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2017高考数学一轮总复习 第十章 算法、统计与概率课时训练 理


第十章

算法、统计与概率
第 1 课时 算 法

1. 根据如图所示的伪代码,最后输出的 a 的值为________. a←1 i←2 While i≤6 a←a×i i←i+2 End While Print a 答案:48 解析:由流程图知 a=1×2×4×6=48. 2. 如图所示,根据题意,完成流程图填空:①________,②________.输入两个数,输 出这两个数差的绝对值.

答案:a≥b b-a
?a-b,a≥b, ? 解析:由于|a-b|=? 则①处填“a≥b”,②处填“b-a”. ?b-a,a<b, ? 3. (2014·苏锡常镇二模)执行如图所示的流程图,输出 n 的值为________.

答案:6
? ?n=2, 解析:由题知流程图执行如下:第 1 次? 第2次 ?S=1, ? ? ? ?n=5, ?n=6, ? 第5次 ? 停止输出 n=6. ?S=15, ?S=31. ? ? 4. 当 a=3 时,下列程序的输出结果是________. Read a If a<10 Then y←2×a Else 1 ? ? ?n=3, ?n=4, ? 第3次 ? 第4次 ?S=3, ? ? ?S=7,

y←a×a End If Print y 答案:6 解析:∵ a=3<10,∴ y=2a=2×3=6.

5. 运行如图所示的程序框图,若输出的 y 值的范围是[0,10],则输入的 x 的值的范围 是________. 答案:[-7,9] ?3-x(x<-1), 解析:本题是计算分段函数 y=?x (-1≤x≤1),值的程序框图.若 x<-1,由 0≤3
2

?

? ?x+1(x>1)
2

-x≤10 ?-7≤x<-1;若-1≤x≤1,由 0≤x ≤10 ?-1≤x≤1;若 x>1,由 0≤x+1≤10 ? 1<x≤9.故输入的 x 的范围是[-7,9]. 1 1 1 1 6. 如图程序的作用是求 + + +?+ 的值,请在空白处填上 1×2 3×4 5×6 2 013×2 014 适当语句. i←1,S←0 Do S←S+________ ______________ Until ________ Print S 答案: 1 i←i+2 i>2 013 i(i+1)

7. 阅读下列程序: Read x If x<0 Then y←x+3 Else If x>0 Then y←x+5 Else y←0 End If End If Print y
2

如果输入 x=-2,则输出结果 y 为____________. 答案:1 ?x+3(x<0), 解析:本程序是求分段函数 y=?0(x=0), 的函数值.

?

? ?x+5(x>0)

∵ x=-2,∴ y=-2+3=1. 8. 如图所示为求 50 个数中的最大数并输出最大数的流程图,则①中的条件应为 ________,②中的条件应为________.

答案:b<ai i>50 解析:由流程图可知,此流程表示的是一个循环结构与选择结构的嵌套.在此算法中最 大数 b 的初始值为 a1,计数变量为 2,且每循环一次计数值在原有的数值上加 1,由于是求 50 个数中的最大数,所以本算法循环终止条件为 i>50.循环体中选择结构的判断条件为 b <ai. 9. 阅读下列程序框图,运行相应程序,则输出的 S 值为__________.

答案:-

3 8

π 3 3 2π 解析: 由流程图知, n=1 时, S=1·cos = ; 执行第一次循环, n=2, S= · cos 6 2 2 6 = 3 3 4π 3 ,执行第二次循环时,n=3,S= ·cos =- ,此时已符合 n≥3,退出循环, 4 4 6 8 3 . 8
3

输出 S=-

10. 设计一个程序, 输入一个学生的成绩 S, 根据该成绩的不同值作以下输出: 若 S<60, 则输出“不及格”;若 60≤S≤90,则输出“及格”;若 S>90,则输出“优秀”. 解:程序如下: Read S If S<60 Then Print 不及格 Else If S>90 Then Print 优秀 Else Print 及格 End If End If 11. 根据以下给出的程序,画出其相应的程序框图,并指明该算法的功能. S←1 n←1 While S<5 000 S←S×n n←n+1 End While n←n-1 Print n 解: 这是一个利用 While 循环语句编写的程序, 从 S=1, n=1 开始, 第一次循环求 1×1, 第二次求 1×2,第三次求 1×2×3,?,第 n 次是求 1×2×3×?×n,因此该程序是求使 1×2×?×n<5 000 成立的最大整数. 该算法的程序框图如图所示:

该算法的功能是求使 1×2×?×n<5 000 的最大正整数. 第 2 课时 统计初步(1) 1. 用简单随机抽样的方法从含有 6 个个体的总体中,抽取一个容量为 2 的样本,某一 个体 a“第一次被抽取”的可能性、“第二次被抽到”的可能性分别是____________. 1 1 答案: , 6 6 解析:简单随机抽样中每个个体每次被抽到的机会均等. 2. 已知总体容量为 107,若用随机数表法抽取一个容量为 10 的样本.下面对总体的编 号最方便的是________.(填序号) ① 1,2,?,107 ② 0,1,2,?,106 ③ 00,01,?,106 ④ 000,001,?,
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106 答案:④ 解析:∵ 总体容量为 107,是三位数,∴ 在位数少的数前添加“0”,凑齐位数. 3. 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有 40 种、10 种、 30 种、20 种,现采用分层抽样的方法,从中随机抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检 测,则抽取的动物类食品的种数是________. 答案:6 20 1 解析: 四类食品的每一种被抽到的概率为 = , ∴ 动物类食品被抽到的 40+10+30+20 5 1 种数为 30× =6. 5 4. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人, 并根据所得数据画了样本 的频率分布直方图(如图所示).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要 从这 10 000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查,则在[2 500,3 000)月收 入段应抽出________人.

答案:25 解析:由图可得月收入在[2 500,3 000)的频率为 0.000 5×500=0.25,所以在[2 500, 3 000)月收入段应抽取 100×0.25=25(人). 5. 中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励,要从已确定编号的一万 名小观众中抽出十名幸运小观众.现采用系统抽样的方法抽取,各组容量为________. 答案:1 000 解析: 依题意, 要抽十名幸运小观众, 所以要分十个组, 各组容量为 10 000÷10=1 000. 6. 将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号为 0001,0002,0003,?,1000,打算从中抽 取一个容量为 50 的样本,按系统抽样的方法分成 50 个部分,如果第一部分编号为 0001, 0002, ?, 0020, 第一部分随机抽取一个号码为 0015, 则抽取的第 40 个号码为____________. 答案:0 795 解析:第 40 个号码为 0 015+39×20=0 795. 7. 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图, 现要从中抽取 40 名职工作样本. 用系统抽 样法, 将全体职工随机按 1~200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号, 6~10 号, ?, 196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是________.若用分层抽 样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取________名.

答案:37 20 解析:由系统抽样知第 1 组抽出的号码为 2,则第 8 组抽出的号码为 2+5×7=37;若 1 用分层抽样抽取,则 40 岁以下年龄段应抽取 ×40=20 名. 2 8. 调查某单位职工健康状况,已知青年人数为 300,中年人数为 K,老年人数为 100. 现考虑用分层抽样抽取容量为 22 的样本,已知抽取的青年和老年的人数分别为 12 和 4,那 么中年人数 K 为____________.
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答案:150 22 4 解析:由分层抽样特点知: = ,∴ K=150. 300+K+100 100 9. 某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3 000 件,根据分层抽样的结果,该企业 统计员制作了如下的统计表格: 产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量(件) 130 由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样 本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 产品的数量是________件. 答案:800 解析:设 C 产品的数量为 x,则 A 产品的数量为 1 700-x,C 产品的样本容量为 a,则 1 700-x x 1 300 A 产品的样本容量为 10+a,由分层抽样的定义可知: = = ,∴ x=800. a+10 a 130 10. 某公路设计院有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取 n 个人 参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体, 如果参会人数增加 1 个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体,求 n. 解:总体容量为 6+12+18=36. 36 n 当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样的间隔为 ,分层抽样的比例是 ,抽取的工 n 36 n n n n n n 程师人数为 ×6= ,技术员人数为 ×12= ,技工人数为 ×18= ,所以 n 应是 6 的倍 36 6 36 3 36 2 数,36 的约数,即 n=6,12,18. 35 35 当样本容量为(n+1)时,总体容量是 35 人,系统抽样的间隔为 ,因为 必须是 n+1 n+1 整数,所以 n 只能取 6,即样本容量 n=6. 11. (必修 3P49 习题 8 改编)某校 500 名学生中 O 型血有 200 人,A 型血有 125 人,B 型 血有 125 人,AB 型血有 50 人.为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为 20 的 样本.问: (1) 该抽样过程宜采用什么抽样方法? (2) 各种血型的人应分别抽取多少? (3) 写出具体的抽样过程. 解:(1) 该抽样过程宜采用分层抽样法. 20 2 (2) 因为在整个抽样过程中, 每个个体被抽到的概率为 = , 所以 O 型血的人应抽 500 50 2 2 取的人数为 200× =8, A 型血的人应抽取的人数为 125× =5, B 型血的人应抽取的人数 50 50 2 2 为 125× =5,AB 型血的人应抽取的人数为 50× =2. 50 50 (3) 具体的抽样过程为:①将总体按血型分成 O 型、A 型、B 型、AB 型四层;②分别计 2 1 1 1 算 O 型、A 型、B 型、AB 型的个体数与总体数的比,依次为 、 、 、 ;③按 O 型、A 型、 5 4 4 10 B 型、AB 型的个体数与总体数的比确定 O 型、A 型、B 型、AB 型应抽取的样本容量,依次为 8、5、5、2;④分别在 O 型、A 型、B 型、AB 型人中进行抽样,依次抽取 8 人、5 人、5 人、 2 人组成样本.

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第 3 课时 统计初步(2) 1. (2014·扬州期末)某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们期中考试的 数学成绩(均为整数)分成六段:[40,50),[50,60),?,[90,100]后得到频率分布直方 图(如图所示),则分数在[70,80)内的人数是__________.

答案:30 解析:由题设可知 a=0.03,从而分数在[70,80)内的人数为 0.03×10×100=30 人. 2. 将容量为 100 的样本数据,按从小到大的顺序分为 8 个组,如下表: 组号 频数 1 10 2 13 3 14 4 14 5 15 6 13 7 12 8 9

第 3 组的频率为__________. 答案:0.14 14 解析:第 3 组的频率 =0.14. 100 3. 在某个容量为 300 的样本的频率分布直方图中,共有九个小长方形.若中间一个小 1 长方形的面积等于其他八个小长方形面积和的 ,则中间一组的频数为________. 5 答案:50 解析:在直方图中,小长方形的面积等于这组数的频率,小长方形的面积之和为 1.设 1 1 1 中间一个小长方形面积为 x,则 x= (1-x),解得 x= , 所以中间一组的频数为 ×300= 5 6 6 50. 4. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所 示: 甲 8.6 3.5 乙 8.9 3.5 丙 8.9 2.1 丁 8.2 5.6

平均环数 x - 2 方差 s

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从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是________. 答案:丙 解析:乙与丙的平均成绩好于甲与丁的平均成绩,而且丙的方差小于乙的方差,说明丙 的成绩比乙稳定,应派丙参加比赛. 5. 下边茎叶图记录了甲、 乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位: 分), 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x、y 的值分别为________.

答案:5,8 解析: 因为甲组数据的中位数为 15, 由茎叶图可得 x=5, 因乙组数据的平均数为 16.8, 1 则 [9+15+(10+y)+18+24]=16.8,解得 y=8. 5 6. 已知数据 5,7,7,8,10,11,则其标准差为____________. 答案:2 - 5+7+7+8+10+11 解析:这组数据的平均数为 x = =8, 6 ∴ 这组数据的标准差为 s= 2 2 2 2 2 2 (5-8) +(7-8) +(7-8) +(8-8) +(10-8) +(11-8) =2. 6 7. 某班 50 名学生右眼视力的检查结果如下表所示: 视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人数 1 1 3 4 3 4 4 6 8 10 6 该班学生右眼视力的众数和中位数分别是____________. 答案:1.2,0.8 解析:人数最多的样本数为众数,故众数为 1.2,50 名学生中排第 25、26 两位的视力 平均数为中位数, 视力大于 1.0 的有 8+10+6=24 人, 视力 0.8 的有 6 人, 故中位数是 0.8. 8. 期中考试之后,班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M.如果把 M 当成一个 同学的分数,与原来的 40 个分数一起,算出这 41 个分数的平均值为 N,那么 M∶N 为 ____________. 答案:1∶1 解析:设 40 个人的数学总分为 z,则 z=40M,且 z=41N-M.由 40M=41N-M,得 M= N. 1 9. 已知一组数据 x1,x2,?,x5 的平均数为 2,方差是 ,那么数据 3x1-2,3x2-2,?, 3 3x5-2 的平均数和方差分别是____________. 答案:4,3 1 解析:由已知 (x1+x2+?+x5)=2, 5 ∴ x1+x2+?+x5=10, 1 则 [(3x1-2)+(3x2-2)+?+(3x5-2)] 5 1 1 = [3(x1+x2+?+x5)-10]= (30-10)=4. 5 5

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1 1 2 2 2 ∵ [(x1-2) +(x2-2) +?+(x5-2) ]= , 5 3 1 1 2 2 2 2 2 ∴ [(3x1-2- 4) + (3x2-2- 4) +?+(3x5- 2-4) ]= [9(x1- 2) + 9(x2-2) +? 5 5 9 2 2 2 2 +9(x5-2) ]= [(x1-2) +(x2-2) +?+(x5-2) ]=3. 5 10. 下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况, 作抽样调查后画出的样本频率分 布直方图.已知图中第一组的频数为 4 000,请根据该图提供的信息解答下列问题:(图中 每组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1 000,1 500). (1) 求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数; (2) 为了分析干部的收入与年龄、 职业等方面的关系, 必须从样本的各组中按月收入用 分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人? (3) 试估计样本数据的中位数.

解:(1) ∵ 月收入在[1 000,1 500)的频率为 0.000 8×500=0.4,且有 4 000 人, 4 000 ∴ 样本的容量 n= =10 000; 0.4 月收入在[1 500,2 000)的频率为 0.000 4×500=0.2; 月收入在[2 000,2 500)的频率为 0.000 3×500=0.15; 月收入在[3 500,4 000)的频率为 0.000 1×500=0.05. ∴ 月收入在[2 500,3 500)的频率为 1-(0.4+0.2+0.15+0.05)=0.2. ∴ 样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为 0.2×10 000=2 000. (2) ∵ 月收入在[1 500,2 000)的人数为 0.2×10 000=2 000,∴ 再从 10 000 人中 2 000 用分层抽样方法抽出 100 人, 则月收入在[1 500, 2 000)的这段应抽取 100× =20(人). 10 000 (3) 由(1)知月收入在[1 000,2 000)的频率为 0.4+0.2=0.6>0.5, 0.5-0.4 ∴ 样本数据的中位数为 1 500+ =1 500+250=1 750(元). 0.000 4 11. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、乙两名跳高运动员进行了 8 次选拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67; 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75. 经预测,跳高 1.65m 就很可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位选手参赛?若 预测跳高 1.70m 方可获得冠军呢? 解:甲的平均成绩和方差如下: 1 x -甲= (1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69, 8 1 2 2 2 2 s甲= [(1.70-1.69) +(1.65-1.69) +?+(1.67-1.69) ]=0.0006. 8 乙的平均成绩和方差如下: 1 x -乙= (1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68, 8 1 2 2 2 2 s乙= [(1.60-1.68) +(1.73-1.68) +?+(1.75-1.68) ]=0.00315. 8 显然,甲的平均成绩好于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比
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乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙,且成绩稳定,所以若跳高 1.65m 就很可能获得冠军,应 派甲参赛.在这 8 次选拔赛中乙有 5 次成绩在 1.70m 以上,虽然乙的平均成绩不如甲,成绩 的稳定性也不如甲,但成绩突破 1.70 m 的概率大于甲,若跳高 1.70m 方可获得冠军时,应 派乙参加比赛. 第 4 课时 古典概型(1) 1. 下列说法正确的是________.(填序号) ① 抛掷一枚骰子 10 次, 其中数字 6 向上的出现了 5 次, 那么抛掷一枚骰子数字 6 向上 的概率约为 0.5; ② 某地在 30 天内下雨 15 天,那么某地每天下雨的概率约为 0.5; ③ 进行 10000 次抛掷硬币试验, 出现 5021 次正面向上, 那么抛掷一枚硬币正面向上的 概率约为 0.5; ④ 某人买了 2 张体育彩票,其中 1 张体育彩票中奖,那么购买 1 张体育彩票中奖的概 率约为 0.5. 答案:③ 解析:本题容易将频率与概率混为一谈,事实上,只有③进行了大量重复试验,其余三 个都是事件的频率. 2. 有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: 分组 [1.5,3.5) [3.5,5.5) [5.5,7.5) [7.5,9.5) [9.5,11.5) 频数 6 14 16 20 10 根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是________. 6 答案: 11 16+20 6 解析:根据数据分组,数据落在[5.5,9.5)的频率为 = ,用频率估计概率,所 66 11 6 以数据落在[5.5,9.5)的概率约是 . 11 3. 现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则甲被选中的概率为 ____________. 2 答案: 3 2 解析:基本事件为{甲乙,甲丙,乙丙},从而甲被选中概率为 . 3 4. 在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各抽取 1 张,两人都 中奖的概率是__________. 1 答案: 3 解析:基本事件的总数为 3×2=6,甲、乙两人各抽取一张奖券,两人都中奖只有 2 种 2 1 情况,所以两人都中奖的概率 P= = . 6 3 5. 在 1,2,3,4 四个数中,可重复选取两个数,其中一个数是另一个数的 2 倍的概率 是____________. 1 答案: 4 解析:可重复选取两个数共有 4×4=16 种选法,其中一个数是另一个数的 2 倍的有: 4 1 (1,2),(2,1),(2,4),(4,2)共 4 种,∴ 所求概率为 P= = . 16 4
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6. 抛掷两枚质地均匀的骰子,出现“点数之和为 3”的概率是____________. 1 答案: 18 解析:掷一颗骰子有 6 种结果,抛掷 2 颗骰子共有 36 种结果.其中点数之和为 3,包 2 1 含(1,2),(2,1)两种,∴ 概率为 = . 36 18 7. 在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多 6 人,从这些同学中随机挑选一 2 人表演节目.若选到女同学的概率为 ,则这班参加聚会的同学的人数为________. 3 答案:18 x 2 解析:设女同学有 x 人,则该班到会的共有(2x-6)人,所以 = ,得 x=12,故 2x-6 3 该班参加聚会的同学有 18 人. 8. 假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生,并且这 50 名学生早上到校先后 的可能性相同,则小燕比小明先到校,小明又比小军先到校的概率为________. 1 答案: 6 解析:本题若对 50 人排序是件麻烦事,但通过合理转化,将问题化归为 3 个人的排序, 1 那就非常方便了.将 3 人排序共包含 6 个基本事件,由古典概型得 P= . 6 9. 某校夏令营有 3 名男同学 A、B、C 和 3 名女同学 X、Y、Z,其年级情况如下表: 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1) 用表中字母列举出所有可能的结果; (2) 设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”, 求事件 M 发生的概率. 解:(1) 从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C}, {A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z}, {X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2) 选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A, Y}, {A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种. 6 2 因此,事件 M 发生的概率 P(M)= = . 15 5 10. 现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.试求: (1) 所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2) 所取的 2 道题不是同一类题的概率. 解:将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6.任取两道题基 本事件为{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6}, {3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共 15 个,而且这些基本事件的出现 是等可能的,用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有{1,2},{1,3}, 6 3 {1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 6 个,所以 P(A)= = . 15 5 (2) 基本事件同(1), 用 B 表示“不是同一类题”这一事件, 则 B 包含的基本事件有{1, 8 5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共 8 个,所以 P(B)= . 15
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11. (2014·福建文)根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1 035 美元为低收入国家; 人均 GDP 为 1 035~4 085 美元为中等偏下收入国家;人均 GDP 为 4 085~12 616 美元为中 等偏上收入国家;人均 GDP 不低于 12 616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区,各区 人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表: 行政区 区人口占城市人口比例(%) 区人均 GDP(单位:美元) A 25 8 000 B 30 4 000 C 15 6 000 D 10 3 000 E 20 10 000 (1) 判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (2) 现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个, 求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等 偏上收入国家标准的概率. 解:(1) 设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为 8 000×0.25a+4 000×0.30a +6 000×0.15a+3 000×0.10a+10 000×0.20a/a=6 400(美元). 因为 6 400∈[4 085,12 616), 所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准. (2) “从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D}, {A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共 10 个. 设事件 M 为“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”, 则事件 M 包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共 3 个. 3 所以所求概率为 P(M)= . 10 第 5 课时 古典概型(2) 1. 掷两枚质地均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率为________. 1 答案: 9 解析:掷两枚质地均匀的骰子,一共有 36 种情况,点数之和为 5 的有(1,4),(2,3), 4 1 (3,2),(4,1),共 4 种,所以点数之和为 5 的概率为 = . 36 9 2. 从甲、 乙、 丙 三人中任选两人作为代表去开会, 甲未被选中的概率为____________. 1 答案: 3 解析:所有的基本事件为:甲、乙,甲、丙,乙、丙,即基本事件共有三个,甲被选中 2 1 的事件有两个,故 P= .∴ 甲未被选中的概率为 . 3 3 3. 已知一个袋中装有 5 个大小相同的黑球和红球,从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球 2 的概率是 ,则从中任意摸出 2 个球,得到都是黑球的概率为________. 5 1 答案: 10 解析:袋中装有黑球 2 个,从袋中 5 个球中任意摸出 2 个球,共有 10 种取法,两次取 1 出的球都是黑球的事件有 1 种,故 P= . 10 4. 有五根细木棒,长度分别为 1,3,5,7,9(cm),从中任取三根,能搭成三角形的 概率是____________.

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3 10 解析:在 5 根木棒中取 3 根有 10 种取法,而构成三角形只能有 3 种,3、5、7;5、7、 3 9;3、7、9,∴ P= . 10 5. 若从集合{-1,1,2,3}中随机取出一个数 m,放回后再随机取出一个数 n,则使方 2 2 x y 程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率为________. m n 5 答案: 16 解析:由于 m 有 4 种取法,且对 m 的每一种取法,n 都有 4 种取法,所以基本事件总数 2 2 x y 为 4×4=16,其中使方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的(m,n)有(3,2),(3,1), m n 5 (3,-1),(2,1),(2,-1)共 5 种,故所求的概率为 . 16 6. (2014·徐州二模)一个正方体玩具的 6 个面分别标有数字 1,2,2,3,3,3.若连 续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为 5 的概率为__________. 1 答案: 3 解析:将标有数字 2、2 的两个面分别看成是 2①、2②,将标有数字 3,3,3 的三个面 分别看成是 3①、 3②、 3③.则连续抛掷该玩具两次共产生(1, 1)、 (1, 2①)、 (1, 2②)、 (1, 3①)、(1,3②)、(1,3③)、(2①,1)、(2①,2①)、(2①,2②)、(2①,3①)、(2①,3 ②)、(2①,3③)、(2②,1)、(2②,2①)、(2②,2②)、(2②,3①)、(2②,3②)、(2②, 3③)、(3①,1)、(3①,2①)、(3①,2②)、(3①,3①)、(3①,3②)、(3①,3③)、(3②, 1)、(3②,2①)、(3②,2②)、(3②,3①)、(3②,3②)、(3②,3③)、(3③,1)、(3③, 2①)、(3③,2②)、(3③,3①)、(3③,3②)、(3③,3③)共 36 种不同的等可能情况,其 中(2①,3①)、(2①,3②)、(2①,3③)、(2②,3①)、(2②,3②)、(2②,3③)、(3①, 2①)、(3①,2②)、(3②,2①)、(3②,2②)、(3③,2①)、(3③,2②)共 12 种都是向上 12 1 一面数字之和为 5 的情况,所以所求概率 P= = . 36 3 答案: nπ 7. 在集合{x|x= ,n=1,2,3,?,10}中任取一个元素,所取元素恰好满足方程 6 1 cosx= 的概率是________. 2 1 答案: 5 nπ 解析:集合{x|x= ,n=1,2,3,?,10}中共有 10 个元素,而当 n=2 和 n=10 6 1 1 1 时,cosx= ,故满足条件 cosx= 的基本事件个数为 2,故所取元素恰好满足方程 cosx= 2 2 2 2 1 的概率 P= = . 10 5 2 3 8. 将一枚骰子抛掷两次, 所得向上的点数分别为 m 和 n, 则函数 y= mx -nx+1 在[1, 3 +∞)上为增函数的概率是________. 5 答案: 6

13

2 3 2 解析:由题可知,函数 y= mx -nx+1 在[1,+∞)上单调递增,所以 y′=2mx -n≥0 3 在[1,+∞)上恒成立,所以 2m≥n,则不满足条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5), 2 3 (1,6),(2,5),(2,6)共 6 种情况,所以满足条件的共有 30 种情况,则函数 y= mx -nx 3 30 5 +1 在[1,+∞)上单调递增的概率为 = . 36 6 9. 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以 O 为起点,再从 A1, A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数 量积为 X.若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋. (1) 写出数量积 X 的所有可能取值; (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

解:(1) x 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2) 数量积为-2 的只有 OA2·OA5 一种;数量积为-1 的有 OA1·OA5,OA1·OA6,OA2·OA4, OA2·OA6,OA3·OA4,OA3·OA5 六种;数量积为 0 的有 OA1·OA3,OA1·OA4,OA3·OA6,OA4·OA6 四种;数量积为 1 的有 OA1·OA2,OA2·OA3,OA4·OA5,OA5·OA6 四种;故所有可能的情况共 有 15 种. 7 4 所以小波去下棋的概率为 P1= ; 因为去唱歌的概率为 P2= , 所以小波不去唱歌的概 15 15 4 11 率 P=1-P2=1- = . 15 15 10. 从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个,组成没有重复数字的三位数,计算: (1) 这个三位数是 5 的倍数的概率; (2) 这个三位数是偶数的概率; (3) 这个三位数大于 400 的概率. 解:(1) 任取 3 个数组成没有重复数字的三位数有 5×4×3=60(个),而是 5 的倍数需 12 1 个数是 5.有 4×3=12(个),所以所求的概率为 P1= = . 60 5 2 (2) 这个三位数是偶数,则个位数是 2 或 4,所以所求概率为 P2= . 5 2 (3) 这个三位数大于 400,则首位上是 4 或 5,所以所求概率为 P3= . 5 11. 甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏,他们将 扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1) 设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况; (2) 若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3) 甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,否则乙胜.你认为此游戏 是否公平,说明你的理由. 解: (1) 甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示)为(2, 3)、 (2, 4)、 (2, 4′)、 (3,2)、(3,4)、(3,4′)、(4,2)、(4,3)、(4,4′)、(4′,2)、(4′,3)、(4′,4), 共 12 种不同情况. 2 (2) 甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4′.因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为 . 3 (3) 由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)(4′,2)、(4′,3)共 5 种,即

14

5 7 5 7 甲胜的概率 P1= ,乙获胜的概率 P2= .又 < ,则此游戏不公平. 12 12 12 12 第 6 课时 几何概型与互斥事件 1. 甲、乙两人下象棋,甲获胜的概率为 30%,两人下成和棋的概率为 50%,则乙获胜的 概率为__________,甲不输的概率为__________. 答案:20% 80% 解析:设事件“甲胜”, “乙胜”, “甲乙和棋”分别为 A、B、C,则 P(A)=30%,P(C) =50%, ∴ 甲不输的概率为: P(A+C)=P(A)+P(C)=80%, P(B)=1-P(A+C)=1-80%=20%. 2. 中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率 3 1 为 ,乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________. 7 4 19 答案: 28 3 1 解析:设事件 A 为“甲夺得冠军”,事件 B 为“乙夺得冠军”,则 P(A)= ,P(B)= , 7 4 3 1 19 因为事件 A 和事件 B 是互斥事件,所以 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = . 7 4 28 ?x≥0, 3. 在圆 x +y =4 所围成的区域内随机取一个点 P(x,y),则点落在区域 D:?y≥0,
2 2

?

? ?x+y≤2

的概率为________. 1 答案: 2π 解析:在坐标平面上区域 D 表示的是平面区域,该区域与圆的公共部分的面积为 2,所 2 1 以点落在区域 D 的概率为 = . 4π 2π 4. 在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为____________. 3 答案: 5 1-(-2) 3 解析:由几何概型概率计算公式可得 P= = . 3-(-2) 5 5. 假 设 你 在 如 图 所 示 的 图 形 上 随 机 撒 一 粒 黄 豆 , 则 它 落 到 阴 影 部 分 的 概 率 是 ____________.

1 π 2 2 解析:设圆 O 的半径为 R,则圆 O 的面积为π R ,即 μ Ω =π R .记事件 A 为“黄豆落到 1 2 阴影区域”,μ A= ×2R×R=R . 2 2 R 1 ∴ 由几何概型求概率的公式,得 P(A)= 2= . πR π 6. 某学校上午 8:00~11:45 上四节课,每节课 45 min,课间休息 15 min,家长看望 学生只能在非上课时间.若某家长上午 8:00~12:00 随机来校,则这位家长一来就可能见 答案:

15

到其子女的概率是________. 1 答案: 4 解析:家长上午 8:00~12:00 这 4 小时内任一时刻到学校是等可能的,记“家长一来 就可能见到其子女”为事件 A,事件 A 发生的总时间为 4×15=60 分钟,即 1 小时,所以事 1 件 A 发生的概率为 P(A)= . 4 → → → 7. 已知 P 是△ABC 内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机投入△ABC 内,则该粒 黄豆落在△PAC 内的概率是________. 1 答案: 4 → → → → → → → → → → → 解析:因为PB+PC+2PA=0,所以PB+PC=-2PA.设PB+PC=PD,则PD=-2PA,由共 → → 线向量定理知 P、 D、 A 三点共线. 设PD所在的直线与BC所在的直线相交于点 E, 则 AE 为△ABC 1 1 1 的边 BC 上的中线,且 P 是中线 AE 的中点,所以 S△PBC= S△ABC,S△PAC=S△PEC= S△PBC= S△ABC, 2 2 4 1 从而该粒黄豆落在△PAC 内的概率为 . 4 8. 有一个底面圆的半径为 1,高为 3 的圆柱,点 O1、O2 分别为这个圆柱上底面和下底 面的圆心. 在这个圆柱内随机取一点 P, 则点 P 到点 O1、 O2 的距离都大于 1 的概率为________. 5 答案: 9 解析:确定点 P 到点 O1、O2 的距离小于等于 1 的点的集合为以点 O1、O2 为球心,1 为半 1 4 4 3 径的两个半球,求得体积为 V=2× × π ×1 = π ,圆柱的体积为 V=SH=3π ,所以点 P 2 3 3 4π 3 5 到点 O1、O2 的距离都大于 1 的概率为 P=1- = . 3π 9 1 9. 在棱长为 3 的正方体内任意取一个点,求这个点到各面的距离大于 棱长的概率. 3 1 解:依题意,在棱长为 3 的正方体内任意取一个点,这个点到各面的距离大于 棱长(即 3 大于 1),则满足题意的点构成的区域为位于该正方体中心的一个棱长为 1 的小正方体.由 3 1 1 几何概型的定义,可得满足题意的概率为 P= 3= . 3 27 10. 某人去某地开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3,0.2,0.1, 0.4. (1) 求他乘火车或乘飞机去的概率; (2) 求他不乘轮船去的概率. 解:(1) 记“他乘火车去”为事件 A1, “他乘轮船去”为事件 A2, “他乘汽车去”为事件 A3, “他乘飞机去”为事件 A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥. 故 P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7,即他乘火车或乘飞机去的概率为 0.7. (2) 设他不乘轮船去的概率为 P,则 P=1-P(A2)=1-0.2=0.8. 11. 设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将线段 AB 分成了三条线段. (1) 若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2) 若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 解:(1) 若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度所有可能情况是 1, 1,4;1,2,3;2,2,2,共 3 种情况,其中只有三条线段长为 2,2,2 时,能构成三角形,
16

1 故构成三角形的概率为 P= . 3 (2) 设其中两条线段长度分别为 x、y,则第三条线段长度为 6-x-y,故全部试验结果 所构成的区域为 ?0<x<6, ?0<x<6,

? ? 即?0<y<6, ?0<y<6, ? ?0<6-x-y<6, ? ?0<x+y<6,

所表示的平面区域为△OAB. 若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形, ?x+y>6-x-y, ?x+y>3, 则还要满足?x+6-x-y>y,即为?y<3,

?

?

? ?y+6-x-y>x,

? ?x<3.

所表示的平面区域为△DEF, S△DEF 1 由几何概型知,所求概率为 P= = . S△AOB 4

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