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【测控指导】2018版高中数学人教B版必修1课件 3.2.2 对数函数


3.2.2 对数函数

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1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型. 2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象. 3.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系. 4.熟练掌握对数函数的图象和性质.

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1.对数函数的定义 函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)称为对数函数,其中x是自变量. 名师点拨1.对数函数也采取形式化的定义方式,即形如 y=logax(a>0,a≠1,x>0)的函数叫做对数函数.对数函数的解析式具 有以下特征:对数符号前面的系数等于1;对数的底数必须是大于0 且不等于1的实数;对数的真数仅为自变量x. 2.对数函数的解析式中其底数与指数函数解析式中的底数在范 围上是一样的,即a>0,且a≠1. 3.由对数函数的定义可知,对数函数与指数函数的定义域和值域 恰好互换.

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【做一做 1-1】 给出以下函数:①y=-log3x;② y=log 3 ; ③y=logx4;④y=2log5x;⑤y=log2(x-2);⑥y=log2(4x).其中是 对数函数的是 .(填序号)

解析 :只有②y=log 3 符合对数函数的定义,其余均不是对数函 数.

答案:②

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2.对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1

图象 定义域:(0,+∞) 值域:R 性质 过点(1,0),即当 x= 1 时,y=0 当 x∈(0,1)时,y<0 当 x∈(1,+∞)时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 当 x∈(0,1)时,y>0 当 x∈(1,+∞)时,y<0 在(0,+∞)上是减函数

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归纳总结1.对数函数的图象都经过定点(1,0)是因为不论a取何值, 总有loga1=0.对于函数y=logaf(x)+b(a>0,a≠1),若令f(x)=1,解得x=x0, 则该函数图象一定经过定点(x0,b).

2.函数 y=logax(a>0,a ≠1)与 y=log 1 ( a>0,a ≠1)的图象关于 x 轴 对称,这是因为 y=log1 = ?logax.


3.设y1=logax,y2=logbx,其中a>1,b>1(或0<a<1,0<b<1). 当x>1时,“底大图低”,即若a>b,则y1<y2; 当0<x<1时,“底大图高”,即若a>b,则y1>y2. 4.对于对数函数y=logax,当y=1时,x=a,而a恰好又是对数函数的底 数,这就启发我们,不妨作直线y=1,它与对数函数的图象相交,交点 的横坐标恰好就是对数函数的底数,用这种办法可以快速地比较出 多个对数函数的底数的大小.

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2

【做一做2-1】 下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是 ( ) A.y=5x B.y=lg x+2
C.y=x2+1 D.y=log1
2

答案:D

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【做一做2-2】 函数f(x)=|log2x|的图象是(

)

log2 , ≥ 1, 解析 :f(x) = 只需把函数y=log2x 的图象在 x -log2 ,0 < < 1, 轴下方的部分翻折到 x 轴上方即可.

答案:A

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【做一做2-3】 若a>0,且a≠1,则函数y=loga(x-1)-1的图象恒过 点 . 解析:由函数y=logax的图象恒过点(1,0)可知, 当x-1=1,即x=2时,y=-1. 答案:(2,-1)

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一、底数对对数函数图象的影响 剖析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=log2x及y=log3x 的图象,如图所示,可以看出,底数越大,图象越靠近x轴.同理,当 0<a<1时,底数越小,函数图象越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解 决真数相同,对数不等时比较底数大小的问题.

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类似地,在同一平面直角坐标系中分别作出y=logax(a>1)及 y=logax(0<a<1)的图象.如图所示,它们的图象在第一象限的规律是: 直线x=1把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都 是由左向右逐渐增大.例如,C1,C2,C3,C4分别对应
y=log 1 ,y=log 2 ,y=log 3 ,y=log 4 , 则必有a4>a3>1>a2>a1>0.

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二、比较对数值大小的方法总结 剖析:利用对数函数的性质可以比较两个对数的大小,常用的方 法是:当底数相同真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行 比较,即当a>1时,在(0,+∞)上是增函数,当0<a<1时,在(0,+∞)上是减 函数;当底数不相同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映 出的规律进行比较;当底数和真数各不相同时,可考虑引进第三个 数(常用“0”或“1”)分别与之比较,通过第三个数的传递进而比较出 两个对数的大小.当底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对 底数进行讨论来比较两个对数的大小. 对于多个对数的大小比较,通常先找出(-∞,0),(0,1),(1,+∞)中的各 数,然后把位于同一区间中的数进行比较.

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三、函数y=|logax|(a>0,a≠1)与y=loga|x|(a>0,a≠1)的图象与性质 剖析:(1)函数y=|logax|(a>0,a≠1)的图象与性质
a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 单调性

(0,+∞) [0,+∞) 在 (0,1)上单调递减,在 (1,+∞)上单调递增

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(2)函数y=loga|x|(a>0,a≠1)的图象与性质
a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 单调性 奇偶性

(-∞ ,0)∪(0,+∞ ) R 在(-∞ ,0)内单调递减 在(0,+∞ )内单调递增 偶函数 在(-∞ ,0)内单调递增 在(0,+∞ )内单调递减

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四、教材中的“?” 对数函数y=logax(a>0,且a≠1),当a>1,x取何值时,y>0?x取何值 时,y<0?0<a<1呢? 剖析:结合对数函数的图象可知, 当a>1时,若x>1,则y>0;若0<x<1,则y<0. 当0<a<1时,若x>1,则y<0;若0<x<1,则y>0. 实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y=logmn 有以下规律: (1)当(m-1)(n-1)>0,即m,n的取值范围相同(相对于“1”而言) 时,logmn>0; (2)当(m-1)(n-1)<0,即m,n的取值范围相反(相对于“1”而言) 时,logmn<0.有了以上规律,我们再判断对数值的正负就很简单了.
如 log 1 3<0,log 1 > 0,log5π>0 等,一看便知结果.
2

1 5 3

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题型二

题型三

题型四

题型五

题型一

有关对数函数的定义域、值域的问题

【例 1】 求下列函数的定义域: (1)y=log2(x-1)+log2(x+1); (2)y= (3)y= (4)y=
lg(6-) ; -2

log4 -2; log 1 ( + 1) + 2.
2

分析:按照求函数定义域的基本要求以及对数式中“真数大于0” 这一限制条件,列不等式组求解.

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题型二

题型三

题型四

题型五

解 :(1)要使函数有意义 ,则 解得 x>1, 故函数的定义域为 (1,+∞);

-1 > 0, + 1 > 0,

-2 ≠ 0, (2)要使函数有意义 ,则 6- > 0, 解得 x<6,且 x ≠2, 故函数的定义域为 (-∞,2)∪(2,6); (3)要使函数有意义 ,则 log4x-2≥ 0,即 log4x≥2. 解得 x≥16,故函数的定义域是[16,+∞);

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题型五

(4)要使函数有意义,则 log1 (x+1)+2≥0,
2

即 log 1 (x+1)≥-2,也就是 log 1 (x+1)≥log 1 4,
2 2 2

则 x+1>0,且 x+1≤4, 解得 -1<x≤3,故函数的定义域为(-1,3].
反思根据解析式,求与对数有关的函数的定义域,除了我们以前知 道的限制条件外,还要注意对数的底数大于0不等于1,真数大于0.

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题型四

题型五

【变式训练 1】 求下列函数的定义域: (1)f(x)=log2 log 1 (2-1) .
3

1 1 ; (2)f(x)=log1 (2x-1) + ; (3)f(x) log 4-3 2 3

=

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题型五

3 ,+∞ 4

1 解 :(1)要使函数有意义 ,则 4-3

> 0, 即x>

3 , 故函数的定义域为 4

;

2-1 > 0, 1 (2)要使函数有意义 ,则 解得x> , 且x ≠1,故函数的定义 2 log2 ≠ 0,
1 ,1 2

域为

∪(1,+∞);
3

(3)要使函数有意义 ,则 log1 (2x-1)≥0,所以 0<2x-1≤ 1,解得 < ≤1, 故函数的定义域为
1 ,1 2

1 2

.

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题型五

【例2】 求函数y=log2(x2+2x+5)的值域. 分析:先对真数配方,再利用对数函数的单调性求解. 解:因为函数的定义域为R, 且x2+2x+5=(x+1)2+4≥4>0, 所以log2(x2+2x+5)≥log24=2, 即函数的值域为[2,+∞). 反思求与对数函数相关的函数的值域时,首先应确定其定义域,然 后求出真数上的代数式的取值范围,再结合对数函数的单调性求出 其值域.

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题型四

题型五

【变式训练2】 求下列函数的值域: (1)f(x)=log3(2x-1),x∈[2,14];
(2)f(x)=log 1 (3+2x-x2).
2

解:(1)当2≤x≤14时,3≤2x-1≤27, 故1≤log3(2x-1)≤3, 即函数的值域为[1,3]. (2)因为3+2x-x2=-x2+2x-1+4=-(x-1)2+4≤4,
所以 log1 (3+2x-x2)≥l og1 4=-2.
2 2

故函数的值域为[-2,+∞).

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题型二

利用对数函数的性质比较大小

【例3】 比较大小: (1)log0.27与log0.29; (2)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1); (3)log85与lg 4.

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题型五

解:(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应 的两个函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29. (2)把lg m看作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数,要比较两数的大 小,关键是比较底数lg m与1的关系. 若lg m>1,即m>10,则y=(lg m)x在R上单调递增,故(lg m)1.9<(lg m)2.1;若0<lg m<1,即1<m<10,则y=(lg m)x在R上单调递减,故(lg m)1.9>(lg m)2.1;若lg m=1,即m=10,则(lg m)1.9=(lg m)2.1. (3)因为底数8,10均大于1,且10>8, 所以log85>lg 5>lg 4,即log85>lg 4.

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题型五

反思本例中(1)小题是直接利用对数函数的单调性;(2)小题是指 数函数单调性及对数函数性质的综合运用;(3)小题是中间量的运 用.当两个对数的底数和真数都不相同时,需要找出中间量来“搭桥”, 再利用对数函数的单调性求解.常用的中间量有0,1,2等,可通过估 算加以选择.

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题型五

【变式训练 3】 (1)比较大小:log32,l og 1 3,log2 5;
5

(2)若 loga 4<1,求实数 a 的取值范围.

解 :(1)因为 0<log32<1,l og 1 3<0,log2 5 > 1,
5

所以 log2 5 > log32 >log 1 3.
5

(2)当 a>1 时 ,由 loga4< 1 知 loga 4<logaa,得 a>4; 当 0<a<1 时 ,由 loga4< 1 知 loga 4<logaa,得 a<4. 又因为 0<a<1,所以 0<a<1, 综上可知 ,实数 a 的取值范围是(0,1)∪(4,+∞).

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题型四

题型五

题型三

对数函数图象的应用

【例4】 画出函数y=log2x2的图象,并根据图象指出它的单调区 间. 分析:先对函数的定义域及奇偶性进行探索,再画图象研究函数 的单调区间.

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解:由题意知,函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 因为f(-x)=log2(-x)2=log2x2=f(x), 所以y=log2x2是偶函数,它的图象关于y轴对称. 当x>0时,y=log2x2=2log2x,因此先画出 y=2log2x(x>0)的图象为C1,再作出C1关于y轴对 称的图象C2,C1与C2构成函数y=log2x2的图象,如图所示. 由图象可以知道函数y=log2x2的单调递减区间是(-∞,0),单调递增 区间是(0,+∞). 反思作图象时一定要考虑函数的定义域,否则会求出错误的单调 区间.同时在确定单调区间时,要注意单调区间的分界点,特别要注 意区间的开与闭.

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【变式训练 4】 画出函数 f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、 单调区间以及在区间
log3 , ≥ 1, -log3 ,0 < < 1, 所以在 [1,+∞)上 f(x)的图象与 y=log3x 的图象相同 ,在(0,1)上的 图象与 y=log3x 的图象关于 x 轴对称 ,据此可画出其图象如图所示 . 解 :因为 f(x)=|log3x| = 由图象可知 ,函数 f(x)的值域为 [0,+∞),单调递增区间是 [1,+∞), 单调递减区间是 (0,1). 当 x∈
1 9 1 ,6 9

1 ,6 9

上的最大值.

时 ,f(x)在

1 ,1 9

上是单调递减的,在 (1,6]上是单调递增的 . 又 = 2,f(6)=log36< 2,
1 ,6 9

故 f(x)在

上的最大值为2.

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题型五

【例5】 画出函数y=|log2(x+1)|+2的图象. 分析:可先画出它的基本函数的图象,再做适当的变换,然后分步 骤完成. 解:第一步:作y=log2x的图象,如图①所示. 第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位,得y=log2(x+1) 的图象,如图②所示. 第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得 y=|log2(x+1)|的图象,如图③所示. 第四步:将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位,便得 到所求函数y=|log2(x+1)|+2的图象,如图④所示.

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反思含有绝对值的函数的图象可通过对称变换得到,一般 地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)| 的图象与y=f(x)的图象,在f(x)≥0时相同,而在f(x)<0时,关于x轴对称.

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【变式训练 5】

1 函数 f(x)=log4 的图象大致是(

)

1 解析 :因为 f(x)=log4

= ?log4x,所以 f(x)图象与函数 y=log4x 的

图象关于 x 轴对称,故选 D.
答案:D

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题型四

求复合函数的单调区间

【例6】 已知函数f(x)=log2(3x2-2x-1),试确定f(x)的单调递增区间. 分析:根据复合函数单调性的知识可知,要使f(x)为增函数,则内、 外层函数的单调性一致.因为2>1,所以y=log2x为增函数,故只需求 函数y=3x2-2x-1的单调递增区间即可,但不能忽略函数的定义域.

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解 :由 3x2-2x-1>0,得 x<? 或x>1, 即 f(x)的定义域为 -∞,令 u(x)=3x2-2x-1=3
1 ,+ 3 1 ∪(1,+∞). 3 1 2 4 1 ? , 其函数图象的对称轴为x= , 故 3 3 3

1 3

∞ 是u(x)的单调递增区间.

结合函数的定义域可知,f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
反思求复合函数的单调区间的步骤:(1)求出函数的定义域;(2)将 复合函数分解为初等函数;(3)分别确定各个初等函数的单调性;(4) 根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.

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【变式训练 6】 在例 6 中,若函数 f(x)=log 1 (-3x2+2x+1),再确定
2

f(x)的单调递增区间.

解 :由 -3x2+2x+1>0,得 3x 2-2x- 1<0,
1 即? 3

< < 1.
2

令 u(x)=-3x +2x+1=-3 对称轴为 x= , 故
1 3 1 ,+∞ 3

1 2 3

+ , 其图象为抛物线,开口向下 ,
2

4 3

是u(x)的单调递减区间,又 y=log 1 是u
1 - ,1 3

的减函数 ,且 f(x)的定义域为 即其单调递增区间是
1 ,1 3

, 因此,f(x)在

1 ,1 3

上是增函数,

.

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题型四

题型五

题型五

易错辨析

易错点 :忽视对底数的分类讨论致误 【例 7】 解不等式 loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0,a ≠1). 错解一 :由 2x-5>x-1,得 x>4,故原不等式的解集为 {x|x>4}. 2-5 > 0, 错解二 :由 -1 > 0, 解得x>4, 2-5 > -1 , 故原不等式的解集为 {x|x>4}. 2-5 > 0, 错解三 :原不等式可等价变形为 -1 > 0, 解得x>4. 2-5 > -1, 所以当 a>1 时 ,原不等式的解集为 {x|x>4}; 当 0<a<1 时 ,原不等式的解集为

|5 < < 4 . 2

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错因分析:错解一中没考虑真数的取值范围,也没有对a进行分类 讨论;错解二中没有对a进行分类讨论;错解三中出现逻辑性错误,运 算变形的顺序出现了问题,即开始默认了a>1对原不等式进行了转 化是不正确的,虽然后来对a又进行了讨论,看起来结果正确.

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2-5 > 0, 正解 :当 a>1 时 ,原不等式等价于 -1 > 0, 2-5 > -1, 解得 x>4. 2-5 > 0, 当 0<a<1 时 ,原不等式等价于 -1 > 0, 2-5 < -1, 解得 < < 4 . 综上可知 ,当 a>1 时 ,原不等式的解集为 {x|x>4}; 当 0<a<1 时 ,原不等式的解集为
5 2

|

5 2

< < 4 .

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反思平时同学们做题难免出错,但要查找原因,从错误中汲取经验, 才能对知识的理解更加完善.

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【变式训练 7】 若函数 f(x)=logax(a>0,a ≠1)在区间 上的最大值与最小值之差等于2,求 a 的值.
,2 2

,2 2

解 :当 a>1 时 ,f(x)在 为
2

上单调递增,最大值为 f(2a),最小值

,
2 ,2 2 1 2 2

故 loga(2a)-log = 2, 解得a=2; 当 0<a<1 时 ,f(x)在
2

上单调递减,最大值为
1 2

,

最小值为f(2a),故 log ? loga(2a)=2,解得 a= . 综上可知 ,a 的值为 或 2.

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1 函数 f(x)=lg(2x-1)的定义域是( A.
1 ,+∞ 2

)

1 ,+∞ C.[1,+∞) D.(1,+∞) 2 1 1 解析:由 2x-1>0 得 x> , 故所求的定义域是 , + ∞ . 2 2

B.

答案:B

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2设a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析:a=log3π>log33=1;b=log76<log77=1,即 0<b<1;c=log20.8<log21=0,即c<0,故a>b>c. 答案:A

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3设0<x<1,且有logax<logbx<0,则a,b的大小关系是( A.0<a<b<1 B.1<a<b C.0<b<a<1 D.1<b<a 答案:B

)

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4 对数函数 y=logax 在 a 取不同的值时的图象如图所示,已知 a 的值 分别取 3, , , A.
4 3 1 , 则相应于C1,C2,C3,C4 的 a 值依次是 3 5 10 4 3 1 3, , , 3 5 10

(

)

4 1 3 B. 3, , , 3 10 5
C. , 3, ,
4 3 3 1 5 10

4 1 3 D. , 3, , 3 10 5
解析:当a>1时,图象上升;0<a<1时,图象下降.又当a>1时,a越大,图 象向右越靠近于x轴;当0<a<1时,a越小,图象向右越靠近于x轴.由此 可知答案为A项. 答案:A

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5函数f(x)=loga(4x-7)-3(a>0,a≠1)的图象一定经过定点 . 解析:不论a取何值,总有f(2)=loga1-3=-3,即图象一定经过点(2,-3). 答案:(2,-3)

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6 求函数 y=f(x)=-(log 1 )2-log1 + 5 在2≤x≤4 范围内的最值.
2 4

解 :y=f(x)=-(log 1 )2 ? log 1 + 5 .
2 2 2

1 2

令 t=log 1 , 则-2≤t≤-1.
1 2 1 2 81 =? + + (-2≤t≤-1). 4 16 9 因此 ,ymax=g(-1) = ,ymin=g(-2)=2, 2

故 y=g(t)=-t2 ? + 5

即函数 f(x)的最小值为 2,最大值为 .

9 2


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