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江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题


高三数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。

} 1、若 A ? {x ? Z | 2 ? 2 ? 8}, B ? {x ? R | log2 x ? 1 ,则 A ? B =__________。
x

2、设 p :| 4 x ? 3 |? 1; q : ( x ? a)(x ? a ? 1) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的 取值范围是_______________。

z2 z ? 1 ? i , z2 ? 1 ? i ,那么 z1 =_________。 3、已知复数 1
sin ?
2 4、 若角 ? 的终边落在射线 y ? ? x( x ? 0) 上, 则 1 ? sin ?

?

1 ? cos 2 ? cos ?

=____________。

5、 数列

{an } 中, 1 ? 1 , a

a2 ?

1 2 ? 1 ? 1 (n ? N * ) 2 ,a n ?1 a n a n ? 2 , 则该数列的通项为



6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了 5 次,成绩如下表 (单位:环)如果甲、乙两人中只有 1 人入选,则入选的最佳人选应是 。 甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9 。

7、在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于 1 的概率是

x2 ? y2 ?
8、已知对称中心为原点的双曲线

1 2 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为

倒数,则该椭圆的标准方程为___________________。 9、阅读下列程序: Read S ?1 For I from 1 to 5 step 2 S ?S+I Print S End for End 输出的结果是 。 10、给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是



①若 cos? ? cos ? , 则? ? ? ? 2k? , k ? Z ; ②函数

y ? 2 cos( 2 x ?

?

? 3 的图象关于 x= 12 对
)

称; ③函数 y ? cos(sin x)(x ? R) 为偶函数, ④函数 y ? sin | x | 是周期函数, 且周期为 2 ? 。

??2, ??) 上是增函数,则 m 的取值范围是____________。 11、若函数 y ? mx ? x ? 5 在
2

b 12、设 a, b ? R, a ? 2b ? 6 ,则 a ? 3 的最大值是_________________。
2 2

1 2 ? 1 是定义在 (??, ?1] ? [1, ??) 上的奇函数, 则 f ( x) 的值域为 13、 . ??? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PA ? PB ? 4 AB ? 2 PC ? 2PA ? PB , PA 、PB 满足 14、 已知平面上的向量 , , 设向量 ??? ? PC f ( x) ? a ?
x



的最小值是



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 15、(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2 cos x,1), n ? (cosx, 3 sin 2x), x ? R , (1)求 f (x) 的最小正周期; (2) ?ABC 中, f ( A) ? 2, a ? 3, b ? c ? 3(b ? c) 求 b, c 的值。

16、(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PA ? PC , E 为

PB 的中点.

∥ (1)求证: PD 面 AEC ;

(2)求证:平面 AEC ? 平面 PDB .

17、(本小题满分 14 分) 某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税务部 门上交 a 元( a 为常数,2≤a≤5 )的税收。设每件产品的售价为 x 元(35≤x≤41),根据市场调 查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为 40 元时,日销 售量为 10 件。 (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大 值。
x

18、(本小题满分 16 分)

x2 2 y2 ? ?1 xoy 中,点 A 为椭圆 9 9 如图,在平面直角坐标系 的 ??? ??? ? ? 右顶点, 点 D(1, 0) ,点 P, B 在椭圆上, BP ? DA .
(1)求直线 BD 的方程; (2)求直线 BD 被过 P, A, B 三点的圆 C 截得的弦长; (3)是否存在分别以 PB, PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存 在,请说明理由.

19、(本小题满分 16 分) 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1, 且点 P?an , an?1 ??n ? N ? ?在直线 x ? y ? 1 ? 0 上。
?an ?的通项公式;
1 1 1 1 ?n ? N , 且n ? 2?, ? ? ??? n ? a1 n ? a2 n ? a3 n ? an 求函数 f (n) 的最小值;

(1)求数列

f ( n) ?
(2)

bn ?
(3)设

1 , Sn ?b ? an 表示数列 n 的前 n 项和。试问:是否存在关于 n 的整式 g ?n ? ,使得

S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立? 若存在, 写出

g ?n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

20、(本小题满分 16 分)

已知

f ?x ? ? ax ? ln?? x ?, x ? (?e,0), g ( x) ? ?

ln( ? x) x ,其中 e 是自然常数, a ? R. | f ( x) |? g ( x) ? 1 2;

(1)讨论 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下,

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由。

参考答案 一、填空题: 1、 {3}

1 [ 0, ] 2 2、

3、 i

an ?
4、0 5、

1 n

6、甲

7 7、 8

x2 ? y2 ? 1 8、 2

0?m?
9、2,5,10 10、1,2,4 11、

1 4

12、1 二、解答题:

3 1 1 3 [? , ? ) ? ( , ] 2 2 13、. 2 2

14、2

16 . ( 1 ) 证 明 : 设 AC ? BD ? O , 连 接 EO, 因 为 O,E 分 别 是 BD,PB 的 中 点 , 所 以

PD EO ∥ …………4 分 ∥ 而 PD ? 面AEC, EO ? 面AEC ,所以 PD 面 AEC ………………………………7 分
(2) 连 接 PO, 因 为 P A? P C 所 以 A C ? P O 又 四 边 形 A B C D 菱 形 , 所 以 , , 是

A C? B D …………10 分
而 PO ? 面 PBD , BD ? 面 PBD , PO ? BD ? O ,所以 AC ? 面 PBD ……………13 分 又 AC ? 面 AEC ,所以面 AEC ? 面 PBD …………………………14 分

k k 10e40 , 则 40 ? 10,? k ? 10e40 , 则日售量为 x 件. x e e 17、解(1)设日销售量为 e -------2 分 L( x) ? ( x ? 30 ? a)
则日利润

10e40 x ? 30 ? a ? 10e40 x e ex ----------------------------4 分

L' ( x) ? 10e 40
(2)

31 ? a ? x ex -------------------------------------------------7 分
'

① 2≤a≤4 时,33≤a+31≤35,当 35 <x<41 时, L ( x) ? 0 当 ∴ x=35 时,L(x)取最大值为 10(5 ? a)e -----------------------------------10 分 当
5

② 4<a≤5 时,35≤a+31≤36, 令L ( x) ? 0, 得x ? a ? 31, 当
'

易知当 x=a+31 时,L(x)取最大值为 10e

9? a

-----------------------------------13 分

L( x) max
综合上得

?10(5 ? a)e5 , (2 ? a ? 4) ? ? ? 9? a ?10e , (4 ? a ? 5) ? ---------- ------------------------14 分

??? ??? ? ? BP ? DA ,且 A(3,0),所以 BP ? DA =2,而 B, P 关于 y 轴对称,所以点 P 的横 18、.解: (1)因为
坐标为 1, 从而得 P(1, 2), B(?1, 2) ………………………………………………………3 分 所以直线 BD 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 …………………………………5 分 (2)线段 BP 的垂直平分线方程为 x=0,线段 AP 的垂直平分线方程为 y ? x ? 1 , 所以圆 C 的圆心为(0,-1),且圆 C 的半径为 r ? 10 …………………………8 分 又圆心(0,-1)到直线 BD 的距离为 d ? 2 ,所以直线 BD 被圆 C 截得的弦长 为 2 r ? d ? 4 2 …………………………………………………10 分
2 2

19、解:(1)由点 P 即

(an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,

an?1 ? an ? 1,------------------------------------------2 分

a 且 a1 ? 1 ,数列{ n }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列
an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2) , a1 ? 1 同样满足,所以 an ? n ---------------4 分
f ( n) ?
(2)

1 1 1 ? ??? n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? n?2 n?3 n?4 2n ? 1 2n ? 2 ---------------------6 分

f (n ? 1) ?

f (n ? 1) ? f (n) ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1
f ( 2) ? 7 12 -----------------------10 分

所以 f (n) 是单调递增,故 f (n) 的最小值是

(3)

bn ?

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? ? ? ? S n ? S n ?1 ? (n ? 2) n ,可得 2 3 n, n -------12 分

nSn ? (n ? 1)S n?1 ? S n?1 ? 1, (n ? 1)S n?1 ? (n ? 2)S n?2 ? S n?2 ? 1
……

S 2 ? S1 ? S1 ? 1

nSn ? S1 ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? n ? 1 S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? nSn ? n ? n(S n ? 1) ,n≥2------------------14 分
g ( n) ? n
故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立----16 分

(3)假设存在实数 a ,使 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 有最小值 3, x ? ?? e,0?

f ' ?x ? ? a ?
a??
① 当

1 x

1 1 f ' ?x ? ? a ? ? 0 x ? ?? e,0? ,则 e 时,由于 x

? 函数 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 是 ?? e,0? 上的增函数 ? f ?x?min ? f ?? e? ? ?ae ? 1 ? 3
a??
解得

4 1 ?? e e (舍去) ---------------------------------12 分

a??
② 当

1 1 1 ?e ? x ? f ' ?x ? ? a ? ? 0 e 时,则当 a 时, x

此时 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 是减函数


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