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圆锥曲线与方程复习


本章复习

. 知识点一 定义和性质的应用 x2 y2 设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点,已知 P、F1、F2 9 4 |PF1| 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 的值. |PF2| 解 由题意知,a=3,b=2,则 c2=a2-b2=5,即 c= 5. 由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=6,

|F1F2|=2 5. (1)若∠PF2F1 为直角,则|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2, |PF1|2-|PF2|2=20. ?|PF1|-|PF2|=10, ? 3 即?

? ?|PF1|+|PF2|=6,

14 4 ,|PF2|= . 3 3 |PF1| 7 所以 = . |PF2| 2 (2)若∠F1PF2 为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2. 即 20=|PF1|2+(6-|PF1|)2, 解得|PF1|=4,|PF2|=2 或|PF1|=2,|PF2|=4(舍去). |PF1| 所以 =2. |PF2| 解得|PF1|= 知识点二 圆锥曲线的最值问题 已知 A(4,0), B(2,2)是椭圆 +|MB|的最值. x2 y2 + =1 内的两定点, M 是椭圆上的动点, 点 求|MA| 25 9

解 因为 A(4,0)是椭圆的右焦点,设 A′为椭圆的左焦点,则 A′( ? 4,0),由椭圆定义 知|MA|+|MA′|=10. 如图所示,则|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|+|MB| ? |MA′|=10+|MB| ? |MA′|≤10+|A′B|. 当点 M 在 BA′的延长线上时取等号. 所以当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时,(|MA|+|MB|)max=10+|A′B|=10+2 10 .

又如图所示, |MA|+|MB|=|MA|+|MA′| ? |MA′|+|MB|=10 ? (|MA′| ? |MB|)≥10 ? |A′B|, M 在 A′ 当 B 的延长线上时取等号. 所以当 M 为射线 A′B 与椭圆的交点时,(|MA|+|MB|)min=10 ? |A′B|=10 ? 2 10 .

知识点三 轨迹问题 抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过点(0,-1)作直线交抛物线于不同两点 A、B, 以 AF,BF 为邻边作平行四边形 FARB,求顶点 R 的轨迹方程. ? ?y=kx-1 解 设直线 AB:y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),R(x,y),由题意 F(0,1),由? 2 , ? ?x =4y 可得 x2-4kx+4=0, ∴x1+x2=4k. 又 AB 和 RF 是平行四边形的对角线, ∴x1+x2=x,y1+y2=y+1. 而 y1+y2=k(x1+x2)-2=4k2-2, ?x=4k ? ∴? ,消去 k 得 x2=4(y+3). 2 ? ?y=4k -3 由于直线和抛物线交于不同两点,∴Δ=16k2-16>0, ∴k>1 或 k<-1,∴x>4 或 x<-4. ∴顶点 R 的轨迹方程为 x2=4(y+3),且|x|>4.

知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系 x2 已知直线 l:y=kx+b 与椭圆 +y2=1 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点. 2 (1)当 k=0,0<b<1 时,求△AOB 的面积 S 的最大值; → (2) OA ⊥OB,求证直线 l 与以原点为圆心的定圆相切,并求该圆的方程. x2 解 (1)把 y=b 代入 +y2=1,得 x=± 2-2b2. 2

∴|AB|=2 2 ? 2b2 ∴S△AOB=
2

1 ×2 2 ? 2b2 ·b 2
2

b2 ? 1 ? b2 2 =b 2 ? 2b = 2 b 1? b ≤ 2 · , ? 2 2 1 2 当且仅当 b2 = ,即 b = 时取等号. 2 2 2 ∴△AOB 的面积 S 的最大值为 . 2
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),

由 得(1+2k2)x2+4kbx+2b2 ? 2=0, ∴x1+x2= ?

4kb 2b2 ? 2 ,x1·x2= . 1? k 2 1 ? 2k 2

又∵OA⊥OB, ∴(x1,y1)·(x2,y2)=0, 即 x1x2+y1y2=0. 又 x1x2+ y1y2= x1x2 +( k x1+b)(k x2+b) =(k2+1)·1x2+kb(x1 + x2) +b2 x

4kb 2b2 ? 2 +b2 ? kb 2 1? k 2 1 ? 2k 3b 2 ? 2k 2 ? 2 ? 0, = 1 ? 2k 2
=(k2+1)

∴3b2 = 2k2+2. 又设原点 O 到直线 l 的距离为 d,

2 (1 ? k 2 ) 6 则d= . ? 3 ? 3 1? k 2 1? k 2 6 ∴l 与以原点为圆心,以 为半径的定圆相切, 3 2 该圆的方程为 x2 + y2 = . 3 |b|

考题赏析
1.(陕西高考)已知抛物线 C:y=2x2,直线 y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N. (1)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (2)是否存在实数 k 使 NA ·? NB = 0?若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 解 (1)

如图所示,设 A(x1 , 2 x12), B(x2,2x22),把 y=kx ? 2 代入 y = 2x2,得 2x2 ? kx ? 2=0, 由韦达定理得 x1 ? x2 = x1x2 = ? 1, ∴xN = xM =

k , 2

x1 ? x 2 k ? , 2 4

∴N 点的坐标为 ( ,

k k2 ). 4 8

设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

k k2 = m (x ? ) , 4 8
2

mk k 2 ?0 ? 将 y=2x2 代入上式得 2x ? mx ? 4 8
∵直线 l 与抛物线 C 相切, ∴Δ=m2 ? 8(

mk k 2 ? ) = m2 ? 2mk ? k2 = (m ? k)2=0, 4 8

∴m=k,即 l∥AB. → (2)假设存在实数 k,使 NA · =0,则 NA⊥NB. NB 1 又∵M 是 AB 的中点,∴|MN|= |AB|. 2 1 1 由(1)知 yM= (y1+y2)= (kx1+2+kx2+2) 2 2 k2 ? k2 1 1 = [k(x1+x2)+4]= ? 2 +4?= +2. 2 2? 4 ∵MN⊥x 轴, 2 k2 k2 k +16 ∴|MN|=|yM-yN|= +2- = . 4 8 8 又|AB|= 1+k2· 1-x2| |x 2 = 1+k · (x1+x2)2-4x1x2 k = 1+k2· ?2?2-4×(-1) ? ? 1 = k2+1· k2+16. 2 k2+16 1 2 ∴ = k +1· k2+16,解得 k=± 2. 8 4 → 即存在 k=±2 , 使 NA · =0 NB x2 y2 2.(福建高考)如图所示,椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的一个焦点为 F(1,0),且过点(2,0). a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 AB 为垂直于 x 轴的动弦, 直线 l: x=4 与 x 轴交于点 N, 直线 AF 与 BN 交于点 M, (ⅰ)求证:点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ)求△AMN 面积的最大值. 解 方法一 (1)由题设 a=2,c=1,从而 b2=a2 ? c2=3,

x2 y 2 ? ?1 所以椭圆 C 的方程为 4 3
(2)(ⅰ)由题意得 F(1,0)、N(4,0). 设 A(m,n),则 B(m, ? n)(n≠0),

m2 n2 ? ? 1 .① 4 3

AF 与 BN 的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)+(m-4)y=0.

?n(x0-1)-(m-1)y0=0, ② ? 设 M(x0,y0),则有? ? ?n(x0-4)+(m-4)y0=0, ③ 5m-8 3n 由②③得 x0= ,y = . 2m-5 0 2m-5 2 2 x2 y0 (5m-8) 3n2 0 由于 + = 2+ 4 3 4(2m-5) (2m-5)2 (5m-8)2+12n2 (5m-8)2+36-9m2 = = =1. 4(2m-5)2 4(2m-5)2 所以点 M 恒在椭圆 C 上. x2 y2 (ⅱ)设 AM 的方程为 x=ty+1,代入 + =1, 4 3 2 2 得(3t +4)y +6ty-9=0. -6t 设 A(x1,y1)、M(x2,y2),则有 y1+y2= 2 , 3t +4 -9 y1y2= 2 , 3t +4

|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=

4 3· 3t2+3 . 3t2+4

令 3t2+4=λ (λ≥4),则 4 3· λ-1 1 1 |y1-y2|= =4 3 -?λ ?2+ ? ? λ λ 1 1 1 =4 3 -?λ -2?2+ , ? ? 4 1 1 1 1 因为 λ≥4,0< ≤ ,所以当 = , λ 4 λ 4 即 λ=4,t=0 时,|y1-y2|有最大值 3,此时 AM 过点 F. 1 9 △AMN 的面积 S△AMN= |NF|· 1-y2|有最大值 . |y 2 2 方法二 同方法一. (2)(ⅰ)由题意得 F(1,0)、N(4,0), m 2 n2 设 A(m,n),则 B(m,-n) (n≠0), + =1.① 4 3 AF 与 BN 的方程分别为 n(x-1)-(m-1)y=0,② n(x-4)+(m-4)y=0.③ 5x-8 5 3y 由②③得:当 x≠ 时,m= ,n= .④ 2 2x-5 2x-5 2 2 x y 把④代入①,得 + =1 (y≠0). 4 3 3 n-(m-1)y=0, 2 5 当 x= 时,由②③得 2 3 - n+(m+4)y=0, 2

? ? ?

? ?n=0, x2 y2 解得? 与 n≠0 矛盾.所以点 M 的轨迹方程为 + =1 (y≠0),即点 M 恒在椭圆 4 3 ? ?y=0, C 上. (ⅱ)同方法一.

讲练学案部分

章末检测

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.双曲线 3mx2-my2=3 的一个焦点是(0,2),则 m 的值是( ) A.-1 B.1 10 10 C.- D. 20 2 答案 A -4 x2 y2 3 1 解析 化双曲线的方程为 - =1,由焦点坐标(0,2)知:- - =4,即 =4, 1 3 m m m m m ∴m=-1. 2.设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,又抛物线上的点 P(k,-2)与点 F 的距 离为 4,则 k 等于( ) A.4 B.4 或-4 C.-2 D.-2 或 2 答案 B p 解析 由题意可设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0).则抛物线的准线方程为 y= ,由抛 2 p p 物线的定义知|PF|= -(-2)= +2=4, 2 2 所以 p=4,抛物线方程为 x2=-8y,将 y=-2 代入,得 x2=16,∴k=x=± 4. 1 3.已知中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± x,则此双曲线的离 2 心率为( ) 5 A. B. 5 2 5 C. D.5 2 答案 B y2 x2 解析 由已知可设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b a 1 ∴± =± ,∴b=2a, b 2 2 ∴b =4a2,∴c2-a2=4a2, ∴c2=5a2, c2 c ∴ 2=5.∴e= = 5. a a 4.已知椭圆的方程是 x2+2y2-4=0,则以 M(1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A.x+2y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0 答案 A 解析 设弦的端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 x1+x2=2,y1+y2=2. 2 2 由 x2+2y1=4,x2+2y2=4 相减得 1 2 (x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0, ∴(x1-x2)+2(y1-y2)=0, 1 ∴kAB=- . 2

1 ∴弦所在的方程为 y-1=- (x-1)即 x+2y-3=0. 2 x2 y2 5.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) 4 12 2 2 2 2 x y x y A. + =1 B. + =1 16 12 12 16 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4 4 16 答案 D y2 x2 解析 方程可化为 - =1,该方程对应的焦点为(0,± 4),顶点为(0,± 3). 2 12 4 2 2 x y 由题意知椭圆方程可设为 2+ 2=1(a>b>0),则 a=4,c2=a2-b2=12,∴b2=a2-12= b a 16-12=4. x2 y2 ∴所求方程为 + =1. 4 16 6.θ 是任意实数,则方程 x2+y2cosθ=4 的曲线不可能是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 答案 C 解析 由于没有 x 或 y 的一次项,方程不可能是抛物线,故选 C. x2 y2 7.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是( ) 4 k A.(-∞,0) B.(-12,0) C.(-3,0) D.(-60,-12) 答案 B c2 4-k 解析 由题意 a2=4,b2=-k,c2=4-k,∴e2= 2= . a 4 4-k 又∵e∈(1,2),∴1< <4, 4 解得-12<k<0. x2 y2 8.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|, a b 则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1,3) B.(1,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞) 答案 B 解析 由题意知在双曲线上存在一点 P, 使得|PF1|=2|PF2|,如图所示.

又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a, 即在双曲线右支上恒存在点 P 使得|PF2|=2a, 即|AF2|≤2a. ∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a, ∴c≤3a. 又∵c>a,∴a<c≤3a, c ∴1< ≤3,即 1<e≤3. a

x2 y2 π 9. 已知 A 为椭圆 + =1 的右顶点, 为椭圆上的点, P 若∠POA= , P 点坐标为( 则 ) 16 12 3 4 5 4 15? A.(2,3) B.? ? 5 ,± 5 ? 1 3 C.? ,± ? D.(4,± 3) 8 2 2? ? 答案 B x2 y2 解析 由 y=± 3x 及 + =1 (x>0)得解. 16 12 2 2 10. 等轴双曲线 x -y =a2 截直线 4x+5y=0 所得弦长为 41, 则双曲线的实轴长是( ) 6 12 3 A. B. C. D.3 5 5 2 答案 D ?1+16?x2= 41. 解析 注意到直线 4x+5y=0 过原点, 可设弦的一端为(x1, 1), y 则有 ? 25? 1 2 25 5 可得 x2= ,取 x1= ,y1=-2. 1 4 2 25 9 3 2 ∴a = -4= ,|a|= . 4 4 2 x2 y2 11. 过椭圆 2+ 2=1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于 A、 两点, B 右焦点为 F2(c,0), 则△ABF2 a b 的最大面积是( ) A.ab B.ac C.bc D.b2 答案 C 解析 S△ABF2=S△OAF2+S△OBF2 1 1 1 1 = c· 1|+ c· 2|(y1、y2 分别为 A、B 两点的纵坐标),∴S△ABF2= c|y1-y2|≤ c· |y |y 2b=bc. 2 2 2 2 π 12.抛物线 x2=ay(a<0)的准线 l 与 y 轴交于点 P,若 l 绕点 P 以每秒 弧度的角速度按 12 逆时针方向旋转 t 秒后,恰与抛物线第一次相切,则 t 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C a 解析 由已知得准线方程为 y=- , 4 a ∴P 点坐标为(0,- ). 4 ?y=kx-a 2 ? a 4 ,得 x2-akx+a =0,由题意得 Δ 设抛物线的切线 l1 的方程为 y=kx- ,由? 4 4 ?x2=ay ? a2 2 2 =a k -4× =0, 4 a 解得 k2=1,∴y=x- , 4 π 4 π ∴∠MPN= ,∴ =3,∴t=3. 4 π 12 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线相交于 A、B 两点,则 AB 的 长为________. 答案 8

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0).则直线方程为 y=x-1, ? 2 ?y =4x, 由? 得 x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,x1·2=1, x ?y=x-1. ? |AB|= (1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]= 2(36-4)=8. 14.已知圆 x2+y2=1,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP′,则线段 PP′的中 点 M 的轨迹方程是________. 答案 x2+4y2=1 解析 设 M(x,y),P(x0,y0)由题意知 x0=x,y0=2y,∵P(x0,y0)在圆上, 有 x2+y2=1, 0 0 ∴x2+4y2=1.即为所求的轨迹方程. 15.F 为抛物线 y2=2px (p>0)的焦点,P 为抛物线上任意一点,以 PF 为直径作圆,则该 圆与 y 轴的位置关系是__________. 答案 相切 解析 设 P(x0,y0),PF 中点为 M, p x0+ 2 1 则 M 到 y 轴距离 d= = |PF|. 2 2 2 2 x y 16.椭圆 + =1 上一点 P 到两焦点的距离积为 m,则当 m 最大时,点 P 的坐标是 25 9 ________. 答案 (0,3)或(0,-3) 解析 设椭圆的两焦点分别为 F1、F2 由椭圆定义知: |PF1|+|PF2|=2×5=10. 由基本不等式知: |PF1|+|PF2| 2 m=|PF1|· 2|≤( |PF ) =25. 2 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. 即|PF1|=|PF2|=5,m 取最大值. 所以 P 点为椭圆短轴的端点. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(12 分)

如图所示,线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O,|AB|=2a (a>0),|CD|=2b (b>0),动点 P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,求动点 P 的轨迹方程. 解 以 O 为坐标原点,直线 AB、CD 分别为 x 轴、y 轴建立坐标系,设 P(x,y)是曲线 上的任意一点, 则 A( ? a,0),B(a,0),C(0, ? b),D(0,b). 由题意知:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,
2 2 所以 ( x ? a ) ? y

( x ? a)2 ? y 2

2 2 = x ? ( y ? b)

x 2 ? ( y ? b) 2

a 2 ? b2 化简得:x ? y = 2
2 2

即动点 P 的轨迹方程为 x2 ? y2 =

a 2 ? b2 . 2

18.(12 分)k 代表实数,讨论方程 kx2+2y2-8=0 所表示的曲线. y2 x2 解 当 k<0 时,曲线 - =1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 8 - k 当 k=0 时,曲线 2y2-8=0 为两条平行于 x 轴的直线 y=2 或 y=-2; x2 y2 当 0<k<2 时,曲线 + =1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k 当 k=2 时,曲线 x2+y2=4 为一个圆; y2 x2 当 k>2 时,曲线 + =1 为焦点在 y 轴的椭圆. 4 8 k x2 y2 19.(12 分)已知椭圆 + =1 及点 D(2,1),过点 D 任意引直线交椭圆于 A,B 两点,求 9 4 线段 AB 中点 M 的轨迹方程. ?4x2+9y2=36, ① ? 1 1 解 设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得? 2 2 ? ?4x2+9y2=36. ② ①-②,得 4(x1-x2)(x1+x2)+9(y1-y2)(y1+y2)=0,因为 M(x,y)为 AB 中点,所以 x1+ y1-y2 4x y1-y2 x2=2x,y1+y2=2y.所以 4×2x(x1-x2)+9×2y(y1-y2)=0.当 x1≠x2 时, =- .又 9y x1-x2 x1-x2 y-1 y-1 4x = , 所以 =- .化简得 4x2+9y2-8x-9y=0.因为当 x1=x2 时, 中点 M(2,0)满足上述 9y x-2 x-2 方程,所以点 M 的轨迹方程为 4x2+9y2-8x-9y=0. 20.(12 分)一辆卡车高 3 米,宽 1.6 米,欲通过断面为抛物线的隧道,已知拱口 AB 的宽 恰好为拱高 CD 的 4 倍,若|AB|=a 米,求能使卡车通过的 a 的最小整数的值. 解

以拱顶为原点,拱高所在的直线为 y 轴建立坐标系,如图,点 B 的坐标为 ( , ? ) ,设 抛物线方程为 x2= ? 2py (p>0),将点 B 的坐标代入得 ( ) = ? 2p· ( ? ) ,解得 p =
2

a 2

a 4

a 2

a 4

a ,所以 2

抛物线方程为 x2= ? ay.将点 E( ? 0.8, y)代入抛物线方程得 y= ? 的距离为

0.64 , 依题意点 E 到拱底 AB a

a a 0.64 ? |y| = ? ≥3,解得 a≥12.21. 4 4 a
所以能使卡车通过的 a 的最小整数值为 13. 3 x2 y2 21.(12 分)已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的点 M?1,2?到它的两焦点 F1、F2 的距离之和 ? ? a b 为 4,A、B 分别是它的左顶点和上顶点. (1)求此椭圆的方程及离心率; (2)平行于 AB 的直线 l 与椭圆相交于 P、Q 两点,求|PQ|的最大值及此时直线 l 的方程. 解 (1)由题意 2a=4,∴a=2.

3 1 9 将 M?1,2?代入椭圆方程得: + 2=1, ? ? 4 4b 2 ∴b =3,因此所求椭圆方程为: x2 y2 c 1 + =1,e= = . 4 3 a 2 3-0 3 (2)由题意,直线 l 的斜率 k=kAB= = . 0-(-2) 2 3 ∴设 l 的方程为 y= x+b. 2

?y= 23x+b, 由? x y ? 4 + 3 =1.
2 2

得:6x2+4 3bx+4b2-12=0. 由 Δ=48b2-24(4b2-12)>0, 2b2-6 2 3 得:- 6<b< 6,x1+x2=- b,x1·2= x . 3 3 3 ∴|PQ|= ?1+4?[(x1+x2)2-4x1x2] ? ? 7 = (6-b2), 3 ∴b=0 时,|PQ|max= 14. 3 ∴l 的方程为 y= x. 2 3 ∴|PQ|的最大值为 14,此时 l 的方程为 y= x. 2 22.(14 分)已知定点 F(1,0) ,动点 P 在 y 轴上运动,过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M, → → 并延长 MP 到点 N,而 PM · PF =0,?| PM |?=| PN |.? PM ·PF=0,| PM |=|PN|. (1)求动点 N 的轨迹方程; → (2)直线 l 与动点 N 的轨迹交于 A,B 两点, OA · =-4,且 4 6≤|AB|≤4 30,求直 OB 线 l 的斜率 k 的取值范围. 解 (1)设动点 N 的坐标为(x,y), y → | PM |=|PN|,得 M(-x,0)(x>0),P(0, ), 2 y y → PM =(-x,-2), PF=(1,-2), y2 → 由 PM · =0,得-x+ =0, PF 4 因此,动点 N 的轨迹方程为 y2=4x(x>0). (2)设 l 与抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2), → OB OA · =-4, 得 y1=2 2,y2=-2 2, |AB|=4 2<4 6,不合题意. 故 l 与 x 轴不垂直. 可设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), → OB OA · =-4, 得 x1x2+y1y2=-4, 由点 A,B 在抛物线 y2=4x(x>0)上,有 y2=4x1,y2=4x2, 1 2

故 y1y2=-8. 又 y2=4x,y=kx+b, 得 ky2-4y+4b=0, 4b 所以 =-8,b=-2k. k ∵Δ=16(1+2k2)>0, 1+k2 16 ∴|AB|2= 2 ( 2 +32), k k 因为 4 6≤|AB|≤4 30, 1+k2 16 所以 96≤ 2 ( 2 +32)≤480, k k 1 1 解得直线 l 的斜率的取值范围为[-1,- ]∪[ ,1]. 2 2


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