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专题二 2.1三角函数的图象与性质


2.1 三角函数的图象与性质
【高考试题鉴赏 2012 安徽卷16题】 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x?

?

)? g ( x, 且 当 x ? [ 0 , 时 , ) ] 2 2

?

g ( x) ?
【解】

1 ? f ( x) ; 求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式。 2
1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x 2 2 2 4 2 2 2

f ( x) ?

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)当 x ? [0, 当 x ? [?

?
2

2? ?? 2

] 时, g ( x) ?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
?

1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2

? ? 1 ?? 2 sin 2 x( ? 2 ? x ? 0) ? 得:函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? ? 1 sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? 2 ? 2
热点一:三角函数的图象与解析式 例 1: 、 湛 江 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?
所示。 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 f (? ?

?
2

) 的部分图象如图

1 ? ) ? (? ? (0, )) ,求 tan ? 的值。 12 3 2

?

1

【变式 1】已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [

?
2

)的图象与

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 解析: (1)由最低点为 M ( 3
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为

? ?

? T ? 2? 2? ? ? 2. 得 = ,即 T ? ? , ? ? T ? 2 2 2 2? 2? 4? , ?2) 在图象上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2 ,即 sin( ? ? ) ? ?1 . 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 . 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ) ,?? ? ,故 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 2 6 6 ? ? ? ? 7? ] (2)? x ? [ , ] ,? 2 x ? ? [ , 12 2 6 3 6 ? ? ? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2; 6 2 6 ? 7? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1, 6 6 2
2

故 f ( x ) 的值域为[-1,2]. 点评: 该题综合考查了三角函数的图象和性质, 对于三角函数图象的准确把握和对其性质的 准确理解是解决该题必不可少的条件,求函数的值域时,一定要注意自变量的取值范围.

【变式 2】已知函数 f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ?) , x ? R , A ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部

分图像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?

2? ,求 A 的值. 3

3

热点二:

三角函数的图象变换

例 2: 【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】把函数 y = sin x 的图像上所有点的横 坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移 ? 个单位,这时对应于这

4

个图像的解析式是 A 、 y ? cos 2 x



) B 、 y ? ? sin 2 x C 、 y ? sin(2 x ? ? )

4

D、

y ? sin(2 x ? ? ) 4
【答案】A 【解析】把函数 y = sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变, 得 到 y = s i xn 的 图 象 , 再 把 图 像 向 左 平 移 2

? 个 单 位 , 得 到 4

y = s i x ? 2 (? n 4

?

) ? s ? n ( x ,所以选 A. c o s 2 x i 2 ) 2

?

【变式 3】 【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】(本小题满分 12 分)设

f ( x) ? 6 cos2 x ? 2 3 sin x cos x .
(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)将函数 f (x) 的图象向右平移

? 个单位,得 y ? g (x) 的图象, 3

F ( x) ?


g ( x) ? 3 2 3x 在

x?

?
4 处的切线方程.
……3分

【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? 6

(1 ? cos 2 x) ? ? 3 sin 2 x ? 2 3 cos(2 x ? ) ? 3 , 2 6

故 f(x)的最小正周期 T ? ? , 由 ? ? ? 2k? ? 2 x ?

………………………………………………4 分

?
6

? 2k? 7? ? , k? ? ]?k ? Z ? .……………6分 12 12

得 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

(Ⅱ)由题意: g ( x) ? 2 3 cos[2( x ?

?

) ? ] ? 3 ? 2 3 sin 2 x ? 3 , 3 6

?

………8分

F ( x) ?

g ( x) ? 3 2 3x

?

sin 2 x , x

4

F ' ( x) ?

2 x cos 2 x ? sin 2 x , x2

……………………………………10分

' 因此切线斜率 k ? F ( ) ? ?

?

16

切点坐标为 (

? 4 , ), 4 ?

4

?2

,

故所求切线方程为 y ?

4

?

??

16

?

2

(x ?

?
4

),

即 16x ? ? 2 y ? 8? ? 0 . …………………………………………………12分

热点三:三角函数的性质 例 3: 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】 设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a . (Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;

3 , ] 时,函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 ,求 f (x) 的解析式; 2 6 3 ? (Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数 f (x) 的图像向右平移 个单位,纵坐标不变横坐标变为原来 12 1 ? 的 2 倍,再向下平移 ,得到函数 g (x) ,求 g (x) 图像与 x 轴的正半轴、直线 x ? 所围 2 2
(Ⅱ)当 x ? [ ? 成图形的面积。 【答案】解(Ⅰ) f ( x) ? ∴T ? ? .

? ?

3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2

(2 分)

3? ? 2? ? 2k? ,得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 2 6 3 ? 2? ? k? ]( k ? Z ) . 故函数 f (x) 的单调递减区间是 [ ? k? , (6 分) 6 3 ? ? ? ? 5? 1 ? .? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 . (2) Q ? ? x ? ,? ? ? 2 x ? ? 6 3 6 6 6 2 6


?

? 2k? ? 2 x ?

?

?

当 x ? ??

1 1 1 3 ? ? ?? ( , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 2 2 2 2 ? 6 3?

? a ? 0,? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 . 2

(8 分) (10 分) (12 分)

(3)由题意知 g ( x) ? sin x

?

?
2

0

sin xdx ? ? cos x | 2 =1
0

?

5

【变式 4】 已知函数 f ? x ? ?

m ? 2 sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上单调递减, 试求实数 m 的取值范围. cos x ? 2?

解析:任取 x1 , x2 ? ? 0,

? ?? ? ,且 x1 ? x 2 ,则不等式 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 恒成立,即: ? 2?

m ? 2 sin x1 m ? 2 sin x 2 恒成立.化简得 m?cos x2 ? cos x1 ? ? 2 sin ?x1 ? x2 ?, ? cos x1 cos x2
由 0 ? x1 ? x 2 ?

?
2

,可知: cos x2 ? cos x1 ? 0 ,所以 m ?

2 sin ?x1 ? x2 ? . cos x2 ? cos x1

上式恒成立的条件为: m ? ?

? 2 sin ? x1 ? x2 ? ? ? ?? ? 在区间 ? 0, ? 上的最小值. ? 2? ? cos x2 ? cos x1 ?

x ?x x ?x x ?x 4sin 1 2 cos 1 2 2 cos 1 2 2sin ? x1 ? x2 ? 2 2 2 ? 由于 ? x ?x x ?x x ?x cos x2 ? cos x1 sin 1 2 2sin 1 2 sin 1 2 2 2 2
x x x x ? x x ? ? ? 2? cos 1 cos 2 ? sin 1 sin 2 ? 2?1 ? tan 1 tan 2 ? 2 2 2 2? 2 2? ? ? ? ? . x1 x2 x1 x2 x1 x2 sin cos ? cos sin tan ? tan 2 2 2 2 2 2
且当 0 ? x1 ? x 2 ?

?
2

时, 0 ?

x1 x 2 ? x x , ? ,所以 0 ? tan 1 , tan 2 ? 1 , 2 2 4 2 2

从而

x1 x2 ? ? x1 x2 ? ? x1 ?? x2 ? ? ?1 ? tan tan ? ? ? tan ? tan ? ? ?1 ? tan ??1 ? tan ? ? 0 , 2 2? ? 2 2? ? 2 ?? 2? ?
x x ? ? 2?1 ? tan 1 tan 2 ? 2 2? ? ? 2 ,故 m 的取值范围为 (??,2] . x1 x2 tan ? tan 2 2



【分析】该题考查了转化与化归思想,根据已知条件,该题实际上是一个给出了在区间

? ?? ? 0, ? 上恒成立的不等式. ? 2?

【变式 5】 (潮州市 2013 届高三上学期期末) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , f ?( x) 是 f ( x) 的导函数.

6

(1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 的最小值及相应的 x 值的集合; (2)若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,求 tan( x ?

?
4

) 的值.
…… 2 分

解: (1)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ,故 f '( x) ? cos x ? sin x . ∴ g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? ( sin x ? cos x )( cos x ? sin x )

? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x .
∴当 2 x ? ?? ? 2k? ( k ? Z ) ,即 x ? ?

……… 5 分

?
2

? k? ( k ? Z ) 时, g ( x) 取得最小 ? k? , k ? Z } . ……… 7 分

值 ?1 ,相应的 x 值的集合为 { x | x ? ?

?
2

评分说明:学生没有写成集合的形式的扣分. (2)由 f ( x) ? 2 f ?( x) ,得 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2sin x , ∴ cos x ? 3sin x ,故 tan x ?

∴ tan( x ?

?
4

)?

tan x ? tan

?
4

1 ? tan x tan

?
4

1 , 3 1 1? 3 ?2. ? 1 1? 3

……… 10 分

……… 12 分

【备选练习题】 1.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】集合 ?? | k? ? 的角所表示的范围(阴影部分)是

? ?

?
4

? ? ? k? ?

?

? , k ? Z ? ,中 2 ?

【答案】C 【解析】 k ? 2n 时,2n? ? 当

?
4

? ? ? 2n? ?

?
2

, 此时 ? 的终边和

?
4

?? ?

?
2

的终边一样。

当 k ? 2n ? 1 时, 2n? ? ? ?

?
4

? ? ? 2n? ? ? ?

?
2

,此时 ? 的终边和

??

?
4

?? ?? ?

?
2

的终边一样。所以选 C.

2. 【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】 已知 f (x) =sin (x+

? ? o ) g ( ) ?s x )? , x c( , 2 2

7

则 f ( x ) 的图象





A.与 g(x)的图象相同 B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称

? 个单位,得到 g(x)的图象 2 ? D.向右平移 个单位,得到 g(x)的图象 2
C.向左平移 【答案】D 【解析】因为 g ( x) ? cos( x ? 得到 g ( x) 的图象,选 D.

?

) ? cos( ? x) ? sin x ,所以 f ( x) 向右平移 个单位,可 2 2 2

?

?

( 3. 若 将 函 数 y ? t a n? x ? y ? t a n?x ? (
(A) 答案:D

?
4

)? ? 0 ) 的 图 象 向 右 平 移 (


?
6

? 个单位长度后,与函数 6

) 的图象重合,则 ? 的最小值为(
(B)

1 6

1 4

(C)

1 3

(D)

1 21 世纪教育网 2
1 . 2

解析:本题考查正切函数图象及图象平移,由平移及周期性得出ω min=

4. 【 北 大 附 中 河 南 分 校 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 ( 理 ) 定 义 行 列 式 运 算 】

a1 a2 a3 a 4

= a1a4

? a2 a3 .将函数 f ( x) ?
?? ? ,0? ?2 ?

sin 2 x cos 2 x
( C. ?

3 1

的图象向左平移 )

? 个单位,以 6

下是所得函数图象的一个对称中心是 A. ?

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?3 ?

D. ?

?? ? ,0? ? 12 ?

【答案】B 【解析】根据行列式的定义可知 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x =2sin(2 x ? 单位得到 g ( x) ? 2sin[2( x ?

?
3

) ,向左平移

? 个 6

?

) ? ] ? 2sin 2 x ,所以 6 3

?

g ( ) ? 2sin(2 ? ) ? 2sin ? ? 0 ,所以 ( , 0) 是函数的一个对称中心,选 B. 2 2 2
5.已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

?

?

?

2

2 ,则 f (0) =( 3



8

(A) ?

2 3

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1 2

答案:B 2π 2π 2π π 7π 解析:由图象可得最小正周期为 ,于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称,所 3 3 3 2 12

2 2π π 以 f( )=-f( )= . 3 2 3
6.函数 y ? 2cos2 x ? sin 2x 的最小值是_____________________ . 答案: 1 ? 2 解析: f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 . 4

?

9


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