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高一必修3数学:2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布


第二章
2.2.1 用样本的频率 分布估计总体分布

思路方法技巧

命题方向
[例1]

利用频率分布直方图解题

为了解某校高一年级学生的体能情况,抽取部

分学生进行一分钟跳绳测试,将所得数据整理后,画出频率 分布直方图(如下图),图中从左到右各小长方

形的面积之比 为2:4:17:15:9:3,第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在110以上(含110)为达标,则该校全体高一年 级学生的达标率是多少?

[分析]

(1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积等

于相应各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数 之和等于样本容量,频率之和等于1. (2)达标率是一个百分数,注意要乘以100%.

[解析]

(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据

落在各小组内的频率大小的,因此第二小组的频率为 4 =0.08. 2+4+17+15+9+3 第二小组的频数 又因为第二小组的频率= ,所以样本容 样本容量 第二小组的频数 12 量= = =150. 第二小组的频率 0.08

(2)由频率分布直方图可估计,该校高一年级学生的达标 17+15+9+3 率为 ×100%=88%. 2+4+17+15+9+3

规律总结:(1)频率反映了样本落在某一区间的可能性 大小. (2)频率分布直方图中,用面积表示频率. (3)在频率分布直方图中,所有小长方形的面积之和等于 1.

(2011~2012· 陕西咸阳模拟)下图是容量为100的样本的频 率分布直方图,试根据图形中的数据填空:

(1)样本数据落在[6,10)内的频率是________,频数是 ________; (2)样本数据落在[2,6),[10,14),[14,18]内的频率分别是 ________,________,________.
[答案] (1)0.32 32 (2)0.08 0.36 0.24

[解析]

(1)样本数据落在[6,10)内的频率是0.08×4=

0.32,频数是0.32×100=32. (2)样本数据落在[2,6),[10,14)、(14,18]内的频率分别为 0.02×4=0.08,0.09×4=0.36,1-0.36-0.32-0.08=0.24.

命题方向

用样本估计总体

[例2] g): 494 495 493 504

抽查100袋洗衣粉,测量它们的净重如下(单位:

498 494 509 498

493 483 509 483

505 485 512 510

496 511 484 503

492 493 509 497

485 505 510 502

483 488 495 511

508 501 497 497

511 491 498 500

493 510 494 499 492 499

509 514 501 495 496 505

510 509 509 493 499 496

493 499 498 509 508 501

491 493 502 496 485 510

497 499 500 509 498 496

515 509 508 505 496 487

503 492 491 499 495 511

515 505 509 486 496 501

518 489 509 491 505 496

(1)列出样本的频率分布表; (2)画频率分布直方图及频率分布折线图; (3)估计净重在494.5~506.5 g之间的频率.

[解析]

(1)在样本数据中,最大值是518,最小值是

35 3 483,所以极差为35.取组距为4 g,由于 4 =8 4 ,故要分成9 组.使分点比数据多一位小数,且把第1组的起点稍微减小 一点,得分组如下:[482.5,486.5),[186.5,490.5), [490.5,494.5),?,[514.5,518.5].列出频率分布表如下:

分组 [482.5,486.5) [486.4,490.5) [490.5,494.5) [494.5,498.5) [498.5,502.5) [502.5,506.5) [506.5,510.5) [510.5,514.5) [514.5,518.5] 合计

频数累计

频数 8 3

频率 0.08 0.03 0.17 0.21 0.14 0.09 0.19 0.06 0.03 1.00

正正正 正正正正 正正 正 正正正 正

17 21 14 9 19 6 3 100

(2)频率分布直方图及频率分布折线图如下图:

(3)净重在494.5~506.5 =0.44.

g之间的频率为0.21+0.14+0.09

规律总结:(1)本题主要考查画频率分布直方图和频率 分布折线图的步骤及利用样本分布估计总体分布.求解关键 是列频率分布表,运用最大值、最小值的算法找出数据的最 大值、最小值,求出极差,从而决定组距和组数.

(2)解决利用样本分布估计总体分布问题的一般步骤如 下: ①先确定分组的组数(最大数据与最小数据之差除以组距 得组数);
? 频数? ? ? ②分别计算各组的频率及频率?频率= ?; 总数? ?

③画出频率分布直方图,并作出相应的估计.

为了解某中学高一年级男生的体重情况,抽取了同年级 40名男生的体重,数据如下(单位:千克): 62 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51 50 50 49 48

列出样本的频率分布表,绘出频率分布直方图,并估计 体重在58千克以上的男生比例.

[解析]

(1)计算极差:62-48=14.

(2)决定组距与组数:取组距为2. 极差 14 又因为 = 2 =7,故共分成7组. 组距 (3)将数据分组:以组距为2将数据分组时,可以分成以 下7组: [48,50),[50,52)、[52,54),[54,56),[56,58),[58,60), [60,62].

(4)列出频率分布表如下: 分组 [48,50) [50,52) [52,54) [54,56) [56,58) [58,60) [60,62] 合计 频数 2 5 7 8 11 5 2 40 频率 0.05 0.125 0.175 0.2 0.275 0.125 0.05 1.00

(5)绘出频率分布直方图(如下图所示):

从频率分布表中可看出,样本数据落在58以上的频率为 0.125+0.05=0.175,由此可估计,体重在58千克以上的男生 比例约为17.5%.

命题方向

茎叶图的画法及应用

[例3]

某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成

绩情况如下: 甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成 绩进行比较.

[分析]

[解析]

甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图所示.

从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对 称的,大多集中在80~100之间,中位数是98分. 甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,多 集中在70~90之间,中位数是88分,但分数分布相对于乙来 说,趋向于低分阶段.因此,乙同学发挥比较稳定,总体得 分情况比甲同学好.

规律总结:绘制茎叶图的注意事项 (1)绘制茎叶图关键是分清茎和叶.一般地说,当数据是 两位数时,十位上的数字为“茎”,个位上的数字为 “叶”;如果是小数,通常把整数部分作为“茎”,小数部 分作为“叶”.解题时要根据数据的特点合理地选择茎和 叶.

(2)应用茎叶图对两组数据进行比较时,要从数据分布的 对称性、中位数、稳定性等几方面来比较. (3)茎叶图只适用于样本数据较少的情况.

在某电脑杂志的一篇文章中,每个句子的字数如下 10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20, 19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17. 在某报纸的一篇文章中,每个句子的字数如下: 27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35, 12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22. (1)画出两组数据的茎叶图; (2)比较分析两组数据,能得出什么结论?

[解析]

(1)依题意,画出茎叶图如下图所示:

(2)电脑杂志文章中每个句子的字数集中在10~30之间, 中位数为22.5,而报纸文章中每个句子的字数集中在20~40 之间,中位数为27.5.还可以看出,电脑杂志上每个句子的平 均字数比报纸上每个句子的平均字数要少.这与电脑杂志作 为科普读物需要简明、通俗易懂的要求相吻合.

名师辩误做答

[例4]

中小学生的视力状况受到社会的广泛关注,某市

有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名,对他们 的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成 频率分布直方图,如下图所示.从左至右五个小组的频率之 比依次是5:7:12:10:6,则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围 内的学生约有多少人?

[错解]

由图知,第五小组的频率为0.5,所以第一小组

5 5 的频率为0.5×6=12, 所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学 5 生约有60 000×12=25 000(人).

[错因分析] 对频率分布直方图理解不正确,纵轴上的 频率 0.5并不是第五组的频率,而是 . 组距 频率 在频率分布直方图中,小长方形的高= ,频率= 组距 频率 ×组距.例如,本题中,0.5×0.3=0.15才是第五小组的 组距 频率.

[正解]

由图知,第五小组的频率为0.5×0.3=0.15,所

5 以第一小组的频率为0.15× 6 =0.125,所以全市6万名高一学 生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60 500(人). 000×0.125=7


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