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简单的线性规划问题课件


简单的线性规划问题
1.会从实际情境中抽象出二元一次

不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单 的二元线性规划问题,并能加以解决.

1.二元一次不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0) 表示的平面区域的判定方法. 记f(x)=Ax+By+C

f(x)· A<0或f(x)· B>0

f(x)=0

f(x)· A>0或f(x)· B<0

2.记f(x)=ax+by+c,则A(x1,y1),B(x2,y2)在直线f(x)=0同侧
f(x1)f(x2)>0 或(ax1 ? by1 ? c )(ax2 ? by2 ? c) ? 0 的充要条件为______________________________________,

f(x1)f(x2)>0 在异侧的充要条件为_________________________________

或(ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) ? 0 ____________________________________.
3.线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出的一次不等式(或方 程)组. (2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式. (3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的 最大值或者最小值问题.

线性约束条件 (4)可行解:满足______________ 的解(x,y).

(5)可行域: 所有可行解
(6)最优解:使 目标函数

的集合.
取得最大值或最小值的解.

4.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行解、可行域.将约束条件中的每一个不

等式所表示的平面区域作出,并求其公共部分;
(2)作出目标函数的 等值线 线,从而确定 最优解. ; (3)确定最优解.在可行域内平行移动目标函数等值

典型例题选讲
题型一:不等式组表示的平面区域 例1.(1).设集合A={(x,y) | x,y,1-x-y是三角形三边},则 A表示的平面区域(不包括边界)是 A y ( )y 1
1 1/2 0 y 1 1/2 1 x y 1 1/2 0 1/2 1 x

1/2 0 C 1/2 1

1/2

x

0

D

1/2

1

x

?x ? 1 (2)设不等式组 ? 所表示的平面区域为A, ?y ? x ? x ? 2 y +3 ? 0 ? 平面区域B与A关于直线l:3x-4y-9=0对称,对于分别

在A和B中的点M和N,求|MN|的最小值.
y x+y=8 y -x-y=8 x-2y+3=0 0 x=y 3x-4y-9=0

4
x-y=-8

x-y=8 1
x=1 x 0 x

128 (3)不等式|x|+|y|≤8所表示的平面区域面积为_______
2016/10/14

?x ? 0 (4) 若S为不等式组 ? ?y ? 0 ?y ? x ? 2 ?

表示的平面区域,则当a

从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过S中那部分区
7 域的面积为_____ 4
y

2

-2
x-y=2

0 1

x

?x ? 0 ? (5)已知 ? y ? 0 . 求点(x+y,x-y)的轨迹的面积 1 ?x ? y ? 1 ?

? x ? y ? 11 ? 0 例2.设不等式组 ? ? 3 x ? y ? 3 ? 0 表示的区域为D,若指数函 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是(1,3] ____
y

A(2,9)

1

×
0 5x-3y+9=0 x x+y-11=0 3x-y+3=0

练习:作下列不等式表示的平面区域 y ? x ?1 ? ? (1) | x| ≤y ≤2 |x | (2) ? ? ? y ? -3 x ? 1
y=-2x y
x=-y y=2x x=y y y=x-1 0 x 0 x

y=-3x+1
2016/10/14

y=3x+1

? ?( x ? y ? 1)( x ? y ? 1) ? 0 (3) ? ? ?x ?2
x+y-1=0

y

x-y+1=0

0

x

2016/10/14

x=-2

x=2

题型二.线性规划的应用 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 例3. 已知x, y满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,求下列目标 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
函数的相应最值。

(1) y-2x最值; (3) | x+2y-8|最值; (5) x2+y2-6x最小值;

(2) -x-2y最值; (4) x2+y2-10x最小值; (6) (2y+1)/(x+1)最值;

(7) 设0(0,0),A(2,0),P(x,y) ,求|OP|cosAOP最大值。

(1) y-2x最值;

答案:[-5,1]
y

C(7,9)
x+y-4=0

A(1,3) B(3,1)
0 x-y+2=0 y-2x=z 2x-y-5=0 x

2016/10/14

(2) -x-2y最值; 答案:[-25,-5]
y

C (7,9)
x+y-4=0

A
(1,3) 0 x-y+2=0

B (3,1)
x

-x-2y=z
2016/10/14

2x-y-5=0

(3) | x+2y-8|最值; 答案:[0,17]
y

C (7,9)
x+y-4=0

A
(1,3) 0 x-y+2=0

B (3,1)
x

x+2y-8=0
2x-y-5=0

2016/10/14

(4) x2+y2-10y 最小值和最 大值;

41 [ , 40] 2

y
x+y-4=0

C(7,9)

Q(0,5) A

(1,3) 0 x-y+2=0

B(3,1)
x

2x-y-5=0
2016/10/14

y

C (7,9)
x+y-4=0

Q(0,5) A
(1,3) 0 x-y+2=0

B (3,1)
x

2x-y-5=0

2016/10/14

(5) x2+y2-6x最小值;

y

C (7,9)

[-8,88]

x+y-4=0

A
(1,3) 0 x-y+2=0

B (3,1) Q(3,0)
x

2x-y-5=0

2016/10/14

(6) (2y+1)/(x+1)最值;

3 7 [ , ] 4 2

y

C (7,9)
x+y-4=0

A
(1,3) 0

B (3,1)
x

R(-1,-1/2)
x-y+2=0

2016/10/14

2x-y-5=0

(7) 设0(0,0),D(2,0),P(x,y) ,求|OP|cos∠POD最大值。

[1,7]
x+y-4=0

y

C (7,9)

P

A
(1,3) x x-y+2=0 0

B (3,1)

2016/10/14

2x-y-5=0

?x ? 1 ? 例4. 已知x, y满足 ? y ? 2 ,求4x 2 + y 2的最值。 ? 2 x +y ? 2 ? 0 ?

[2,8]

y?

y?=2

0

x?

x?+y?-2=0 x?=2

2016/10/14

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 例5.(1)若实数x,y满足: 且z=x+y的 最大值 ? 2 x ? y -3 ? 0 ? x ? my ? 1 ? 0 ?

为9,求实数m的值
y

1=0

1 当 m ? - 或 m ? 2时, 3 z = x+ y无最大值,不合题意。

0

x

x+3y-3=0
2x-y-3=0
2016/10/14

x+y=z

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 例5.(1)若实数x,y满足: 且z=x+y的 最大值 ? 2 x ? y -3 ? 0 ? x ? my ? 1 ? 0 ?

为9,求实数m的值

2x-y-3=0

m ?1
1 当 - ? m ? 2时, 3 z = x+ y在A(4,5)处 取得最大值9. 此时m ? 1, 符合题意
0
2016/10/14

x-my+1=0

y A(4,5)

x+y=9
x x+3y-3=0

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? (2) 设x,y满足: ? x ? y +2 ? 0 。若目标函数z=ax+by ? x ? 0, y ? 0 ?

2 3 (a>0,b>0)的最大值是12,求 ? 的最小值。 25 a b 6
y
A(4,6)

0 x-y+2=0

x

3x-y-6=0

? x +y ? 6 ? 例6.(1)已知x,y满足: ? x ? y ? 2 若目标函数z=ax+y ? x ? 0, y ? 0 ?

(, 1 +?) 仅在(4,2)取的最大值则a的范围为______________
y

y
x+y=6

C(0,6)

A(4,2)
0
2016/10/14

x

x-y=2

B(2,0)

(2)已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的
三角形内部和边界组成,目标函数z=x+my取得最小值 的最优解有无数个,则m=______.若仅在B(5,2)取得

1

(-2,4) 最大值则m的范围为____________________
y
k BC ? 1 2

A(1,3) B(5,2) C(3,1)
0
k AC ? ?1
2016/10/14

k AB ? ?

1 4

x

(2)已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的
三角形内部和边界组成,目标函数z=x+my取得最小值 的最优解有无数个,则m=______.若仅在B(5,2)取得

1

(-2,4) 最大值则m的范围为____________________
y

A(1,3) B(5,2) C(3,1)
0 x

2016/10/14

? x ? 4 y +3 ? 0 ? (3)x,y满足: ?3 x +5 y -25 ? 0 .目标函数z=kx+y的最大值 ?x ? 1 ?

为12,最小值为3.则k=______
-3/5<k<0 y

2

B(1,22/5)
x-4y+3=0

C(5,2)

A(1,1)
0 x 3x+5y-25=0 x=1
2016/10/14

2016/10/14

2016/10/14

例8

某人有楼房一幢,室内面积共计180 m2,拟

分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积18 m2, 可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间 面积15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50 元;装修大房间每间需要 1000元,装修小房间每间需

要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客
能住满客房,他隔出大房间和小房间各多少间,能获 得最大效益?
解:设大房间x间, 小房间y间,收益z , 则 ?18 x +15 y ? 180 ? ?1000 x ? 600 y ? 8000,z =200x+150y. ? x、y ? N * ?

?6 x +5 y ? 60 ? 化简得: ?5 x ? 3 y ? 40,z =50(4x +3y ). ? x、y ? N * ?
4x+3y=z' 4x+3y=0 y

12 10 8 6 4 2
A( 20 60 , ) 7 7

0

2

4

6

8 10 12 6x+5y=60

x

2016/10/14

5x+3y=40

即时训练 (2009四川理)某企业生产甲、乙两种 产品,已知生产每吨甲产品要用 A原料3吨、B原料2吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨.销售每吨 甲产品可获得利润 5万元,每吨乙产品可获得利润 3万元, 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, B 原 料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是( D ) A.12万元 B.20万元 C.25万元 D.27万元

?3 x +y ? 13 ? 解: ? 2 x ? 3 y ? 18, z =5x +3y. ? x、y ? N * ? 易得:x ? 3, y ? 4时,z最大,即zmax ? 27

A(3,4)
0
x

2016/10/14

y
x+y=6

C(0,6)

A(4,2)
0
2016/10/14

x

B(2,0)

x-y=2


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