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人教版高中数学必修1课件:第三章复习2


第三章 函数的应用(章末复习 2) 专题四 数学思想方法 1.数形结合思想 数与形是数学中两个最古老的,也是最基本的研究对象, 它们在一定条件下相互转化,借助背景图形的性质可使那些 抽象的概念、复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思 路或找到问题的结论.精选形结合,不仅是一种重要的解题 方法,而且也是一种重要的思维方法,因此它在中学数学中 占有重要地位. 本章对于数形结合思想的应用主要体现在:一是读图识 图,二是由图求解析式. [例 5] 向高为 H 的水瓶中注水,若注满为止,注水量 V ) 与水深 h 的函数关系图象如图所示, 那么水瓶的形状是( [解析] 解法 1:很明显,从 V 与 h 的函数图象看,V 从 0 开始后,h 先增加较慢,后增加较快,因而应是底大口小的 容器,即应选 B. H 解法 2:取特殊值 h= 2 ,可以看出 C,D 图中的水瓶的 V V 容量恰好是 ,A 图中的水瓶的容量小于 ,不符合上述分析, 2 2 排除 A,C,D,应选 B. 规律总结:该题是一道综合性较强的题目,意在考查学 生整体观察、直觉思维、取特殊值验证等多方面的能力. 根据解法 1、解法 2 的分析,亦可画出 A,C,D 三个图 形中的水瓶的容量 V 与高度 h 的函数关系曲线的草图分别如 下图所示. 2.函数与方程思想 函数与方程的思想是中学数学的基本思想. 函数思想,是用运动和变化的观点,集合与对应的思想, 去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造 函数,利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题,使问 题获得解决. 方程思想,就是分析数学问题中的变量间等量关系,从 而建立方程或方程组,通过解方程或方程组,使问题获得解 决. 方程的思想和函数的思想密切相关,是相互转化的.函 数与方程的思想方法,渗透到中学数学的各个领域,在解题 中有着广泛的应用. 本章函数与方程思想的应用,主要体现在:求方程 f(x) =0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零点,就是求函数 y= f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标;其次,在应用题中利用函 数建模,解决实际问题. [例 6] A.0 C.2 [点评] 方程 log2(x+4)=2x 的实数解的个数是( B.1 D.3 ) 方程 f(x)=0 有实数解?函数 f(x)的图象与 x 轴有 交点?函数 y=f(x)有零点?相应两函数交点的横坐标. [解析] 要判断方程的实数解的个数,只需判断函数 y=log2(x+ 4)与 y=2x 的图象的交点个数即可. 令 f(x)=log2(x+4),g(x)=2x,在同一坐标系中作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示, 据图象可知函数 f(x)与 g(x)的图象 有两个交点,所以方程 log2(x+4)=2x 有两个实数解. [答案] C 3.分类讨论思想 分类讨论,通俗地讲,就是“化整为零,各个击破”.分 类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的,采用的标准是 什么.分类讨论的原则是:(1)不重不漏;(2)一次分类只能按 所确定的同一个标准进行. [例 7] 个数. [分析] 试讨论函数 f(x)=x2-2|x|-1-a(a∈R)的零点的 函数 f(x)的零点的个数即为方程 x2-2|x|-1-a= 0 的根的个数. [解析] 令 f(x)=0,即 x2-2|x|-1=a. 令 g(x)=x2-2|x|-1,h(x)=a,则问题转化为求函数 g(x) 与 h(x)图象交点的个数.

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