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2016高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积试题 理 苏教版


第3讲
一、填空题

平面向量的数量积

1.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k =________. 解析 ∵a+b 与 ka-b 垂直,∴(a+b)·(ka-b)=0,化简得(k-1)(a·b+1)=0, 根据 a、b 向量不共线,且均为单位向量得 a·b+1≠

0,得 k-1=0,即 k=1. 答案 1 2. 已知向量 a, b 满足(a+2b)·(a-b)=-6, 且|a|=1, |b|=2, 则 a 与 b 的夹角为________. 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ , 依题意有(a+2b)·(a-b)=a +a·b-2b =-7+2cos θ 1 π =-6,所以 cos θ = ,因为 0≤θ ≤π ,所以 θ = . 2 3 答案 π 3
2 2

3.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则|a-b|=________. 解析 |a-b|= ?a-b? = a +b -2a·b = 1 +2 -2×1×2cos 60°= 3. 答案 3
2 2 2 2 2

→ → 4.设 E、F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点,已知 AB=3,AC=6,则AE·AF= ________. → → → → → → → 1→ 2→ 解析 由BE=2EC,得AE-AB=2(AC-AE),所以AE= AB+ AC. 3 3 2→ 1→ → → → → → 同 理 AF = AB + AC , 又 AB ⊥ AC , 所 以 AE · AF = 3 3 2→? ?2→ 1→? 2→ 2→ 2 2 ?1→ ?3AB+3AC?·?3AB+3AC?=9AB2+9AC2=9×9+9×36=10. ? ? ? ? 答案 10 2 3 5.已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|= |a|,则 a+b 与 a-b 的夹角为________. 3 解析 将|a+b|=|a-b|两边同时平方得:a·b=0; 2 3 1 2 2 将|a-b|= |a|两边同时平方得:b = a . 3 3 所以 cos〈a+b,a-b〉= ?a+b?·?a-b? a -b 1 = = . |a+b|·|a-b| 4 2 2 a 3
2 2

所以〈a+b,a-b〉=60°.

1

答案 60° → → → → → 6.已知 O 是△ABC 的内部一点,OA+OB+OC=0,AB·AC=2,且∠BAC=60°,则△OBC 的 面积为________. 1 → → → → → → → → 解析 由AB·AC=|AB||AC|cos 60°=2,得|AB||AC|=4,S△ABC= |AB||AC|sin 60°= 2 1 3 → → → 3,由OA+OB+OC=0 知,O 是△ABC 的重心,所以 S△OBC= S△ABC= . 3 3 答案 3 3

→ 1→ 2→ → → 7. 若等边三角形 ABC 的边长为 2 3, 平面内一点 M 满足CM= CB+ CA, 则MA·MB=________. 6 3 解析 建立直角坐标, 由题意, 设 C(0,0), A(2 3, 0), B( 3, 3), 则 M? =? 1? ? 3 5? ? 3 ,- ?·?- , ?=-2. 2? ? 2 2? ?2

?3 3 1? → → MA·MB , ?, ? 2 2?

答案 -2 π 8.已知向量 p 的模为 2,向量 q 的模为 1,p 与 q 的夹角为 ,且 a=3p+2q,b=p-q, 4 则以 a,b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________. 解析 由 题 意 可 知 较 小 的 对 角 线 为 |a - b| = |3p + 2q - p + q| = |2p + 3q| =
2 2 2

?2p+3q? = 4p +12p·q+9q = 答案 8+12 2× 29 2 +9= 29. 2

9.已知平面向量 a、b,|a|=1,|b|= 3,且|2a+b|= 7,则向量 a 与向量 a+b 的夹角 为________. 解析 ∵|2a+b| =4|a| +4a·b+|b| =7,|a|=1,|b|= 3,∴4+4a·b+3=7,
2 2 2

a·b=0,∴a⊥b.如图所示,a 与 a+b 的夹角为∠COA,∵tan∠COA= COA= ,即 a 与 a+b 的夹角为 .
π 3 π 3

|CA| = 3,∴∠ |OA|

2

答案

π 3

10.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(3b-c)cos A=acos C,S△ABC= 2, → → 则BA·AC=________. 解析 依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 1 即 3sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0,于是有 cos A= , 3 sin A= 1-cos A=
2

2 2 1 1 2 2 → → ,又 S△ABC= ·bcsin A= bc× = 2,所以 bc=3,BA·AC 3 2 2 3

1 =bccos(π -A)=-bccos A=-3× =-1. 3 答案 -1 二、解答题 3? ?1 11.已知平面向量 a=( 3,-1),b=? , ?. ?2 2 ? (1)若存在实数 k 和 t,满足 x=(t+2)a+(t -t-5)b,y=-ka+4b,且 x⊥y,求出 k 关于 t 的关系式 k=f(t); (2)根据(1)的结论,试求出函数 k=f(t)在 t∈(-2,2)上的最小值. 解 (1)a·b=0,|a|=2,|b|=1, 所以 x·y=-(t+2)·k·a +4(t -t-5)·b =0, 故-(t+2)·k·4+4(t -t-5)·1=0, 整理得 k=f(t)=
2 2 2 2 2

t2-t-5 (t≠-2). t+2

t2-t-5 1 (2)k=f(t)= =t+2+ -5, t+2 t+2
因为 t∈(-2,2),所以 t+2>0,则 k=t+2+ 1

t+2

-5≥-3,

当且仅当 t+2=1,即 t=-1 时取等号,所以 k 的最小值为-3. 12. 如图,在△ABC 中,已知 AB=3,AC=6,BC=7,AD 是 ∠BAC 的平分线. (1)求证:DC=2BD; → → (2)求AB·DC的值. (1)证明 在△ABD 中,由正弦定理得 = sin ∠ADB .① sin ∠BAD
3

AB

BD

在△ACD 中,由正弦定理得 .② sin ∠ADC sin ∠CAD 又 AD 平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD,sin ∠BAD=sin ∠CAD, 又 sin ∠ADB=sin(π -∠ADC)=sin ∠ADC, 由①②得 =

AC



DC

BD AB 3 = ,所以 DC=2BD. DC AC 6

→ 2→ (2)解 因为 DC=2BD,所以DC= BC. 3

AB2+BC2-AC2 在△ABC 中,因为 cos B= 2AB·BC
2 2 2 3 +7 -6 11 → → → ?2→? = = .所以AB·DC=AB·? BC? 2×3×7 21 ?3 ?

2 → → 2 22 ? 11? = |AB||BC|cos(π -B)= ×3×7×?- ?=- . 3 3 3 ? 21? 13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)·OC=0,求 t 的值. 解 → → → → → → (1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).

→ → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC) ·OC=0, 得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 从而 5t=-11,所以 t=- 11 . 5

? ? ? ? 14.已知向量 m=? 3sin ,1?,n=?cos ,cos ?. 4 ? 4? ? ? 4
x x
2

x

(1)若 m⊥n,求 cos?

?2π -x? 的值; ? ? 3 ?

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且满足(2a-c)cos B =bcos C,求函数 f(A)的值域. 解 (1)因为 m⊥n,所以 m·n=0,

4

即 3sin cos +cos =0,则 4 4 4 3 x 1 x 1 sin + cos + =0, 2 2 2 2 2 1 ?x π ? 即 sin? + ?=- , 2 ?2 6 ? 则 cos?

x

x

2

x

?π -x?=-1, ? 2 ? 3 2? ?2π -x?=2cos2?π -x?-1=-1. ? ? 3 2? 2 ? 3 ? ? ?

所以 cos?

(2)由题意,得

?x π ? 1 f(x)=m·n= sin? + ?+ . ?2
6? 2

?A π ? 1 ∴f(A)=sin? + ?+ . ?2 6 ? 2
由(2a-c)cos B=bcos C,及正弦定理得 (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C, ∴2sin Acos B=sin(B+C), ∵A+B+C=π , ∴sin(B+C)=sin A,且 sin A≠0, 1 π 2π ∴cos B= ,∴B= ,0<A< . 2 3 3 ∴ π A π π < + < , 6 2 6 2

1 ?A π ? <sin? + ?<1. 2 ?2 6 ?

? 3? ∴函数 f(A) 的值域是?1, ?. ? 2?

5


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