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7.(杭二中高二期末考试)综合练习


杭州二中高二第一学期数学期末考试模拟卷
1. a ? 1 ” 是“直线 a ? a x ? y ? 0 和直线 2 x ? y ? 1 ? 0 互相平行”的( “
2

?

?



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2.设 a, b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列四个命题中,真命题为( A.若 a, b 与 ? 所成角相等,则 a // b C.若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ?

B.若 a // ? , b // ? , ? // ? ,则 a // b D.若 a ? ? ,b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b

?x ? 1 ? 3.设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域 ?2 与 ?1 关于直线 ?y ? x ?

3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B , | AB | 的最小值
为( A. )

28 5

B.

12 5

C.4

D.2

x2 y 2 4.设 P 为双曲线 ? ? 1 上的一点且位于第一象限。若 F1 、 F2 为此双曲线的两个 9 16
焦点,且 PF1 : PF2 ? 3 : 1 ,则 ?F1 PF2 的周长为 ( A. 22 B. 16
2

) C. 14 D. 12 )

5.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 2 ? 6 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是( A. [?1 ? 3 2 ,?1 ? 3 2 ] C. [2,?1 ? 3 2 ] B. [?1 ? 3 2 ,2] D. [?4,2]

6.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为

BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为(
A.



3 4
2

B.

5 4
?1 ?2 ? ?

C.

7 4

D.

3 4

7.设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,过点 M ? ,0 ? 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与

抛物线的准线相交于点 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S ?BCF =( S ?ACF

)

试卷第 1 页,总 6 页

A.

4 5

B.

8 5

C.

7 4

D.2

8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm )可得这个几何 体的体积为( )

1 3 3 4 3 C. cm 3
A. cm

B.

2 3 cm 3
3

2 2 正视图
1 1

D. cm

8 3

侧视图

2

2 俯视图 8题

9 . 设 F 是 抛 物 线 C1 : y ? 2 px? p ? 0? 的 焦 点 , 点 A 是 抛 物 线 C1 与 双 曲 线
2

C2 :

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的 a2 b2
) B. 5 C. 3 D.2

离心率为 ( A.

5 2

10. 已知 A , B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 长轴的两个顶点,M , N 是椭圆上关于 x a2 b2

轴对称的两点,直线 AM , BN 的斜率分别为 k1 , k 2 ,且 k1 k 2 ? 0 ,若 k1 ? k 2 的最小值 为 1,则椭圆的离心率为( A. ) B.

1 2

2 2

C.

3 2

D.

2 3

11.若命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 ________.

?x ?1 ? 0 ? 2 2 12.已知实数 x、y 满足:? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
13.已知双曲线
2

.

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线方程是 y ? 3 x ,它的一个焦 a2 b2
.

点与抛物线 y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的方程为

14.椭圆中心为坐标原点,焦点位于 x 轴上, A, B 分别为右顶点和上顶点, F 是左焦

试卷第 2 页,总 6 页

点;当 BF ? AB 时,此类椭圆称为“黄金椭圆” ,其离心率为 圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率为
?

5 ?1 .类比“黄金椭 2

.

15.三棱锥 S ? ABC 中, ?SBA ? ?SCA ? 90 , △ ABC 是斜边 AB ? a 的等腰直角 三角形, 则以下结论中: ① 异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90 ; ② 直线 SB ? 平面
?

ABC ; ③ 面 SBC ? 面 SAC ; ④ 点 C 到平面 SAB 的距离是
序号是 ______

a . 其中正确结论的 2

15 题

16. 如图, 在长方形 ABCD 中, AB ?

3 , BC ? 1 , E 为线段 DC 上一动点, 现将 ?AED

沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C ,则 K 所形成轨迹的长度为

16 题

17. (本小题满分 8 分)已知命题 P : 函数 f ?x ? ?

x 在区间 ?a,2a ? 1? 上是单调递 x ?1
2

增函数; 命题 Q : 不等式 ?a ? 2?x 2 ? 2?a ? 2?x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立.若 P ? Q 是 真命题,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 8 分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐 含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐 含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这 两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的 维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19 . 本 小 题 满 分 8 分 ) 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?ACB ? 90 , (
?

AC ? BC ? AA1 ? 1, D, E 分别为棱 AB 、 BC 的中点, M 为棱 AA1 上的点。
试卷第 3 页,总 6 页

(1)证明: A1 B1 ? C1 D ; (2) 当 AM ?

3 时,求二面角 M ? DE ? A 的大小。 2

20 . 本 题 满 分 12 分 ) 一 条 双 曲 线 (

x2 ? y 2 ? 1 的 左 、 右 顶 点 分 别 为 A1 , A2 , 点 4

M ?x1 , y1 ?, N ( x1 ,? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点。
(1)求直线 A1M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程式; (2)设直线 l 与曲线 E 相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为 (?2,0) ,若点

Q?0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 .求 y0 的值.

试卷第 4 页,总 6 页

杭州二中高二第一学期数学期末考试模拟卷答卷 班级
选择题 1 2 3 4 5

姓名
6 7 8 9 10

填空题 11. 14. 解答题 17.

12. 15.

13. 16.

18.

试卷第 5 页,总 6 页

19.

20.

试卷第 6 页,总 6 页

参考答案 1.A 【解析】 a ? 1 ? (a ? a) x ? y ? 0为2x+y=0 ,则两直线平行;若直线 a ? a x ? y ? 0 和
2

?

2

?

直线 2 x ? y ? 1 ? 0 互相平行,则 a ? a ? 2, 即a ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1或a ? ?2. 故选 A
2 2

2.D 【解析】A 错误;例如,正三棱锥的侧棱与底面所成的角都相等,侧棱不平行; B 错误;平行于两个平行平面的两条直线可能平行,相交或异面; C 错误;例如: ? ? ? ? c, a ? ? , b ? ? , a / / c, b / / c, 则 a / /b ; D 正确; a ? ? , ? ? ? ? a ? ? , 或a / / ? . 又 b ? ? ,? a ? b. 故选 D 3.C 【解析】 由题意知,所求的 值的两倍,画出 的最小值,即为区域 中的点到直线 的距离的最小

已知不等式表示的平面区域,如图所示, 可看出点(1,1)到直线 的距离最小,故 的最小值为

,所以选 B。 【命题意图】本题考查不等式中的线性规划及两个图形间最小距离的求解、基本公式(点到 直线的距离公式等)的应用,考查了转化与化归能力。 4.A 【解析】根据双曲线定义 PF1 ? PF2 ? 6, 又 PF1 ? 3PF2 ; ? PF1 ? 9, PF2 ? 3; F1F2 ? 10. 所以

?F1 PF2 的周长为 22.故选 A
5.B 【解析】

答案第 1 页,总 6 页

l2 l1
2

2 2 曲线 y ? 2 ? 6 x ? x 化为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 9(?1 ? y ? 2) ,表示以 (3, 2) 为圆心,3 为

2

半径的圆的在直线 y ? 2 下方的半圆;当直线 y ? x ? b 落在 l1与l2 之间时,满足条件; l1 过 点(0,2) ,则 b ? 2; l 2 和圆相切,由 置关系 b ? 3 2 ? 1 舍去;故选 B 6.D 【解析】略 7.B 【解析】

| 3? 2? b | ? 3 得 b ? ?1 ? 3 2, 或b ? 3 2 ? 1. 根据位 2

C

D M E

A F

B 分别由 A,B 做准线的垂线,垂足分别为 D,E; 设 F 到直线 AB 距离为 d.根据抛物线定义得
2 | BE |? xB ? 1 ? 2 ,所以 xB ? 1, 则yB ? 4 xB ? 4,? yB ? ?2; 根据位置关系知 B(1, ?2) ,于是

直线 AB 方程为 y ?

? y ? ?4 x ? 2 1 2 得 y ? y ? 2 ? 0, 所以 ( x ? ) ? ?4 x ? 2 ;由 ? 2 1 y ? 4x 2 ? ?1 2

2

1 1 5 y ? 1或y ? ?2; 则 A( ,1). 所以 | AD |? ? 1 ? . 又 | BE |? 2; 4 4 4

答案第 2 页,总 6 页

1 ? | BC | ?d S?BCF 2 | BE | 8 ? ? ? . 故选 B S?ACF 1 ? | AC | ?d | AD | 5 2
8.C 【解析】略 9.B 【解析】略 10.C 【解析】 A(?a,0), B(a,0) ;设 M ( s, t ) ,则 N ( s, ?t ); 所以 k1 ?
2

t ?t ; , k2 ? s?a s?a

s2 ?b (1 ? 2 ) 2 ?t 2 a | ? b ;?| k | ? | k |? 2 | k | ? | k | ? 2b ;则 2b ? 1 ;即 | k1k2 |?| 2 |?| 1 2 1 2 a2 a a s ? a2 s2 ? a2

a ? 2b. ? e ?
11. ?? 1,3? 【解析】略 12.

c a2 ? b2 4b 2 ? b 2 3 ? ? ? . 故选 C a a 2b 2

1 2
x2 y 2 ? ?1 4 12

【解析】略 13.

【解析】略 14.

5 ?1 2

【解析】略 15.1,2,3,4 【解析】略 16.

? 3

【解析】略 17.解:若 P 是假,可得 a ? ?1 或 a ? 0 若 Q 是真,可得 a ? 2 或 ?

?a ? 2 ? 0 得: ? 2 ? a ? 2 , ?? ? 0

所以 Q 若是假,得 a ? ?2 或 a ? 2

?a ? ?1或a ? 0 ?? 得 a ? ?2或a ? 2 ?a ? ?2或a ? 2
答案第 3 页,总 6 页

由 P ? Q 是真命题可得 a ? ?? 2,2? 【解析】略 18.解:设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 F, 则 F ? 2.5 x ? 4 y ,由题意知:

12 x ? 8 y ? 64 6 x ? 6 y ? 42 6 x ? 10 y ? 54 x ? 0, y ? 0
画出可行域: 变换目标函数: y ? ? ?????2 分 ?????2 分

5 F x? 8 4

????2 分

当目标函数过点 A,即直线 6 x ? 6 y ? 42 与直线 6 x ? 10 y ? 54 的交点 ?4,3? , F 取得最小,即要满足条件,应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐。 【解析】略 19. (1) 证明:易得 C1B ? C1 A ,又因为 D 为中点,所以 C1D ? AB ,

由 AB // A1B1 得 A1B1 ? C1D (2)以 C 为原点,CA 所在射线为 x 轴,CB 所在射线为 y 轴,CC1 所在射线为 z 轴建立空间 直角坐标系,各点坐标为: A(1,0,0), B(0,1,0), D( , ,0), E (0, ,0), M (1,0,

1 1 2 2

1 2

3 ) 2

设面 MDE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , DE ? ( ,0,0), DM ? ? ,? , 面 ADE 的法向量为 m ? (0,0,1)

1 2

?1 ?2 ?

1 3? ? 求得 n ? 0, 3 ,1 2 2 ? ?

?

?

cos n, m ?

n?m nm

?

? 1 ,所以二面角的大小为 . 3 2

【解析】略 20.解: (1)由 A1M : y ?

y1 ?x ? 2? , A2 N : y ? ? y1 ?x ? 2? , x1 ? 2 x1 ? 2

?????2

答案第 4 页,总 6 页

分 两式相乘得 y ?
2

y12 x 2 ? 4 ,而点 M ( x1 , y1 ) 在双曲线上, x12 ? 4
?????2 分

?

?

y12 1 ? 所以 2 x1 ? 4 2
所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

….1 分

(2)解:由(1)可知 A(-2,0) 。设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2),

? y ? k ( x ? 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ? 4
由方程组消去 Y 并整理,得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0
2 2 2 2

??1 分

16k 2 ? 4 由 ?2 x1 ? ,得 1 ? 4k 2 x1 ? 2 ? 8k 2 4k , 从而y1 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 8k 2 2k , ) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
?

设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (?

??1 分

(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

QA ? (?2, ?y0 ), QB ? (2, ? y0)由QA? =4,得y0 = ? 2 2 QB
(2)当 K ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 Y ? 令 x=0,解得 y0 ?
?

?

?

?

?1 分

2k 1? 8k 2 ? ? ? ? ?x? 1 ? 4k 2 k? 1 ? 4k 2 ? ? ?

? 6k 1 ? 4k 2
?

由 QA ? (?2, ? y0 ), QB ? ( x1 , y1 ? y0)

QA? ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)= QB

?

?

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 1 ? 4k 1 ? 4 k 2
?????2 分

=

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4 (1 ? 4k 2 ) 2

答案第 5 页,总 6 页

整理得 7k ? 2, 故k ? ?
2

14 2 14 所以y0 = ? 7 5

综上

y0 = ? 2 2或y0 = ?

2 14 5

……2 分

【解析】略

答案第 6 页,总 6 页


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