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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)专题讲座五知能训练轻松闯关


x2 y2 1.(2016· 长春质量检测)若 F(c,0)是双曲线 2- 2=1(a>b>0)的右焦点,过 F 作该双曲 a b 12a2 线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△OAB 的面积为 , 7 则该双曲线的离心率 e=( 5 A. 3 5 C. 4 ) 4 B. 3 8 D. 5 b 2ab 解析:选 C.设过第一、三象限的

渐近线的倾斜角为 θ,则 tan θ= ,tan 2θ= 2 2, a a -b 1 a3b 12a2 b 3 5 因此△OAB 的面积可以表示为 ·a·atan 2θ= 2 ,解得 = ,则 e= .故选 C. 2= 2 7 a 4 4 a -b 2. (2016· 山西省考前质量检测)已知 F 为抛物线 C: y2=4x 的焦点, 点 E 在 C 的准线上, 3? 且在 x 轴上方,线段 EF 的垂直平分线与 C 的准线交于点 Q? ?-1,2?,与 C 交于点 P,则点 P 的坐标为( ) A.(1,2) B.(2,2 2) C.(3,2 3) D.(4,4) 解析:选 D.由题意,得抛物线的准线方程为 x=-1, F(1,0). 设 E(-1,y), 因为 PQ 为 EF 的垂直平分线, 所以|EQ|=|FQ|, 3 即 y- = 2 解得 y=4, 所以 kEF= 4-0 1 =-2,kPQ= , 2 -1-1 3?2 (-1-1)2+? ?2? , 3 1 所以直线 PQ 的方程为 y- = (x+1), 2 2 即 x-2y+4=0. ?x-2y+4=0, ? 由? 2 ? ?y =4x, ?x=4, ? 解得? ? ?y=4, 即点 P 的坐标为(4,4),故选 D. x2 3.已知 F1、F2 分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆的中心 O 任作一直线与椭 4 → → 圆交于 P,Q 两点,当四边形 PF1QF2 的面积最大时,PF1·PF2的值为________. 解析:易知当 P,Q 分别是椭圆的短轴端点时,四边形 PF1QF2 的面积最大.由于 F1(- → → 3,0),F2( 3,0),不妨设 P(0,1),所以PF1=(- 3,-1),PF2=( 3,-1), → → 所以PF1·PF2=-2. 答案:-2 2π a2+e2 x2 y2 4.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e,则 a b 3 2b 的最小值为________. b 解析:由题意, = 3,所以 b= 3a, a 所以 c=2a,e=2, a2+e2 a2+4 a2+e2 a 2 2 3 2 3 = = + ≥ (当且仅当 a=2 时取等号),则 的最小值为 . 2b 3 2b 3 2 3a 2 3 3a 2 3 答案: 3 5.(2016· 东北三校联合模拟)已知圆 M:x2+(y-2)2=1,直线 l:y=-1,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相切.设动圆圆心 P 的轨迹为 E. (1)求 E 的方程; → → (2)若点 A,B 是 E 上的两个动点,O 为坐标原点,且OA·OB=-16,求证:直线 AB 恒过定点. 解:(1)设 P(x,y),则 x2+(y-2)2=(y+1)+1?x2=8y. 所以 E 的方程为 x2=8y. (2)证明:易知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2). 将直线 AB 的方程代入 x2=8y 中,得 x2-8kx-8b=0, 所以 x

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