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1.1.1正弦定理2导学案


课题:1.1.1 正弦定理 课型:新授课 课时 : 第 2 课时 【三维目标】 ●知识与技能: 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 有两解或一解或无 解等情形;三角形各种类型的判定方法。 ●过程与方法:让学生从实际问题出发,结合初中学习过的直角三角形中的边角关系,引导 学生不断地观察、比较、分析,采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并 证明正弦定理; 让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作 用。 ●情感态度与价值观: 通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性, 让学生 体验成功的喜悦, 激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的 意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。 【学习重点】 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 有两解或一解或无解等情形; 【学习难点】理解解的个数的判定 【教学资源】 教师导学过程(导案) 【导学过程 1:】课前导学 学生学习活动(学案) 【学生学习活动 1:】 学生课前独立完成 课前 1-2 分钟讨论统一答案

1.三角形中恒等变形常用如下的边角转化:
(1) a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B ( 2 ) a : b : c ? sin A : sin B : sin C (3) 2 b ? a ? c ? 2 sin B ? sin A ? sin C ( 4 ) sin B ? sin A sin C ? b ? a c
2 2

2. 在△ABC 中,若

sin A a

?

co s B b

, B 的值为__________ 则

3.在△ABC 中,a cos A ? b cos B , 则△ABC 是_________

4.在△ABC 中,若 3 a ? 2 b sin A ,则 B 等于_________ 5.阅读课本第 8 页
【导学过程 2:】提出问题: 课本 P8 的问题: 从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边 的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情形。下 面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 【导学过程 3:】典型例题 【学生学习活动 2:】 学生尝试探究,小组讨论交流,师 生共同完成。 【学生学习活动 3:】
6 , A ? 45 , a ? 2 , 求 b 和 B , C
0

例 1: ? ABC 中, c ?
练习:已知 sin 5 3 ? ? 变式 1: a ? 2, b ? 变式 2: a ? 1, b ?
4 5

学生尝试探究,小组讨论交流,师 生共同完成。

,a ?

5 4

,b ?

2 , A ? 4 5 ? ,求角 B.

2 , A ? 4 5 ? ,求角 B。 2 , A ? 4 5 ? ,求角 B。

变式 3: a ? 1, b ? 变式 4: a ?
5 4 ,b ?

2 , A ? 6 0 ? ,求角 B。
2 , A ? 1 3 5 ? ,求角 B。

【导学过程 4:】典型例题 探究一.在 ? ABC 中,已知 a ,b ,A ,讨论三角形解的情况 分析:先由 s i n B ?
b sin A a

【学生学习活动 4:】 学生尝试探究,小组讨论交流,师 生共同完成。

可进一步求出 B;
a sin C sin A

则 C ? 1 8 0 0 ? (A ? B )

,从而 c ?

【导学过程 5:】 探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解 吗?

【学生学习活动 5:】

【导学过程 6:】

练习应用
2 , B ? 4 5 ,若三角
?

【学生学习活动 6:】 学生尝试探究,小组讨论交流,师 生共同完成

(理)例 2:在 ? ABC 中, a ? x , b ? 形有两个解,求 x 的取值范围。

(文)例 2:根据下列条件,判断解三角形的情况 (1) a=20,b=28,A=120°.无解 (2) B C ? 28, A C ? 20, ? C A B ? 45 ? ;一解 (3)c=54,b=39,C=115°;一解 (4) b=11,a=20,B=30°;两解 [随堂练习 1] 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 1 0 0 , ? A ? 45 0 ,试判 断此三角形的解的情况。 2.在 ? ABC 中,若 a ? 1 ,c ?
1 2

答案: (1)有两解; (2)0; (3) 2 ? x ? 2 2 )

, ? C ? 4 0 0 ,则符合题意

的 b 的值有_____个。 3.在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2 cm , ? B ? 45 ? ,如果利用 正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围。

【导学过程 7:】 例题学习 例 3. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,若
sin A co s
2

【学生学习活动 7:】 学生尝试探究,小组讨论交流,师

C 2

? sin C co s

2

A 2

?

3 2

sin B ,

生共同完成。

求证: a ? c ? 2 b 。

【归纳小结】: (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; (2)三角形各种类型的判定方法;


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