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27届全国高中物理竞赛复赛模拟题[1]


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全国高中物理竞赛模拟题一
1.光子火箭从地球起程时初始静止质量(包括燃料)为 M0,向相距为 R=1.8 ×1061.y.(光年)的远方仙女座星飞行。要求火箭在 25 年(火箭时间)后到达目 的地。引力影响不计。 1) 、忽略火箭加速和减速所需时间,试问火箭的速度应为多大?2) 、设

到达 目的地时火箭静止质量为 M0ˊ,试问 M0/ M0ˊ的最小值是多少? 分析:光子火箭是一种设想的飞行器,它利用“燃料”物质向后辐射定向光 束,使火箭获得向前的动量。求解第 1 问,可先将火箭时间 ? 0 ? 25a (年)变换

M0 ? 成地球时间 ? ,然后由距离 R 求出所需的火箭速度。火箭到达目的地时,比值 M 0
是不定的,所谓最小比值是指火箭刚好能到达目的地,亦即火箭的终速度为零, 所需“燃料”量最少。利用上题(本章题 11)的结果即可求解第 2 问。 解:1)火箭加速和减速所需时间可略,故火箭以恒定速度 ? 飞越全程,走完 全程所需火箭时间(本征时间)为 ? 0 ? 25a (年) 。利用时间膨胀公式,相应的地 球时间为

??

?0
1?

?2
c2



??


R

?

-1-

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R

?

?

?0
1?

?2
c2

解出

??
1?

c c? R
2 2 0 2

2 ? c 2? 0 ? ? ? c 1 ? 0.96 ?10?10 ? c? 1 ? 2 ? ? R ? ?

?

?

可见,火箭几乎应以光速飞行。 (2) 、火箭从静止开始加速至上述速度 ? ,火箭的静止质量从 M0 变为 M,然

M0 ? 最小时,到达目 后作匀速运动,火箭质量不变。最后火箭作减速运动,比值 M 0

? 。加速阶段的质量变化 的地时的终速刚好为零,火箭质量从 M 变为最终质量 M 0
可应用上题(本章题 11)的(3)式求出。因光子火箭喷射的是光子,以光速 c 离 开火箭,即 u=c,于是有

M ?1? ? ?2 ? ?? ? M0 ? ?1? ? ?

1

(1)

? ? ?c 为加速阶段的终速度,也是减速阶段性的初速度。对减速阶段,可应
用上题(本章题 11)的(4)式,式中的 m0 以减速阶段的初质量 M 代入。又因减 速时必须向前辐射光子,故 u=-c,即有

M ?1? ? ? ? ?? ? M0 ? ?1? ? ?
由(1) 、 (2)式,得

1 2

(2)

M 1 ? ? 4R 2 4R 2 ? ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 4 ? 1010 ? 1? ? c ? 0 M0 c ?0
-2-

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y

? u
A B

2.如图 52-1 所示,地面上的观察者认为在地面上 同时发生的两个事件 A 和 B, 在相对地面以速度 u( u 平

? ?

O

x 行于 x 轴,且与正方向同向)运动的火箭上的观察者的
判断正确的是(
图 52-1

z



A、A 早于 B B、B 早于 A C、A、B 同时发生 D、无法判断

解:在地面(S 系)上, ?x ? xB ? x A , ?t ? t B ? t A ? 0 ,在火箭( S ? 系)中,

ux B ? ? ux ? ? ? ?t ? ? t ? ? r? t A ? 2A ? B ? t A ? r? t B ? 2 ? c ? ? c ? ?
? r ?t B ? t A ? ? ? ux A ?x A ? xB ? c2

ux A ?x A ? x B ? c2

因 r ? 0 , u ? 0 , x A ? xB ? 0 ,故 ?t ? ? 0 。即从火箭上观察,B 事件在前,A 事 件在后,选 B。

3. 如图 11-195 所示,正方形均质板重 G,用 4 根轻质杆铰 链水平悬挂,外形构成边长为 a 的立方体,现将方板绕铅垂对称 轴旋转θ 角度,再用一细绳围绕四杆的中点捆住,使板平衡于θ 角位置。试求绳内的张力。
G
图 11-195

分析:初看此题,一般都会觉的比较复杂,因为题中铰链就 有 8 个,加上 4 根轻质杆与绳子有 4 个接触点,一共有 12 个受

力点,而且初看甚至想象不出木板旋转θ 角度以后整个系统是什么样子,即使把 各个受力点的力逐个画出来也无济于事。应该先想一想哪些点都是对称的(等价

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的) ,找出最基本的部分,再把空间方向确定下来,然后好画出各个力点的受力情 况。 解:把木板绕铅垂对称轴旋转θ 角度以后,系统虽然不是一个很对称的立方 体,但把系统绕铅直轴旋转 90 度的整数倍,系统的与自身重合,说明四根轻杆的 受力情况是完全一样的。系统处于平衡状态,把四根轻杆,木板,绳组成的部分 看成刚体,则刚体受四个铰接部分的力而平衡,重力方向的平衡可以得出,竖直 方向对每根轻杆的拉力 T 上为:

4T上 ? G

(1)

而铰接处是否对轻杆有水平方向的作用力,暂时还不好确定, 不过可以为 N//,从俯图来看四根轻杆的受力情况(如图 11-196
O

N //

所示) : 图中虚线表示正方形对角线的外延部分,如果 N//不在对角线
图 11-196

方向上,则四个 N//对 O 点有一个力偶矩,将使得下面的部分旋转,与平衡假设相 矛盾,因此水平弹力必然在对角线方向,要么都向外,要么都向里(设向外为正, 这种设法不会影响结果) 。 同样的道理,把木板隔离开来,可知木板对轻杆往下的拉力 T下 为:

4T下 ? G

(2)

? N // T// T//

而水平方向的作用力必沿对角线方向(否则木板 旋转) , 木板对杆的作用力向里向外的性质与上端铰链 的方向相同,否则以绳对杆的作用点为支点,力矩无 法平衡。
图 11-197

y

? ?

?

O

N // x

?

-4-

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下面再看整个系统的俯视图(如图 11-197 所示) ,把轻杆隔离出来作为平衡的 刚性杆,利用力的平衡条件和力矩的平衡条件可求出拉力 T 的大小。 绳作用在每根转杆的中点,在俯视图上不难看出,绳子构成一个正方形,且 在水平面内,因而可以知道绳对轻杆仅有水平面内,因而可以知道绳对轻杆仅有 水平面内的拉力,轻杆在竖直方向上力的平衡是满足的:

T上 ? T下

(3)

? 的关系,以及 N // 与 T// 的关系,设 取一根轻杆为研究对象不难求出 N // 与 N //
绳的张力为 T,则水平合力 T// ? 2T 。 x 方向水平力平衡:

? s i n ? N // s i n N // 2 2
y 方向水平力平衡:

?

?

(4)

? c o s ? N // c o s ? T// ? 2T N // 2 2

?

?

N
(5)

// min

?
2

T上
A

在过轻杆的竖直面内来分析力矩平衡(只研究平面内转矩) ,如图 a cos? 11-198。 对于 A 点,力矩平衡

T//

N?

// min

?
2

图 11-198

2a sin T下 2

?

B

? s i n ?a c o? N // s ? T下 ? 2a s i n 2 2
联合(2) 、 (4) 、 (5) 、 (6)式可得

?

?

(6)

G ?c o s 2 T? 2 c o? s

?

-5-

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a1

a2

4. 如图 12-30 所示,一小车对地以加速度 a1=1m/s 向左由静

2

止开始作匀加速运动,车上一人又以加速度 a2=2m/s2 相对于车向
图 12-30

右同时由静止开始作匀加速运动。求: (1)人对地的加速度; (2)

经历时间 t1=1s,人对地的瞬时速度; (3)经历时间 t2=2s,人对地的位移。 解: (1) a人地 ? a人车 ? a车地

?a1 与 a2 方向相反选 a2 为正方向


a人地 ? 2m / s 2 ? m s 2
? 1m / s 2
(2)t=1s 时,

?人车 ? 2m / s

?车地 ? ?1m / s
?

?人地 ? 2m / s ?1m / s
? 1m / s

(3)?

a人地 ? 1m / s 2
1 1 ? a ? t 2 ? s ? ? 1 ? 2 2 ? 2m 2 2

?

5.有一小直径为 d 的试管,管内装有理想气体,其中有一段质量 m=2g 的水 银将理想气体和空气隔开。 当试管口向上时, 气体在试管中的长为 L1 (图 24-30 (a) 中的(a) ) ,当将管口向下时,气体在试管中长为 L2(图 24-30(b)中的(b) ) , 试求 L2/L1 为多少? 解:如果是等温过程,可得理想气体的状态方程
PV ? 常数

-6-

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对于上述两种情况,可有

Pat
L2

P 1V1 ? P 2V2
现在考虑在每一情况作用中在气体上的压强, 如图 24-30 (b)所示,可得
P
L1

P
Pat

图 24-30(b)

V2 P1 ? ? V1 P2

P大气 ? P大气

W S W ? S

式中 S 为试管内部的截面积,W 为水银的重量,W=mg,则

V2 SL2 ? ? V1 SL1
消去 S 得

P大气 ? P大气

mg S mg ? S

L2 ? L1

P大气 ? P大气

4m g ?d 2 4m g ? ?d 2
h
2h

6.有一个两端开口、粗细均匀的 U 型玻璃细管,放置在竖直平面内,处在 压强为 p0 的大气中,两个竖直支管的高度均为 h,水平管的长度为 2h,玻璃细 管的半径为 r,r?h,今将水平管内灌满密度为 ρ 的水银,如图 24-54(a)所示。 1.如将 U 型管两个竖直支管的开口分别封闭起来,使其管内空气压强均等于 大气压强,问当 U 型管向右作匀加速移动时,加速度应多大才能使水平管内水银
5 h 柱长度稳定为 3 。

图 24-54(a)

2.如将其中一个竖直支管的开口封闭起来,使其管内气体压强为 1atm,问当 U 型管绕以另一个竖直支管(开口的)为轴作匀速转动时,转数 n 应为多大才能使

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5 h 水平管内水银柱长度稳定为 3 。

(U 型管作以上运动时,均不考虑管内水银液面的倾斜) 解:1、当 U 型管向右加速移动时,水平管内的水银柱将向左边的竖直 支管中移动,其稳定的位置是留在水平管内的水银柱所受的水平方向的合力

a
1 h 3
A

B

图 24-54(b)

等于使其以恒定加速度 a 向右运动时所需的力。由于竖直支管内空气在膨胀或压 缩前后的温度相等,根据气态方程有
p 0 hS ? 4 p1 hS 3

右管:

左管:

p 0 hS ?

2 p 2 hS 3

S 为管的截面积,图 24-54(b)中,A、B 两处压强分别为:
p A ? p2 ? 1 ?gh 3

p B ? p1
而留在水平管内的水银柱质量
m? 5 ?hS 3

其运动方程为 由以上各式可得

( p A ? p B )S ? m ? a

a ? (9 p0 ? 4?gh) /(20?h)
2.当 U 型管以开口的竖直支管为轴转动时,水平管内的水银柱将向封闭的

?
h/3
B A

-8-

图 24-54(c)

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竖直支管中移动,其稳定位置是水平管内的水银柱所受的水平方向的合力,正好 等于这段水银柱作匀速圆周运动所需的向心力。由于封闭竖直支管内空气在压缩 前后的温度相等,根据气态方程有
p 0 hS ? 2 ?hS 3

S 为管的截面积。图 24-54(c)中 A、B 两处的压强分别为
pA ? p ? 1 ?gh 3

p B ? p0
留在水平管内的水银柱的质量
m? 5 ?hS 3

其运动方程为

( p A ? pB )S ? m? 2 R ? 4? 2 n 2 mR

其中

R?

7 h 6

由以上各式可得

n ? (9 p0 ? 6 ?gh) /(140 ? 2 ?h 2 )

?

?

1 2

r
i

O

?0

?1

n5 n4 厚度 d=0.1mm 的薄层紧密连接构成,图 33-40 表示各薄层互相垂直 n3 n ?2 n2 的一个截面,若最下面一层的折射率为 n0,从它往上数第 K 层的折 1 n0
射率为 nK=n0-Kv,其中 n0=1.4,v=0.025,今有一光线以入射角 i=60°

7. 有一块透明光学材料, 由折射率略有不同的许多相互平行的,

图 33-40
-9-

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射向 O 点,求此光线在这块材料内能达到的最大深度? 解:设光线进入材料后的折射角为 r,则根据折射定律有 sin i ? n0 ? sin r ,此
r?

?
2

光线从最下面一层进入向上数第一层时, 入射角为 同样根据折射定律有
?? ? ?? ? n0 ? sin? ? ? 0 ? ? n1 sin? ? ?1 ? ?2 ? ?2 ?,

? ?0

, 折射角为

r?

?
2

? ?1



也即

n0 ? c o ? s0 ? n1 c o ? s1

光线从第一层进入第二层时,同样可得

n1 ? c o ? s0 ? n2 c o ? s1
综合以上分析可得:

n0 ? c o ? s0 ? n1 c o ? s1 ? n2 c o ? s2 ? ?? ? nK ? c o ? sK
因为 nK ? n0 ? K ? 0.0025, 所以 cos? K 随着 K 的增大而增大,? K 则随着 K 的增 大而减小,即光线在顺序变化的介质中传播时将偏向折射率变大的方向。满足上 式又当 cos? K 最接近 1 的 K 值即为光线能进入的最深薄层的序号, 光线在这个薄层 上将发生全反射,然后又逐层返回下面最后射出透明材料。 因此求出能满足下式的 K 的最大值

c o? sK ?

n0 ? c o ? s0 n0 ? c o ? s0 ? ?1 nK n0 ? K?

因为 n0 ? cos?0 ? n0 sin r ? sin i 代入上式得:
c o? sK ? sin i ?1 n0 ? K?

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解得:

K?

n 0 ? sin i

?

?

1.41 ? 0.866 ? 21.76 0.025

取小于 21.76 的最大整数, 得 K=21,即在 n0 上面第 21 层下表面就是光线能到 达的最深处,所以光线在这块透明材料内能达到的最大深度是

h ? ?K ? 1?d ? 22? 0.1mm ? 2.2mm .
8.(1)图 33-98 所示为一凹球面镜,球心为 C,内盛透明液体,已知 C 至液面高 度 CE 为 40.0cm,主轴 CO 上有一物 A,物离液面高度 AE 恰好为 30.0cm 时, 物 A 的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小,可以保证近轴光线成 像。试求该透明液体的折射率 n。 ( 2 )体温 圆 柱 为 圆 人眼,
A

计横截面如图 33-99 所示,已知细水银柱 A 离
R C 2R
图 33-99

面顶点 O 的距离为 2R,R 为该圆柱面半径,C
O
E

柱面中心轴位置。玻璃的折射率 n=3/2,E 代表 求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚

实、正倒和放大倍数。 分析: (1)通过折射定律和光圈足够小的条件可求出液体的折射率。 ( 2)注意在 近轴条件下的近似,再通过几何知识即可求解。 解: (1)主轴上物 A 发出的光线 AB,经液体界面折射后沿 BD 方向入射球面镜时, 只要 BD 延长线过球心 C,光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性 原理,折回的光线相交于 A(图 33-100) 。 对空气、液体界面用折射定律有
sin i ? n ? sin r

n?

sin i BE / AB ? sin r BE / CB

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当光圈足够小时, B ? E ,因此有

n?

CE 40.0 ? ? 1.33 AE 30.0

(2) 先考虑主轴上点物 A 发出的两条光线, 其一沿主轴方向 ACOE 入射 界面,无偏折地出射,进入人眼 E。其二沿 AP 方向以入射角 i 斜入射界面

r

C A

i i B E D O
图 33-100

P 点,折射角为 r。折射光线 PQ 要能进入人眼 E,P 点应非常靠近 O 点, 或者入射角 i 和折射角 r 应很小。若角度以弧度量度,在小角(近轴)近似 下,折射定律 n sin i ? sin r 可写为 r ? ni 。这两条光线反向延长,在主轴上

相交于 A? , A? 即为物 A 之虚像点(图 33-101) 。 对 ? AP A? 用正弦定律,得

sin ?A?PA sin(? ? i ) sin i ? ? A?A A?P A?P
在小角(近轴)近似下:
sin ?A?PA ? ?A?PA ? ni ? i, sin i ? i

A?P ? A?O
ni ? i i ? A?O ? 2 R A?O

上式可写为 解上式得

A?O ?

2R 2R ? ? 4R 2 ? n 2 ? 3/ 2

为了分析成像倒立和放大情况,将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体 AB,即然
A ~ A? 是一对共轭点,只要选从 B 发出的任一条光线经界面折射后,反向延

长线与过 A? 点垂轴线相交于 B ? , B ? 是点物 B 虚像点,即 A?B ? 是物 AB 之正立 虚像。

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选从 B 点发出过圆柱面轴心 C 的光线 BC。该光线对界面 来说是正入射(入射角为零) ,故无偏折地出射,反

B? B A? A
图 33-101

n
i C i

P

r ? ni Q

O
E

向延长 BC 线交过 A? 垂轴线于 B ? ,从 ?A?B ?C ∽Δ ABC 得
A?B ? A?C 3R ? ? ?3 AB AC R

放大率

9. 如图 41-83 所示, 两个固定的均匀带电球面 A 和 B 分别带电 4Q 和 Q (Q>0) 。 两球心之间的距离 d 远大于两球的半径,两球心的连线 MN 与两球面的相交处都 开有足够小的孔,因小孔而损失的电量可以忽略不计。一带负电的质点静止地放 置在 A 球左侧某处 P 点,且在 MN 直线上。设质点从 P 点释放后刚好能穿越三个 小孔,并通过 B 球的球心。试求质点开始时所在的 P 点与 A 球球心的距离 x 应为 多少? 分析:质点释放后,由于质点带负电,A 球和 B 球带正电,故质点先加速,穿过 A 球 内时,不受 A 球的电场力作用,但仍受 B 球 的电场力,进一步加速。在两球之间时,存 在一质点所受合力为零的点,设此点为 S,且
M A
x d 图 41-83

4Q
P

Q

N
B

由于 A 球所带电量大于 B 球带电量,S 点应离 B 球较近。所以质点从 A 球内出来 后到 S 点这段距离内作减速运动,从 S 点到 B 球的第一个孔这段距离内作加速运 动。因此,为了使质点能到达 B 球的球心,第一个必要条件是,质点必须通过 S 点,即质点在 S 点的速度至少应大于零或至少等于零。若质点能通过 S 点,则如上 述,从 S 点到 B 球的第一个孔期间,质点沿 MN 向右加速。由于质点在 B 球内不

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受 B 球的电场力作用,但仍受 A 球向左的引力,质点减速,因此为了使用期质点 能通过 B 球的球心,第二个必要条件是,质点在 B 球球心处的速度应大于零或至 少等于零。 本题的关键在于带电体系的电势能与带电质点的动能之和,在该质点运动过 程中守恒。因此质点刚好能通过 S 点的条件可表示为,质点在 P 点和 S 点时,带 电体系的电势能相等(注意,质点在 P 点静止) 。同样,若质点在 S 点时带电体系 的电势能大于(或等于)质点在 B 球球心时带电体系的电势能,则表明质点若能 通过 S 点,就必定能通过(或刚好到达)B 球球心。 解:根据分析,在 MN 直线上在 A 球和 B 球之间有一个 S 点,带电质点在 S 点受力为零。设 S 点与 A 球和 B 球球心的距离为 r1 和 r2 ,则

k

4Q r12

?k

Q r22

r1 ? r2 ? d
由以上两式,可解出
r1 ? 2 1 d ; r2 ? d 3 3

带电质点从 P 点静止释放后,刚好能够到达 S 点的条件是,它在 P 点和 S 点 的电势能相等,即
k 4Q?? q ? Q?? q ? 4Q?? q ? Q?? q ? ?k ?k ?k x x?d r1 r2

式中-q(q>0)是带电质点的电量。把上面解出的 r1 和 r2 代入,得
x? 2 9

? 10 ? 1?d
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为了判断带电质点刚好到达 S 点后,能否通过 B 球球心,需比较它在 S 点的 电势能 WS 与它在 B 球球心处的电势能 W B 的大小,因
WS ? k 4Q?? q ? Q?? q ? 9Qq ?k ? ?k r1 r2 d

WB ? k

?4 4Q?? q ? Q?? q ? 1 ? ? ?k ? ?k Q ? q ? ? ? r1 r2 ? d RB ?

式中 R B 为 B 球的半径。由题设

RB

?d



4 1 9 ? ? d RB d



WB ? WS

因此,带电质点只要能到达 S 点,就必定能通过 B 球球心。于是,所求开始 时 P 点与 A 球球心的距离 x 即为上述结果,即
x? 2 9

? 10 ? 1?d

10.如图 41-88 所示,在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同导体球,球心 分别位于边长为 r(r?a)的正方形的四个顶点上。首先,让球 1 带电荷 Q(Q?0) , 然后取一细金属丝,其一端固定于球 1 上,另一端分别依次与球 2、3、4、大地接 触,每次接触时间都足以使它们达到静电平衡。设分布在细金属丝上的电荷可忽 略不计。试求流入大地的电量的表达式。

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解:当球 1 与球 2 连接后,用 Q1? 和 Q2 分别表示球 1 和球 2 上
B A

a
b l
图 41-88

? ? Q / 2 。球 1 与球 3 连接后,因球 1 和球 3 的电量,可得 Q2 ? Q1
?? ? Q / 4. 球 1 处于对称位置,其电量 Q1?? 和 Q3 相等,故可得 Q3 ? Q1

d

D

与球 4 连接后,电荷分布呈不对称状态,设连接后球 1 和球 4 上的电量分别为 Q1 与 Q4。它们可利用等电势方法求出,即

U1 ? kQ1 / a ? kQ2 / r ? kQ3 / 2r ? kQ4 / r

? ?

U 4 ? kQ1 / a ? kQ2 / 2r ? kQ3 / r ? kQ4 / a
以上各式中, 计算各球上的电荷在另一球处引起的电势时, 利用了 r?a 的条件。

? ?

?? ? Q / 4, 由于 U1 ? U 4 ,且 Q1 ? Q4 ? Q1



Q1 ? Q 1 ? a 2 ? 1 / 2 ?r ? a? / 8

? ?

??

??

Q4 ? Q 1 ? a 2 ? 1 / 2 ?r ? a? / 8
利用 r?a 的条件,略去二阶小量,上式可写成
Q1 ? Q 1 ? a 2 ? 1 / 2r / 8

? ?

??

??

? ?

? ? ??

Q4 ? Q 1 ? a 2 ? 1 / 2r / 8
? 最后将球 1 与球 4 断开并把球 1 接地。 设接地后球 1 所带电量为 q1, 电势为 U 1 ,

? ?

? ? ??

则球 1 的电势为
? U 1 ? kQ1 / a ? kQ 2 / r ? kQ 3
- 16 -

? 2r ? ? kQ

4

/r ? 0

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q1 ? ?a Q2 ? Q3 / 2 ? Q4 / r

?

?

? ?aQ 5 / 8 ? 1/ 4 2 ?

?

? ? ? ? ??

2 ? 1 a / 8 2r / r

? ?

??

? ?aQ 5 / 8 ? 1/ 4 2 / r

?

此时球 1 上带负电,故流入大地的电量 Q入地 为

Q入地 ? Q1 ? q1

? Q 1 ? a 2 ? 1 / 2r / 8 ? aQ 5 / 8 ? 1/ 4 2 / r

? ?

?

?

?

? ??

? Q 1 ? a 5 ? 2 ?1 ? 2 / 2 / r / 8

? ?

? ?

? Q1? a 4 ? 3 2 / 2 / r / 8

? ?

? ?

? ? 3 2 ?? ?? 4 ? ? a? ? ? 2 Q? ? ? ?. 1 ? ? ? 8 r ? ? ? ? ?。 答: ?

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