n, (2)已知数列{an }满足a1 ? 1, Sn ? n2an .

(1)解:当n ? 1时, a1 ? S1 ? ?8, 当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? ( n2 ? 9n) ? [( n ? 1)2 ? 9( n ? 1)] ? 2n ? 10. ? ?8, n ? 1, ? an ? ? ? 2n ? 10, n ? 2. * 即an ? 2n ? 10( n ? N ).

例4 根据下列条件,确定数列{an }的通项公式. (1)已知数列{an }的前n项和Sn =n2 ? 9n, (2)已知数列{an }满足a1 ? 1, Sn ? n2an .

(2)解:当n ? 1时,已知a1 ? S1 ? 1. 当n ? 2时, an ? Sn ? S n?1 =n 2an ? ( n ? 1)2 an-1 ,
2 a ( n ? 1) n?1 2 2 n ? ( n ? 1)an =( n ? 1) an-1 , 即 = 2 = . an-1 n ? 1 n ? 1

a n ?1 a n a 2 a 3 a4 a 5 ? ? ? ? ?? ? a1 a2 a3 a4 an? 2 an?1 1 2 3 4 n? 2 n?1 1? 2 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2( ? ). 3 4 5 6 n n ? 1 n( n ? 1) n n?1 1 1 ? an ? 2( ? ), 检验可知n ? 1时也符合. n n?1

课堂小结

等差数列前n项和公式
(倒序相加法)

n(a1 ? an ) Sn ? 2

an ? a1 ? ? n ?1? d
n(n ? 1) 变形 d 2 ? d? S n ? na1 ? d Sn ? n ? ? a1 ? ? n 2 2 2? ?
是关于n的二次函 数且缺常数项.

例4 (1)设等差数列的前 n 项和为 Sn, 已知前 6

项和为 36, Sn=324, 最后 6 项的和为 180(n>6), 求数列的项数 n 及 a9+a10; (2)等差数列{an}、 {bn}的前 n 项和分别为 Sn、 Tn, S n 3n- 1 a8 且T = ,求 的值. b8 2n+ 3 n

【解】 (1)由题意可知 a1+a2+…+a6=36,① an+an-1+an-2+…+an-5=180,② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5) =6(a1+an)=216,∴a1+an=36. n?a1+an? 又 Sn= =324, 2 ∴18n=324.∴n=18.∴a1+a18=36. ∴a9+a10=a1+a18=36.

Sn 3n-1 (2)∵ = , Tn 2n+3 S15 3×15-1 44 4 ∴ = = = . T15 2×15+3 33 3 15?a1+a15? ∵S15= =15a8, 2 15?b1+b15? T15= =15b8, 2 a8 15a8 S15 4 ∴ = = = . b8 15b8 T15 3

互动探究 的值.

a2+a9+a13 本例(2)中条件不变,求 b5+b7+b12

a2+a9+a13 3a8 a8 4 解: = = = . b5+b7+b12 3b8 b8 3


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