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2013-2014学年数学人教A版必修4基础达标训练:模块综合检测(A)(7166940)


必修 4 综合检测
班级___________ 姓名_____________学号_______________ 一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.如果一扇形的弧长为 2π cm,半径等于 2 cm,则扇形所对圆心角为( ) π 3π A.2π B.π C. D. 2 2 2.若|a|=2sin 15° ,|b

|=4cos 15° ,a 与 b 的夹角为 30° ,则 a· b 的值是( ) 3 1 A. B. 3 C.2 3 D. 2 2 3.若 α 是第一象限角,则 sin α+cos α 的值与 1 的大小关系是( ) A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1 C.sin α+cos α<1 D.不能确定 4. 已知向量 a=(1,2), b=(1,0), c=(3,4). 若 λ 为实数, (a+λb)∥c, 则 λ=( ) 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 π π 3 7 5.若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ=( ) 4 2 8 3 4 7 3 A. B. C. D. 5 5 4 4 3π π 1 6.已知 sin(x- )cos(x- )=- ,则 cos 4x 的值等于( ) 4 4 4 1 2 1 2 A. B. C. D. 4 4 2 2 → =2PC →, → =(4,3), 7. 在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且BP 点 Q 是 AC 的中点, 若PA → =(1,5),则BC → =( PQ ) A.(-6,21) B.(-2,7) C.(6,-21) D.(2,-7) π π 1 8.设 θ∈( , ),sin 2θ= ,则 cos θ-sin θ 的值是( ) 4 2 16 3 3 15 15 A. B.- C. D.- 4 4 4 4 π 9.把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到的图象对应的函数为 ( ) π 1 π A.y=sin(2x- ),x∈R B.y=sin( x+ ),x∈R 3 2 6 π 1 π C.y=sin(2x+ ),x∈R D.y=sin( x- ),x∈R 3 2 6
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π 2 10.已知向量 a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈( ,π),若 a· b= , 2 5 π 则 tan(α+ )=( ) 4 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 7 7 3 11. 已知, 函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线 y=2的交点的 横坐标为 x1,x2,若| x1-x2|的最小值为 π,则 ( )

A.ω=2,θ= ?

2

B.ω= 1 ,θ= ?
2

2

C.ω= 1 ,θ= ?
2

4

D.ω=2,θ= ?
在 C.

4

12. 已知 ? ? 0 ,函数 ( )A. B.

上单调递减.则 的取值范围是 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为________. 14.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c) =0,则|c|的最大值是________. π π 15.要得到函数 y=3cos(2x- )的图象,可以将函数 y=3sin(2x- )的图象沿 2 4 x 轴________. π 2 16. 已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示, f( )=- , 则 f(0)=________. 2 3 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1 π 17.已知 cos α= ,且- <α<0, 3 2 cos?-α-π?· sin?2π+α? 求 的值. sin?-α-π?cos?-α?tan α

18. 向量 OA ? (k ,12) , OB ? (4,5) OC ? (10, k ) ,当 k 为何值时,A,B,C 三点共线?
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π 19.已知向量 a=(3cos α,1),b=(-2,3sin α),且 a⊥b,其中 α∈(0, ). 2 (1)求 sin α 和 cos α 的值; (2)若 5sin(α-β)=3 5cos β,β∈(0,π),求 β 的值.

20.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,图象上相邻的两个最 高点之间的距离为 2π. (1)求 f(x)的解析式; π π π 1 5π (2)若 α∈(- , ),且 cos(α+ )= ,求 sin(2α+ )的值. 3 2 3 3 3

21.已知函数 f(x)=-2 3sin2x+sin 2x+ 3.
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(1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

22.已知向量 a=( 3sin 2x,cos 2x),b=(cos 2x,-cos 2x). 7π 5π 1 3 (1)若当 x∈( , )时,a· b+ =- ,求 cos 4x 的值; 24 12 2 5 1 1 (2)cos x≥ ,x∈(0,π),若关于 x 的方程 a· b+ =m 有且仅有一个实根,求实 2 2 数 m 的值.

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模块综合检测(A) (时间:100 分钟:满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.如果一扇形的弧长为 2π cm,半径等于 2 cm,则扇形所对圆心角为( ) A.2π B.π π 3π C. D. 2 2 2π 解析:选 B.θ= =π. 2 2.若|a|=2sin 15° ,|b|=4cos 15° ,a 与 b 的夹角为 30° ,则 a· b 的值是( ) 3 A. B. 3 2 1 C.2 3 D. 2 解析:选 B.a· b=2sin 15° · 4cos 15° · cos 30° =4sin 30° · cos 30° =2sin 60° = 3. 3.若 α 是第一象限角,则 sin α+cos α 的值与 1 的大小关系是( ) A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1 C.sin α+cos α<1 D.不能确定 π π π 3π 解析:选 A.sin α+cos α= 2sin(α+ ),α 为第一象限角时, +2kπ<α+ < 4 4 4 4 +2kπ,k∈Z,所以 sin α+cos α>1. 4. 已知向量 a=(1,2), b=(1,0), c=(3,4). 若 λ 为实数, (a+λb)∥c, 则 λ=( ) 1 1 A. B. 4 2 C.1 D.2 1+λ 2 1 解析:选 B.∵a+λb=(1+λ,2),c=(3,4),且(a+λb)∥c,∴ = ,∴λ= , 3 4 2 故选 B. π π 3 7 5.若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ=( ) 4 2 8 3 4 A. B. 5 5
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C.

7 4

D.

3 4

π π π 解析:选 D.因为 θ∈[ , ],所以 2θ∈[ ,π], 4 2 2 1 所以 cos 2θ<0,所以 cos 2θ=- 1-sin22θ=- . 8 1 9 又 cos 2θ=1-2sin2θ=- ,所以 sin2θ= , 8 16 3 所以 sin θ= . 4 3π π 1 6.已知 sin(x- )cos(x- )=- ,则 cos 4x 的值等于( ) 4 4 4 1 2 A. B. 4 4 1 2 C. D. 2 2 3π π 1 解析:选 C.由 sin(x- )cos(x- )=- 4 4 4 1 1 ?(sin x+cos x)2= ,得 sin 2x=- , 2 2 1 1 则 cos 4x=1-2sin22x=1-2(- )2= . 2 2 → =2PC →, → =(4,3), 7. 在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且BP 点 Q 是 AC 的中点, 若PA → =(1,5),则BC → =( PQ A.(-6,21) C.(6,-21) ) B.(-2,7) D.(2,-7)

→ =AQ → =PQ → -PA → =(1,5)-(4,3)=(-3,2), → =PQ → +QC →= 解析: 选 A.如图, QC PC (1,5)+(-3,2)=(-2,7), → =3PC → =(-6,21). BC π π 1 8.设 θ∈( , ),sin 2θ= ,则 cos θ-sin θ 的值是( 4 2 16 3 3 A. B.- 4 4 15 15 C. D.- 4 4 )

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π π 解析:选 D.∵θ∈( , ),∴cos θ<sin θ, 4 2 1 15 1- =- . 16 4 π 9.把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到的图象对应的函数为 ( ) π A.y=sin(2x- ),x∈R 3 1 π B.y=sin( x+ ),x∈R 2 6 π C.y=sin(2x+ ),x∈R 3 1 π D.y=sin( x- ),x∈R 2 6 π 解析:选 B.把函数 y=sin x (x∈R)的图象上所有的点向左平移 个单位长度得 6 π 到 y=sin(x+ )的图象, 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 6 1 π 不变)得到的图象对应的函数为 y=sin( x+ ),x∈R,故选 B. 2 6 π 2 10.已知向量 a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈( ,π),若 a· b= , 2 5 π 则 tan(α+ )=( ) 4 1 2 A. B. 3 7 1 2 C. D. 7 3 2 解析:选 C.由题意得 cos 2α+sin α(2sin α-1)= , 5 3 得 sin α= . 5 π 4 3 又 α∈( ,π),所以 cos α=- ,tan α=- , 2 5 4 π tan α+tan 4 1 π 则 tan(α+ )= = . 4 π 7 1-tan αtan 4 ∴cos θ-sin θ=- 1-sin 2θ=- 11. 已知, 函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线 y=2的交点的横
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坐标为 x1,x2,若| x1-x2|的最小值为 π,则 (

)

B.ω=2,θ= ?

2

B.ω= 1 ,θ= ?
2

2

C.ω= 1 ,θ= ?
2

4

D.ω=2,θ= ?

4

【答案】A 【解析】

试题分析:∵函数 y=2sin(ω x+θ ),且函数 y=2sin(ω x+θ )是偶函数,结合所给的选项可得 θ =

.再

由其图象与直线 y=2的某两个交点横坐标为 x1, x2, |x1-x2|的最小值为 π , 可得函数的周期为 π , 即 故 ω =2,故选 A. 考点:由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式.

=π ,

12. 已 知 ( A. )

,函数



上单调递减.则

的取值范围是

B.

C.

D.

【答案】 【解析】

试 题 分 析 : 由 已 知 ,

得 ,

, 故选 . 考点:正弦型函数,三角函数的图象和性质.

二、填空题(本大题共 5 小题,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为________.
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解析:a 在 b 方向上的投影为: a· b 2×?-4?+3×7 13 65 = = = . 2 2 |b | 5 65 ?-4? +7 65 5 14.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c) =0,则|c|的最大值是________. 解析:法一:由已知,|a|=|b|=1,a· b=0, 由此可知|a+b|= 2. 将(a-c)· (b-c)=0 展开得 a· b-a· c-c· b+c2=0. 设 a+b 与 c 的夹角为 θ,则 |c|2=(a+b)· c=|a+b|· |c|· cos θ, 即|c|= 2 cos θ.故当 cos θ=1 时,|c|取最大值 2. 法二:因为(a-c)· (b-c)=0,所以 a-c 与 b-c 互相垂直.又因为 a⊥b,所以 a,b,a-c,b-c 构成的四边形是圆内接四边形,c 是此四边形的一条对角线.当 c 是直径时,|c|达到最大值,此时圆内接四边形是以 a,b 为邻边的正方形,所以|c| 的最大值为 2. 法三:因为 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,所以可以 a,b 作为基底 建立直角坐标系,a=(1,0),b=(0,1),设 c=(x,y),则 a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y). 由 (a - c)· (b - c) = 0 得 (1 - x)( - x) - y(1 - y) = 0 , 所 以 x2 + y2 = x + y≤ 2?x2+y2?, 从而 x2+y2≤ 2,当且仅当 x=y=1 时取等号. 又|c|= x2+y2,故|c|的最大值为 2. 答案: 2 π π 15.要得到函数 y=3cos(2x- )的图象,可以将函数 y=3sin(2x- )的图象沿 2 4 x 轴________. π 向左π π 解析:y=3sin(2x- )――→ y = 3sin 2 x = 3cos(2 x - ). 4 平移8 2 π 答案:向左平移 个单位 8 答案:

π 2 16. 已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示, f( )=- , 则 f(0)=________. 2 3 11 7 2π 解析:此函数的周期 T=2( π- π)= , 12 12 3
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2π 2π 故 ω = ,∴ω=3,f(x)=Acos(3x+φ), 3 π 3π 2 f( )=Acos( +φ)=Asin φ=- . 2 2 3 7π 7π 又由题图可知 f( )=Acos(3× +φ) 12 12 1 2 =Acos(φ- π)= (Acos φ+Asin φ)=0, 4 2 2 ∴f(0)=Acos φ= . 3 2 答案: 3 三、解答题(本大题共 5 小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1 π 16.已知 cos α= ,且- <α<0, 3 2 cos?-α-π?· sin?2π+α? 求 的值. sin?-α-π?cos?-α?tan α 1 π 解:∵cos α= ,且- <α<0, 3 2 2 2 ∴sin α=- ,tan α=-2 2, 3 -cos αsin α 1 2 ∴原式= =- = . sin αcos αtan α tan α 4 π 17.已知向量 a=(3cos α,1),b=(-2,3sin α),且 a⊥b,其中 α∈(0, ). 2 (1)求 sin α 和 cos α 的值; (2)若 5sin(α-β)=3 5cos β,β∈(0,π),求 β 的值. 解:(1)∵a⊥b,∴a· b=-6cos α+3sin α=0, 即 sin α=2cos α. 1 4 又 sin2α+cos2α=1,∴cos2α= ,sin2α= , 5 5 π 2 5 5 又 α∈(0, ),∴sin α= ,cos α= . 2 5 5 (2)∵5sin(α-β)=5(sin αcos β-cos αsin β) =2 5cos β- 5sin β=3 5cos β, ∴cos β=-sin β,即 tan β=-1, 3π ∵β∈(0,π),∴β= . 4 18.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,图象上相邻的两个最 高点之间的距离为 2π. (1)求 f(x)的解析式;
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π π π 1 5π (2)若 α∈(- , ),且 cos(α+ )= ,求 sin(2α+ )的值. 3 2 3 3 3 解:(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π, 2π ∴T=2π,则 ω= T =1,∴f(x)=sin(x+φ). π ∵f(x)是偶函数,∴φ= +kπ(k∈Z), 2 π 又 0≤φ≤π,∴φ= ,则 f(x)=cos x. 2 π 1 (2)由已知得 cos(α+ )= , 3 3 π π ∵α∈(- , ), 3 2 π 5π π 2 2 ∴α+ ∈(0, ),则 sin(α+ )= , 3 6 3 3 5π 2π ∴sin(2α+ )=-sin(2α+ ) 3 3 π π 4 2 =-2sin(α+ )cos(α+ )=- . 3 3 9 19.已知函数 f(x)=-2 3sin2x+sin 2x+ 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

解:(1)f(x)= 3(1-2sin2x)+sin 2x π =sin 2x+ 3 cos 2x=2sin(2x+ ), 3 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π,最小值为-2. 2 (2)列表: π π 7π 5π 0 x 12 3 12 6 π π π 3π π 2π 2x+ 3 3 2 2
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π 7π 3

f(x )

3

2

0

-2

0

3

描点连线得图象,如图所示.

20.已知向量 a=( 3sin 2x,cos 2x),b=(cos 2x,-cos 2x). 7π 5π 1 3 (1)若当 x∈( , )时,a· b+ =- ,求 cos 4x 的值; 24 12 2 5 1 1 (2)cos x≥ ,x∈(0,π),若关于 x 的方程 a· b+ =m 有且仅有一个实根,求实 2 2 数 m 的值. 解:(1)∵a=( 3sin 2x,cos 2x),b=(cos 2x,-cos 2x), 1 1 ∴ a· b+ = 3sin 2xcos 2x-cos22x+ 2 2 1+cos 4x 1 3 = sin 4x- + 2 2 2 3 1 1 1 = sin 4x- - cos 4x+ 2 2 2 2 π =sin(4x- ). 6 1 3 π 3 由 a· b+ =- ?sin(4x- )=- , 2 5 6 5 7π 5π ∵x∈( , ), 24 12 π 3 ∴4x- ∈(π, π). 6 2 π 4 ∴cos(4x- )=- . 6 5 π π ∴cos 4x=cos[(4x- )+ ] 6 6 π π π π 3-4 3 =cos(4x- )cos -sin(4x- )· sin = . 6 6 6 6 10 1 (2)∵cos x≥ . 2
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又余弦函数在(0,π)上是减函数, π ∴0<x≤ . 3 1 π 令 f(x)=a· b+ =sin(4x- ),g(x)=m, 2 6 在同一坐标系中作出两个函数的图象, 1 由图可知 m=1 或 m=- . 2

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