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高中数学 算法案例配套课件 新人教A版必修3


1.3 算法案例

【学习目标】 1.理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法. 2.理解秦九韶算法中求多项式的值的步骤原理. 3.能利用除 k 取余法把十进制数化为 k 进制数.

1.辗转相除法的算法步骤

第一步,给定两个正整数 m,n(m>n).

m n 余 数 r. 第二步,

计算________ 除以________ 所得的______
第三步,m=n,n=r.

n ;否 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于______
则,返回第二步.

2.更相减损术的算法步骤 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若

是用 2 约简;若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与 较小的数 ________比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数

相等 为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就 ________
是所求的最大公约数.

3.秦九韶算法

把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写
成如下形式: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 n-1+a n-2+…+a )x+a ( a x x n n - 1 1 0 =_____________________________ =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… (…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0 =_____________________________________.

求多项式的值时,首先计算最内层括号内的一次多项式的
值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值, 即: v1=anx+an-1, v1x+an-2 , v2=____________ v3=v2x+an-3, … vn-1x+a0 , vn=____________

n 个一次多项 这样,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求______
式的值.

4.进位制 (1)k进制数anan-1…a1a0(k)转化为十进制数为

ankn+an-1kn-1+…+a1k+a0 _____________________________________.
除 k 取余法 ,即把所给 (2)把十进制数化为 k 进制数用“____________”

k 的十进制数除以________ ,得到商数和余数,再用商数除以 k,
0 得到商数和余数,直到商数为________ ,把上面各步所得的

余数 从右到左排列,即得到 k 进制数. ________

【问题探究】 用秦九韶算法求多项式的值有什么优点?

答案:减少了做乘法运算的次数,优化了求多项式的值的
算法.

题型 1 最大公约数的求法

【例 1】 用辗转相除法求下面两数的最大公约数,并用更
相减损术检验你的结果: (1)80,36; (2)294,84.

思维突破:辗转相除法的结束条件是余数为 0,更相减损

术的结束条件是差与减数相等.

解:(1)80=36×2+8,
36=8×4+4, 8=4×2+0, 即 80 与 36 的最大公约数是 4. 验证:80-36=44, 44-36=8,36-8=28,28-8=20, 20-8=12,12-8=4,8-4=4, ∴80 与 36 的最大公约数是 4.

(2)294=84×3+42,84=42×2,

即 294 与 84 的最大公约数是 42.
验证:∵294 与 84 都是偶数可同时除以2,即取147 与42 的最大公约数后再乘 2. 147-42=105,105-42=63, 63-42=21,42-21=21, ∴294 与 84 的最大公约数为 21×2=42. 辗转相除法求最大公约数的步骤较少,而更相减

损术运算简易,因此解题时要灵活运用.

【变式与拓展】 1.试用算法程序表示用辗转相除法求 144 与 60 的最大公约 数的算法. 解:程序如下: m=144 n=60 DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END

题型 2 秦九韶算法的应用 【例 2】 当 x=3 时,求多项式 f(x)=x5+x3+x2+x+1 的 值. 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=x5+0· x4+x3+x2+x+1 =(((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1. 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=3 时的 值:v0=1,

v1=1×3+0=3,

v2=3×3+1=10,
v3=10×3+1=31, v4=31×3+1=94, v5=94×3+1=283. 所以当 x=3 时,多项式的值为 283.

当多项式函数的中间出现空项时,应先补上系 数为 0 的相应项.解题时关键是能正确地改写多项式,然后由内 向外逐项计算.由于后项计算用到前项的结果,故要认真确保每 一项计算的准确性.

【变式与拓展】

2.利用秦九韶算法计算多项式 f(x)=11-5x+3x2+7x3 在
x =23 的值时,不会用到下列哪个值( D )

A.161

B.3772

C.86 641

D.85 169

解析:f(x)=11-5x+3x2+7x3=[(7x+3)x-5]x+11. 所以当x=23时,v0=7;

v1=7×23+3=161+3=164;
v2=164×23-5=3772-5=3767;

v3=3767×23+11=86 641+11=86 652.

题型 3 进制数之间的转化 【例 3】 (1)将 101 111 011(2)转化为十进制数; (2)将 1231(5)转化为七进制数. 思维突破:k进制数anan-1…a2a1a0(k)(0≤ai<k)转化为十进制 数 : anan - 1…a2a1a0(k) = an×kn + an - 1×kn - 1 + … + a2×k2 + a1×k+a0×1.要将k进制数转化为n进制数(n,k≠10),可先将 k 进制数转化为十进制数,然后再转化为所求的n进制数.

解 : (1)101 111 011(2) = 1×28 + 0×27 + 1×26 + 1×25 +

1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=379(10).
(2)1231(5)=1×53+2×52+3×5+1=191(10),

∴1231(5)=362(7).

【变式与拓展】 3.填空:

248 (10); (1)11 111 000(2)=________ (2)154(6)=________ 130 (7).

【例4】 已知f(x)=x5+2x4+3x3+4x2+5x+6,用秦九韶 算法求这个多项式当 x=2 时的值时,做了几次乘法运算?几次 加法运算?

易错分析: 用秦九韶算法计算多项式 f(x) = anxn + an - 1xn - 1
+…+a1x+a0.当x=x0时,首先将多项式改写成f(x)=(…(anx+ an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0形式,然后再计算v1=anx+an-1,

v2=v1x+an-2,…,vn=vn-1x+a0.因此,尽管an是1,但仍进行
了5次乘法. 解:共做了 5 次乘法运算,5 次加法运算.

[方法· 规律· 小结] 1.辗转相除法与更相减损术求最大公约数的区别与联系.

名称

辗转相除法 ①以除法为主
②两个整数的差较大

更相减损术
①以减法为主 ②两个整数的差较大时, 运算次数多

区别

时,运算次数减少
③余数为 0 时结束

③两数相等时结束

联系

①都是求最大公约数的方法 ②都用到递推方法
③都用循环结构来实现

2.秦九韶算法的优点. (1)减少乘法运算的次数. (2)规律性强,便于利用循环语句实现. (3)不用对 x 做幂的运算,每次都是计算一个一次多项式的 值,提高了计算精度.

3.进位制的理解.

进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示
不同的数值.使用数字符号的个数称为基数,基数为 n,即称为

n 进位制,简称 n 进制.现在最常用的是十进制,通常使用 10 个
阿拉伯数字 0~9 进行记数.
对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示.比如:

十进数 57,可以用二进制表示为 111 001,也可以用八进制表
示为 71,用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的. 表示各种进制数时,一般要在数字右下角加注来表示.如 111 001(2)表示二进制数,34(5)表示五进制数.电子计算机一般都 使用二进制.


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