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第3讲 函数的奇偶性与周期性


第3讲 【2013 年高考会这样考】 1.判断函数的奇偶性. 函数的奇偶性与周期性 2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念, 明确它们在研究函数中的作用和功能. 重点解决综合利用函数的性质解决有关问 题. 基础梳理 1.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函 数 f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区 间上的单调性相反. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内 的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个 函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图 象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则:y =f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 其中一个周期为 T=2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a -b|. 双基自测 ? 5? 1. (2011· 全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 则 f?-2? ? ? =( 1 A.-2 ). 1 B.-4 1 C.4 1 D.2 1 1 或 f(x+a)=- , 那么函数 f(x)是周期函数, f?x? f?x? 1 ? 5? ?5? ?1? 解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,所以 f?-2?=-f?2?=-f?2?=-2.故选 A. ? ? ? ? ? ? 答案 A 1 2.(2012· 福州一中月考)f(x)= x -x 的图象关于( A.y 轴对称 C.坐标原点对称 ). B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 1 ?1 ? -(-x)=-? x-x?= ? ? -x 解析 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又 f(-x)= -f(x)

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