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8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)


【课题】8.1 【教材说明】

两点间的距离公式及中点公式

本人所用教材为江苏教育出版社,凤凰职教《数学·第二册》 。平面解析是用代数方法 研究平面几何问题的学科,第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它 侧重于数形结合的方法和形象思维的特征,综合了平面几何、代数、三角等知识。

【学情分析】

>学生是一年级数控中专班,上课不能长时间集中注意力,计算能力不强 ,对抽象的知 识理解能力不强,但是对直观的事物能够理解,对新事物也有较强的接受能力。

【教学目标】
知识目标: 1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程. 2. 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式. 能力目标: 用“数形结合”的方法,介绍两个公式.培养学生解决问题的能力与计算能力. 情感目标: 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美,培养学生的思考能力,学会从已有知识出发 主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度.

【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用.

【教学难点】
两点间的距离公式的理解.

【教学备品】
三角板.

【教学方法】
讨论合作法

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学设计】
针对学生的情况,本人在教学中的引入尽量安排多个实例,多讲具体的东西,少说抽象 的东西, 以激发学生的学习兴趣。 在例题和练习的安排上多画图, 努力贯彻数形结合的思想, 让学生逐步接受和养成画图的习惯, 用图形来解决问题。 这也恰恰和学生本身的专业比较符 合,学生学过机械制图,数控需要编程,编程又需要对一些曲线方程有充分的了解。同时在 教学中经常用分组讨论法,探究发现法,逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式,教材采用“知识回顾”的方式

给出这两个公式. 讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解, 但讲解的重点 应放在公式的应用上.

【教学过程】 环节 第一课时 1.向量的坐标表示。 复习 回顾 教学内容 师生互动 教师提出问题 学生思考回忆 为公式的推 导做铺垫 设计意图

? 2 2 2.向量的模的计算。| a |= x ? y
3. 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , 则

???? ? P 1P 2 ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .
探究 引入 1.两点间距离公式 探究一 大海中有两个小岛, 一个 在灯塔东 60 海里偏北 80 海里
师提问:我们能不能 用已经学过的向量的知识 来解决这个问题。 提出问 题,激发学生 的学习兴趣.

P2
P1
灯塔
师提示:建立适当的 直角坐标系 1.坐标表示两个小岛 的位置。 2. 将探究 问题细化为 3 个小问题,层 层递进,降低 了问题的难 度,从而有利 于学生解答. 在探究 过程中,进一 步深化对公 教师在学生探究的基 础上,投影距离公式,并 让学生记忆. 式的理解与 掌握. 通过例 教师引导学生探究依 据公式求两点间的距 离.强调点坐标的对应。 题的解答,使 学生明确两 点间距离公 式的直接应

P1 点处,另一个在灯塔西 10
海里偏北 55 海里 P2 点处, 那 么如何确定这两岛之间的距 离呢?

一般地,设点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 为直接坐标平 新 课 面上的任意两点,我们将向量 P 1 P2 的模,叫做点 P 1 、P 2 之间的距离,记作 P 1P 2 ,则

???? ?

???? ? P P 1 2 如何表示,

是多少? 3. 两个小岛的距离能

| P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
这就是平面上任意两点间的距离公式。

不能用 P 1 P2 的模表示。

???? ?

例 1:已知两点 M(8, 10) N(12, 22),求线段 MN 的 长度。 解: 根据平面内两点间的距离公式,得
2 2 2 2 |MN|= (12 ? 8) ? (22 ? 10 ) ? 4 ? 12 ? 4 10 ,

即线段 MN 的长度为 4 10 . 练习一 求两点之间的距离: (1)A(6,2),B(-2,5); (2)C(2,-4),D(7,2). 例 2:已知三角形的顶点分别为 A(2,6) , B(?4,3) ,
学生练习,教师巡视 指导.

用. 检验学 生对公式掌 握情况.

教师引导学生先画 图,直观理解,后使用公 式计算。

画图帮助 学生养成数 形结合的思 考习惯。

C (1,0) ,求 ?ABC 三条边的长度。
练习二 求证:以点 A(?6,8) , B(6,?8) , C (8,6) 为顶点的三 角形是等腰三角形。 例 3(补充):已知点 A(10,a),B(4,-2).|AB|=10,求 a. 练习 新 课 在 y 轴上有一点 P ,它有点 Q(4,?6) 的距离是 5, 求点 P 的坐标。 第二课时 2. 中点坐标公式 探究二 如图所示,若已知线段 P1P2 两个端点的坐标为

三边长度关系转化两 点间的距离。 公式的进一步运用 维。

数形结 合,计算适当 的边。 培养学 生的逆向思

教师提出要探究的问 题,学生解答以下问题: (1)向量 P 1 P 和向量

将问题 细化为 3 问, 降低难度,学 生容易在解 答过程中得 到公式.

P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,设线段 P1P2 的中点为 P(x,y),那
能不能用 P1,P2 的坐标来表示 P 点的坐标。 y P(x, y) P1(x1, y1) O x P2(x2, y2)

PP2

方向是否相同?

(2)向量 P 1 P 和向量

PP2
何?

的模的大小关系如

(3)向量 P 1 P 和向量

PP2

是相等向量吗?

有P 1 P = ( x ? x1 , y ? y1 ) , PP2 = ( x 2 ? x, y 2 ? y ) 。 因为 P 1 P = PP2 ,所以 ?

? x ? x1 ? x 2 ? x , ? y ? y1 ? y 2 ? y

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 解得 ? 。 y ? y 1 2 ?y ? ? 2 ?
中点 P 的坐标由点 P1,P2 的坐标表示出来,这个公 式叫做中点坐标公式,简称中点公式。 例 4:已知点 A(9,?2) , B(?1,3) ,求线段 AB 的中点

教师写出结论,学生 理解掌握.

例 4,例 5 可以配图。 帮助学生从 数形结合方 面理解题意。

Q 的坐标。
例 5: 已知线段 MN , 它的中点坐标是 (3,2) , 端点 N 的坐标是 (1,?2) ,求另一个端点 M 的坐标。 练习三 1.已知点 M1(-1,3)和 M2(5,0) ,线段 M1M2 的中点 坐标是 新 课 。
学生练习,教师巡视. 教师规范解题步骤.

2.已知点 P(6,-2)和 Q(3,-8) ,线段 PQ 的中点 坐标是 。 3.已知两点 M(-3,m)和 N(n,10) ,且线段 MN 的中点坐标是(3,-4) ,求 m,n。 例 6 : 已 知 ?ABC 的 三 个 顶 点 分 别 为 A( ,2) , (1)画出该三角形; (2)求 ?ABC B(?3,4) , C (2,6) , 的 BC 边上的中线 AD 的长。
学生练习,教师巡视. 结合两 教师画图,学生思考 点间距离公 式,有一定的 综合性,注意 在数形结合 中启发学生。

1 2

练习四 三角形的三个顶点是 A(2,1) , B(?2,3) , C (0,?1) , 求三角形三条中线的长度。

检验例 6 的掌握情况.

1.直角坐标系中两点间的距离公式. 2.直角坐标系中两点的中点公式. 小 结

教师引导学生回 简洁明 顾总结本节所学内容. 了地概括本 节课的重要 知识,学生 易于理解记 忆. 标记作业. 针对学 生实际,对 课后书面作

作 业

教材 P68 习题第 1、2、3、6 题

业实施分层 设置. 教学反思: 开始时的复习引入学生反应不是很好, 前面的向量知识学生掌握不熟练, 后面的公式推 导不是很顺畅。所以在前面向量部分讲到这个知识点一定要强调,注重前后章节的联系。 教学中能够画图的, 尽量画图, 不断灌输数形结合的思想, 让学生养成画图解决问题的习惯。


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