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高中数学必修五2.2等差数列第一课时


第23届到第28届奥运会举行的年份依次为: 1984 1988 1992 1996 2000 2004 得到数列:1984,1988,1992 1996,2000,2004

姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:
第一天:6000, 第二天:6500, 第三天:7000, 第四天:7500, 第五天:8000, 第六天:8500, 第七天:9000.

得到数列: 6000,6500,7000,7500, 8000,8500,9000

耐克运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm)

1 22 ,23, 2 1 24 ,25, 2

1 ,24, 23 2

1 ,26 25 2

观察归纳
奥运会举行年份的数列: 1884,1988,1992,1996,2000,2004 姚明罚球个数的数列: 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 运动鞋尺码的数列:

观察:以上数列有什么共同特点?

1 1 1 1 ,23,23 ,24, 24 ,25,25 ,26 22 2 2 2 2

从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。

等差数列定义
第2项起 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它 同一个常数 的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常 用字母d表示。

an?1 ? an ? d 或an ? an ?1 ? d
? n ? 2?

an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2)

练一练 判断下列数列是否为等差数列;如果是,求出公差

1、数列4,7,10,13,16,…. 公差是3
2、数列6,4,2,0,-2,-4; 3、数列 1,1,1,1,1; 公差是-2 公差是0

4、数列 -3,-2,-1,1,2,3 ; 不是

公差d是每一项(第2项起)与它的前一 项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且 公差可以是正数,负数,也可以为0.

形成概念

设等差数列{an}的公差为d,当d>0,

d<0,d=0时,数列{an}的特点:
d>0时,{an}是递增数列; d<0时,{an}是递减数列;

d=0时,{an}是常数列.

如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …,an , …,

是等差数列,它的公差是d,那么

a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d a5 ? a4 ? d ? (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? 4d
由此可知,等差数列

?? ?? ?a ?
n

的通项公式为

an ? a1 ? (n ?1)d

当d≠0时,这是 关于n的一个一 次函数。

分析2:根据等差数列的定义:

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

() 1
(2)

(3 )
(n ? 1 )
*

an ? an?1 ? d

将上面 n ? 1 个等式相加得:

an ? a1 ? (n ? 1)d ,n ? N
由此得到:

an ? a1 ? (n ?1)d.

(通项公式)

结论:若一个等差数列{an},它的首项为 公差是d,那么这个数列的通项公式是: 1



a

an ? a1 ? (n ?1)d
a1、d、n、an中

知三求一

在等差数列{an}中, 1)已知a1=2,d=3,n=10,求an 解:a10=a1+9d=2+9×3=29 2)已知a1=3,an=21,d=2,求n 解:21=3+(n-1)×2 3)已知a1=12,a6=27,求d 解:a6=a1+5d,即27=12+5d d=3 n=10

练 一 练

例题 例1 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项; (2)判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项? 如果是,是第几项,如果不是,说明理由。 分析(1)由给出的等 解:(1)由题意得: 差数列前三项,先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20 到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是: an=a1+(n-1)d=-3n+11 写出通项公式,就可 以求出第20项a20. ∴a20=11-3×20=-49

分析(2)要想判断 -401是否为这个数列 中的项,关键是要求 出通项公式,看是否 存在正整数n,使得 an=-401。

(2)由题意得: a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是: an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 ∴-401是这个数列的第100项。

练习二 (1)求等差数列3,7,11…的第4项与第10项; (2)判断100是不是等差数列`2,9,16,…的项? 如果是,是第几项,如果不是,说明理由。
(2)由题意得: a1=2,d=9-2=16-9=7 a1=3,d=7-3=11-7=4, ∴这个数列的通项公式是: an=2+ (n-1) × 7 ∴这个数列的通项公式是: an=a1+(n-1)d=4n-1 =7n-5(n≥1) ∴a4=4×4-1=15, 令100=7n-5,得 n=15 a10=4×10-1=39. ∴100是这个数列的第15项。 解:(1)根据题意得:

三、等差数列的通项
例2:在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1 an ? a1 ? (n ?1)d 与公差d。 解:由题意可知

?

a1 ? 4 d ?10 a1 ?11d ? 31

这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组, 解这个方程组,得

?

a1 ? ? 2 d ?3

即这个等差数列的首项是-2,公差是3。

知识延伸:

am ? a1 ? (m ? 1)d a1 ? am ? (m ? 1)d

an ?

a1 ? (n ? 1)d

= am ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 即得第二通项公式

an ? am ? (n ? m)d
∴ d=

am ? an m?n

提问:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A b成等差数列,那么A应满足什么条件? 因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由 定义可以知道: A – a = b - A
a?b 即 A? 例如 (1) 2, 5 ,8 2
(2) 3 ? 1, 3 , 3 ? 1

等差中项
如果a,A,b组成了一个等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项

等差数列的图象1 10
9 8




(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…

7 6 5 4
3 2 1 0 1
● ● ● ●



2

3

4

5

6

7

8

9

10

等差数列的图象2 10
9 8 (2)数列:7,4,1,-2,…


7 6 5 4
3 2 1 0 1





2

3

4


5

6

7

8

9

10

等差数列的图象3 10
9 8 (1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

例3 某市出租车计价标准为1.2元/km,起步价为10 元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某 人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路 畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?

实际问题

数学模型
等差数列: a1=11.2 d=1.2 n=?

11.2

12.4 13.6

0

4

5

6

7

应用延伸
1.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果 前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是 多少? 解:由题意得, a6=a1+5d>0 a7=a1+6d<0 ∴-23/5<d<-23/6 ∵d∈Z ∴d=-4 2.已知等差数列{an}的首项为30,这个数列从 第12项起为负数,求公差d的范围。 解:a12=30+11d<0 a11=30+10d≥0 ∴ -3≤d<-30/11 即公差d的范围为:-3≤d<-30/11

课堂小结:
一个 定义

an ? an?1 ? d , (n ? 2)
累加法

一个 方法
一个 公式 一个 思想

an ? a1 ? (n ?1)d
知三求一的方程思想

知识回顾
? . ? ?公差 — d =a +1-a 等差数列 ? n n ?通项 — an=a1+(n-1)d ? ?几何意义 — 等差数列各项对应的点都 ?
在同一条直线上. 【说明】 AAA①数列{ an }为等差数列? an+1-an=d 或an+1=an+d AAAAAAAAAAAAA 如果一个数列从第2项起,每一项与 ?定义 — 它前一项的差 等于同一个常数. . . . . .

②公差是 唯一 的常数。

等差数列的性质
1. {an}为等差数列 ? an+1- an=d ? ? an= a1+(n-1) d an+1=an+d

? an= kn + b (k、b为常数)

2. a、b、c成等差数列 ? b为a、c 的等差中项AA ?
a?c b? 2

?

2b= a+c

【说明】 3.更一般的情形,an=

an ? am am+(n - m) d ,d= n?m

Thank You!


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