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2016届福建省福州格致中学(鼓山校区)高三上学期第五次月考(期末)数学(文)试题


2016 届福建省福州格致中学 (鼓山校区) 高三上学期第五次月考 (期 末)数学(文)试题
命题: 审核:
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)

1 1.已知复数 z ? 1 ? ,(其中 i 为虚数单位),则 | z |? ( i



A.1 B. 2 C.2 D. 0 2 .某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布,即

X ? N (100, a2 )(a ? 0) ,试卷满分 150 分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于 90 分)的人数占
总人数的

1 ,则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为( 10
B.500 C.600 D.800



A.400

3、下列函数中,定义域为 R 且为增函数的是( ) A、 y ? ?

2 x

B、 y ? x3

C、 y ? ln x

D、 y ? tan x )

4、等比数列 ?an ? 中, a3 ? 8 ,前三项和为 S3 ? 24 ,则公比 q 的值是( A.1 B?

1 2
B. ?1

C -1 或 ?

1 2

D. 1 或 ?

1 2

5、如果执行如图 1 的程序框图,那么输出的值是( ) A.2015 C.

1 2

D.2

? ? ? ? ? ? 6、已知向量 a ? (k ,3) , b ? (1, 4) , c ? (2,1) ,且 (2a ? 3b) ? c ,则实数 k =
( ) A.3 B.

2 7、已知 f ( x) ? sin ( x ?

?

15 2

C.0

D. ?

9 2

1 ) 若 a ? f (lg5) , b ? f (lg ) 则 ( 4 5
C. a ? b ? 1



A. a ? b ? 0

B. a ? b ? 0

D .a ?b ?1

8、已知一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为( A. 27 ? ) B. 18 ?

3? 2

3? 2

C. 27 ? 3?

D. 18 ? 3?

9、 给出命题 p : 若平面 ? 与平面 ? 不重合, 且平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等, 则 ? // ? ; 命题 q :向量 a ? (?2, ?1), b ? (?,1) 的夹角为钝角的充要条件为 ? ? ( ? 列结论中正确的是( A. 命题“ p ? q ”为假 C. 命题“ p ? ? q ”为假 10、若 ? ? [0, ) B. 命题“ p ? q ”为真 D. 命题“ p ? ? q ”为真

?

?

1 , ??) . 关于以上两个命题,下 2

?
4

] , sin 2? ?

2 2 ,则 cos ? ? ( 3
1 3
C.



A.

2 3

B.

6 3

D.

3 3

11、 已知一个直三棱柱,其底面是正三角形,一个体积为 棱柱的表面积是( (A) 24 3 ) (B) 18 3

4? 的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个三 3

(C) 12 3

(D) 6 3

12 、 已 知 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 且 f ? x ? ? ?

2 ? ? ? x ? 2, x ? ? 0, 1 , f ? x ? 1? ? f ? x ?1? , 则 方 程 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 ? ? ? ?

f ? x? ?
(A) ?8

2x ?1 在区间 ? ?3,3? 上的所有实根之和为( ) x
(B) ?2 ( C) 0 (D)8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、已知函数 f ? x ? ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) ,若 f ? 9? ? 2 ,则 a ? .

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? 14、已知实数 x, y 满足: ? x ? 2 , z ?| 2 x ? 2 y ? 1 | ,则 z 的取值范围是 ?x ? y ?1 ? 0 ?
15、 若函数 f ?x ? ? x3 ? 3ax2 ? bx , 其中 a , b 为实数. f ?x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数, 且 b ? 9a , 则a的 取值范围. 16、设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积 大小为 ____________ 三、解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 12 分)

如图,在 ?ABC 中, B ? (Ⅰ)若 ?BCD 的面积为

?
3

, BC ? 2 ,点 D 在边 AB 上, AD ? DC , DE ? AC , E 为垂足.

3 ,求 CD 的长; 3

(Ⅱ)若 DE ?

6 ,求角 A 的大小. 2

18、 (本小题满分 12 分) 在数列 an 中,已知 a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N ?. (Ⅰ)设 bn ? an ? n ,求证:数列 ?bn ?是等比数列; (Ⅱ)求数列 an 的前 n 项和 Sn .

? ?

? ?

19、 (本小题满分 12 分) 如图,平面 PAD ⊥平面 ABCD , ABCD 为正方形, ?PAD ? 90 ,
0

且 PA ? AD ? 2, E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFG ; (Ⅱ)求异面直线 EG 与 BD 所成角的余弦值.

20、 (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 内一点 P (1,1) 的一条直线与椭圆交于点 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 E : 4 3
A, C ,且 AP ? ? PC ,其中 ? 为常数.
(Ⅰ)当点 C 恰为椭圆的右顶点时,试确定对应 ? 的值; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,求直线 AC 的斜率.

uu u r

uuu r

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? cx ? d 有极值. 3 2 1 2 d ? 2d 恒成立,求 d 的取值范围. 6

(Ⅰ)求 c 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值,且当 x ? 0 , f ( x) ?

选做题(本小题满分 10 分。请考生在第 22,23 两题中任选一题作答,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目的题号涂黑。 ) 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.直线 l 的参数方

3 ? x ? ?1 ? t ? ? ? 5 ( 为参数) 程是 ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . t 4 ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ?
(I)求曲线 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M , N 两点间的距离.

23.(本题满分 10 分)

4—5(不等式选讲)

设对于任意实数 x ,不等式 | x ? 7 | ? | x ? 1|? m 恒成立. (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式: | x ? 3 | ?2 x ? 2m ? 12 .

数学(文)参考答案 一,选择题:BABDC ACBAC BC 二,填空题: 3 二,解答题: 17,解:(Ⅰ)∵△BCD 的面积为 ∴ ∴BD= ????????????????????????????2 分 , ,

[0,5]

[1,??)

7 2 ?a 3

在△BCD 中,由余弦定理可得 = (Ⅱ)∵ ∵∠BDC=2∠A 在△BCD 中,由正弦定理可得 ∴ ∴cosA= ,∴A= . ,∴CD=AD= = = ;???????4 分

?????????????6 分 ??????????????????7 分 ???????????8 分 ???????????????????10 分 ???????????????????12 分

18,解:(Ⅰ)?

bn?1 an?1 ? (n ? 1) 4an ? 3n ? 1 ? (n ? 1) 4(an ? n) ? ? ? ? 4 ?????5 分 bn an ? n an ? n an ? n
????????????????????6 分 ??????????7 分

且 b1 ? a1 ? 1 ? 1

??bn ? 为以 1 为首项,以 4 为公比的等比数列
(Ⅱ)由(1)得 bn ? b1qn?1 ? 4n?1

???????????????????8 分

? an ? bn ? n ? 4n ?1 ? n , ????????????????????9 分 ? Sn ? (40 ? 41 ? 42 ? ?? 4n?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ?? n)
? 1 ? 4n n(n ? 1) 4n ? 1 n(n ? 1) ? ? ? 1? 4 2 3 2
????????10 分 ????????12 分

19,解.(Ⅰ) 作AB中点M,连接EM,MG,

??????????1 分

? MG / / AD, AD / / EF ,? MG / / EF , 从而MGFE在同一个平面内 ,????3 分
在三角形 PAB 中, PB / / EM ,

PB 在平面 EMGF 外, EM 在平面 EMGF 内
? PB / / 平面 EMGF ,
??????????5 分 ??????????6 分

即得PB / /平面EFG
(Ⅱ) 作BC中点N,连接NG,

? BD//NG,所以?EGN就是异面直线EG与BD的夹角, 取NG中点O,连接AO,EO,

????9 分,

由已知,可求得EO= EA2 ? AO2 =
2 ,EG= EO 2 ? OG 2 = 6, 2 3 为所求. 6

11 , 2

??????????10 分

OG=

??????????11 分

所以 cos?EGN=cos?EGO=

??????????12 分,

20,解:(Ⅰ)因为 C (2, 0) ,所以直线 PC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,?????????2 分

? y ? ?x ? 2 2 12 ? 由 ? x2 y 2 ,解得 A( , ) , ?????????4 分 7 7 ? ? 1 ? 3 ?4 ??? ? ??? ? 5 代入 AP ? ? PC 中,得 ? ? . ?????????6 分 7 ??? ? ??? ? (Ⅱ)因为 ? ? 1 ,所以 AP ? PC ,设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,
则 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 , ???????8 分

x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1, ? ? 1 ,两式相减, 又 4 3 4 3


( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0, 4 3

??????10 分



x1 ? x2 y1 ? y2 y ?y 3 3 ? ? 0 ,从而 1 2 ? ? ,即 k AC ? ? . 4 3 4 x1 ? x2 4

???12 分

22,解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? cx ? d , ∴ f ?( x) ? x2 ? x ? c ,????? 2 分 3 2

因为 f ( x) 有极值,则方程 f ?( x) ? x2 ? x ? c ? 0 有两个相异实数解, 从而 ? ? 1 ? 4c ? 0 ,∴ c ?

1 ?????????????????????? 4 分 4

(Ⅱ)∵ f ( x) 在 x ? 2 处取得极值,

f ?(2) ? 4 ? 2 ? c ? 0 ,
∴ c ? ?2 .???????????????????????????? 6 分 ∴ f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? 2x ? d , 3 2

∵ f '( x) ? x2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1), ∴当 x ? (??, ?1) 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递增, 当 x ? (?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递减. ∴当 x ? 0 时, f ( x) 在 x ? ?1 处取得最大值 ∵ x ? 0 时, f ( x) ? ∴

7 ? d ,??????????? 8 分 6

1 2 d ? 2d 恒成立, 6

7 1 ? d ? d 2 ? 2d ,即 (d ? 7)(d ? 1) ? 0 ,???????????????10 分 6 6

∴ d ? ?7 或 d ? 1 , 即 d 的取值范围是 (??, ?7) ? (1, ??) .??????????????????12 分

23,解: (Ⅰ)由 ? ?

2 sin(? ?

?
4

) 得,
????????2 分(Ⅱ)将直线参数方程代入圆 C 方

? ? sin ? ? cos? ,
t ? 20 ? 0 ??????6 分[ 程得, 5t ? 21
2

t1 ? t2 ?

21 , t1t2 ? 4 , 5

?????????8 分[

MN ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ?

41 . 5

??????10 分

? ?6 ? 2 x, ( x ? ?7) ? 解: (Ⅰ)设 f ( x) ?| x ? 7 | ? | x ? 1 | ,则有 f ( x) ? ?8, ( ?7 ? x ? 1) ? 2 x ? 6, ( x ? 1) ?
当 x ? ?7 时 f ( x ) ? 8 当 ? 7 ? x ? 1 时 f ( x ) 有最小值 8 当 x ? 1 时 f ( x) ? 8 综上 f ( x ) 有最小值 8 所以 m ? 8 (Ⅱ)当 m 取最大值时 m ? 8 原不等式等价于: | x ? 3 | ?2 x ? 4

------------ 1 分

----------------------------- 2 分 ----------- ----- 3 分 ------------------------------ ----- 4 分 ------------------ ----- 5 分 ------------------- ------6 分

----------------- ----- 7 分

等价于: ?

?x ? 3 ?x ? 3 或? ? x ? 3 ? 2 x ? 4 ?3 ? x ? 2 x ? 4
1 ? x?3 3
1 3

---------------- ----- 8 分

等价于: x ? 3 或 ?

-------------------- ------- 9 分 --------------------- ----- 10 分

所以原不等式的解集为 {x | x ? ? }


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