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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第12章选修4-5第2讲知能训练轻松闯关


1.如果 x>0,比较( x-1)2 与( x+1)2 的大小. [导学号 03351064] 解:( x-1)2-( x+1)2 =[( x-1)+( x+1)][( x-1)-( x+1)] =-4 x. 因为 x>0,所以 x>0,所以-4 x<0,所以( x-1)2<( x+1)2. 1 1 1 2.已知 a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1,求证: a+ b+ c< + + . a b c [导学号 03351065] 证明:法一:因为 a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1, 1 + bc 1 + ca 1 1 1 1 1 1 + + + 1 b c c a a b 1 1 1 < + + = + + . ab 2 2 2 a b c 所以 a+ b+ c= 1 1 1 所以 a+ b+ c< + + . a b c 1 1 法二:因为 + ≥2 a b 1 1 + ≥2 b c 1 =2 c; ab 1 =2 b. ac 1 1 1 =2 a; + ≥2 bc c a 1 1 1 所以以上三式相加,得 + + ≥ a+ b+ c. a b c 1 1 1 又因为 a,b,c 互不相等,所以 + + > a+ b+ c. a b c bc+ca ca+ab 1 1 1 法三: 因为 a, b, c 是不等正数, 且 abc=1, 所以 + + =bc+ca+ab= + a b c 2 2 ab+bc + > abc2+ a2bc+ ab2c= a+ b+ c. 2 1 1 1 所以 a+ b+ c< + + . a b c 1?2 ? 1?2 25 3.已知 a,b∈R+,且 a+b=1,求证? ?a+a? +?b+b? ≥ 2 . [导学号 03351066] 证明: 法一: ∵a, b∈R+, 且 a+b=1, ∴ab≤? 2 1? a+b?2 1 ∴? ?a+a? ? 2 ? =4, 1?2 2 2 ?1 1? +? ?b+b? =4+(a +b )+?a2+b2? ?a+b?2-2ab =4+[(a+b)2-2ab]+ a2b2 1 1-2× 4 25 1-2ab 1 =4+(1-2ab)+ 2 2 ≥4+1-2× + = . ab 4 2 ?1?2 ?4? 1?2 ? 1?2 25 ∴? ?a+a? +?b+b? ≥ 2 . 1?2 ? 1?2 法二:左边=? ?a+a? +?b+b? 1 1? =a2+b2+4+? ?a2+b2? ?a+b?2 ?a+b?2 =4+a2+b2+ + a2 b2 2b b2 a2 2a =4+a2+b2+1+ + 2+ 2+ +1 a a b b b a? ?b2 a2? =4+(a2+b2)+2+2? ?a+b?+?a2+b2? ?a+b?2 ≥4+ +2+2×2 2 1 25 =4+ +2+4+2= . 2 2 1?2 ? 1?2 25 ∴? ?a+a? +?b+b? ≥ 2 . a b c 4.已知△ABC 的三边长分别是 a,b,c 且 m 为正数,求证: + > . a+m b+m c+m [导学号 03351067] 证明:要证 a b c + > , a+m b+m c+m ba ba · +2· · ab ab 只需证 a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0,即证 abc+abm+acm+am2 +abc+abm+bcm+bm2-abc-acm-bcm-cm2>0,即证 abc+2abm+(a+b

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