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三角的恒等变换


第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式(2014/10/8)
1.同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1,其等价形式为:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. sinα sinα (2)商数关系: =tanα,其等价形式为:sinα=cosαtanα,cosα= . cosα tanα (1).如何理解基本关系中“同角”的含

义? 2.角的对称 3.六组诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 可概括为: “负化正,大化小,化到锐角为终了” 举例:基础自测 4 19π? 10π ? 13π? 4.计算 sin - 2cos? ?- 4 ?+tan?- 3 ?=________. 3 4π 3π 2π+ ?- 2cos?4π+ ?- 解析:原式=sin? 3 4? ? ? ? π? π ? π? ? π? tan? ?4π+3?=sin?π+3?- 2cos?π-4?-tan3 π π 3 3 =-sin + 2cos - 3=- +1. 3 4 2 3 3 答案:- +1 2 (1).有人说 sin(kπ-α)=sin(π-α)=sinα(k∈Z),你认为正确吗? (2).诱导公式的口诀“奇变偶不变, 符号看象限”中的“符号”是否与 α 的大小有关?

例题教学:
(见教材)

题型一: (齐次求值问题)
例 1,基础自测 3.若 tanα=2,则
1 A.- 3 5 B.- 3 sinα-cosα 的值为( sinα+cosα ) 1 5 C. D. 3 3 sinα-cosα tanα-1 2-1 1 解析: (方法一) = = = . sinα+cosα tanα+1 2+1 3 答案:C (方法二)代入

归纳:例题 1(2) ,变式训练 1(2) 例 2(1)学生练习: (板演) 补充题:学生练习: (板演)
(2007 年安徽 16) (本小题满分 12 分) 已 知 0 < a <

?
4

, ?为f ( x) ? cos( 2 x ?

?
8

) 的 最 小 正 周 期 ,

a ? (tan( a ?

1 2 cos2 ? ? sin 2(? ? ? ) ? ), ?1), b ? (cos ? ,2)且a ? b ? m 。求 . 4 cos? ? sin ?

16.本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推
1

理能力.本小题满分 12 分. 解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8? ? ? 1 ? ? ??2. 4 ?

· b ? m ,又 a 因a · b ? cos ? · tan ? ? ?
故 cos ? · tan ? ? ? 由于 0 ? ? ?

? ?

1 ? ? ? ? m?2. 4 ?

π ,所以 4

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2 π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? · tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) . 1 ? tan ? 4? ?
3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

(2006 年安徽 17) (本大题满分 12 分)已知 (Ⅰ)求 tan ? 的值;

5sin 2
(Ⅱ)求

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

解:(Ⅰ)由 tan ? ? cot ? ? ?

10 2 得 3tan ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 ,即 3

1 3? 1 tan ? ? ?3或 tan ? ? ? ,又 ? ? ? ? ,所以 tan ? ? ? 为所求。 3 4 3

5sin 2
(Ⅱ)

?
2

? 8sin

?
2

2 ?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

cos

?

? 11cos 2

?
2

?8 5

1- cos ? 1+ cos ? ? 4sin ? ? 11 ?8 2 2 = ? 2 cos ?

=

5 2 5 ? 5cos ? ? 8sin ? ? 11 ? 11cos ? ? 16 8sin ? ? 6cos ? 8 tan ? ? 6 ? = =? 。 6 ?2 2 cos ? ?2 2 cos ? ?2 2

例题 3:变式训练 2 (1)
2

? ? ? (2)(2)已知 sin? ?12+α?=3,则 cos?α- 12 ?=________.
11π? ?11π ? ? ?π ?? (2)cos? ?α- 12 ?=cos? 12 -α?=cos?π-?12+α?? π π 7π π +α?,而 sin? +α?=sin? +?12+α?? =-cos? ? ?12 ? ?12 ? 2 ?



2

11π

?

?

π ? 2 =cos? ?12+α?=3, 11π 2 α- ?=- .(角的关系的发现) 所以 cos? 12 ? ? 3

例题 4: 【例 3】
4 A. 3 3 B. 4

(2013· 浙江卷)已知 α∈R,sinα+2cosα=

10 ,则 tan2α=( 2

)

3 4 C.- D.- 4 3 根据已知条件,结合同角三角函数的平方关系联立方程分别求出 sinα,

cosα,进而求出 tanα,然后代入二倍角公式即可求解. (换个角度用技巧,齐次求

值技巧应用)
【解析】 由 sinα+2cosα= 又 sin2α+cos2α=1,② 10 , ?sinα=3 10 联立①②,解得? 10 ?cosα= 10 10 , ?sinα=- 10 或? 3 10 ?cosα= 10 . 10 10 ,得 sinα= -2cosα,① 2 2

sinα 1 所以 tanα= =3 或- . cosα 3 2×3 2tanα 3 当 tanα=3 时,tan2α= 2 = 2=- ; 4 1-tan α 1-3 1 2×?- ? 3 1 2tanα 3 当 tanα=- 时,tan2α= = =- . 3 12 4 1-tan2α 1-?- ? 3 3 综上,tan2α=- .故选 C. 【答案】 C 4

备用题:变式训练 3
已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两个根为 sinθ 和 cosθ,θ∈(0,2π),求: sinθ cosθ (1) + 的值; 1 1-tanθ 1- tanθ (2)m 的值; (3)方程的两根及 θ 的值. +1 ,① ?sinθ+cosθ= 32 解:(1)? m ?sinθcosθ= 2 ,② sinθ cosθ sin2θ cos2θ + = + 1 1-tanθ sinθ-cosθ cosθ-sinθ 1- tanθ
3



sin2θ-cos2θ 3+1 =sinθ+cosθ= . 2 sinθ-cosθ 3 .

2+ (2)将①式两边平方得 1+2sinθcosθ= 2 3 m 3 ∴sinθcosθ= .由②式得 = ,∴m= 4 2 4 (3)由(2)可知原方程变为 2x2-(

3 . 2

3 sinθ= , ? 2 3 3 1 3+1)x+ =0, 解得 x = , x = .∴? 2 2 2 1 ?cosθ=2
1 2

?cosθ= 23, 或? 1 ?sinθ=2.
π π 又 θ∈(0,2π),∴θ= 或 θ= . 3 6

本课小结:
1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在 求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法, (2)和积转换法: (3)巧用“1”的变换:(4)注意齐次式求值的技巧 3.利用诱导公式进行化简、求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤:去负——脱周——化锐.或者“负化正,大化小,化到锐角为终了” 特别注意函数名称和符号的确定.

4

, 关系的应用

同角三角函数基本

3π? 3 (1)若 cosα=- ,且 α∈? ?π, 2 ?,则 tanα=________. 5 (2)已知 tanα=2,则 sin2α-sinαcosα 的值是( ) 2 2 A. B.- 5 5 C.-2 D.2 3π? 3 4 2 【解析】 (1)因为 α∈? ?π, 2 ?,cosα=-5,所以 sinα=- 1-cos α=-5,所以 tanα sinα 4 = = . cosα 3 sin2α-sinαcosα tan2α-tanα 22-2 2 (2)依题意得 sin2α-sinαcosα= = = 2 = .选 A. sin2α+cos2α tan2α+1 2 +1 5 4 【答案】 (1) (2)A 3 【例 1】

错误!
5 (1)(2013· 大纲卷)已知 α 是第二象限角,sinα= ,则 cosα=( 13 12 5 A.- B.- 13 13 5 12 C. D. 13 13 3π ? sinα-4cosα (2)已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,则5sinα+2cosα=________. 解析:(1)∵α 是第二象限角,∴cosα<0, 5 12 ∴cosα=- 1-sin2α=- 1-? ?2=- . 13 13 3π ? (2)解法 1:由 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?得 tanα=2. tanα-4 2-4 1 原式= = =- . 6 5tanα+2 5×2+2 解法 2:由已知得 sinα=2cosα. 2cosα-4cosα 1 原式= =- . 6 5×2cosα+2cosα 1 答案:(1)A (2)- 6 )

5

,

诱导公式的应用

【例 2】 (1)设 f(α)= 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? 23 (1+2sinα≠0),求 f(- π)的值. 3π π 6 1+sin2α+cos? +α?-sin2? +α? 2 2 2 4 (2)化简 sin(nπ+ π)· cos(nπ+ π)(n∈Z). 3 3 ?-2sinα??-cosα?+cosα 【解析】 (1)∵f(α)= 1+sin2α+sinα-cos2α 2sinαcosα+cosα cosα?1+2sinα? 1 = = = , 2 2sin α+sinα sinα?1+2sinα? tanα 23π 1 ∴f(- )= 6 23π tan?- ? 6 1 1 = = = 3. π π tan?-4π+ ? tan 6 6 (2)当 n=2k(k∈Z)时, 2 4 原式=sin(2kπ+ π)· cos(2kπ+ π) 3 3 2 4 π π =sin π·cos π=sin · (-cos ) 3 3 3 3 3 1 3 = ×(- )=- . 2 2 4 当 n=2k+1(k∈Z)时, 2 4 原式=sin[(2k+1)π+ π]· cos[(2k+1)π+ π] 3 3 2 4 =sin(π+ π)· cos(π+ π) 3 3 2 π π π =-sin π·cos =-sin · cos 3 3 3 3 3 1 3 =- × =- . 2 2 4 3 ∴原式=- . 4

错误!
5π 1 (1)(2013· 广东卷)已知 sin( +α)= ,那么 cosα=( 2 5 2 1 A.- B.- 5 5 1 2 C. D. 5 5 7π ? 2 11π +α = ,则 cos?α- ?=________. (2)已知 sin? 12 12 ? ? ? 3 ? 5 π 解析:(1)由题知,sin( π+α)=sin( +α)=cosα, 2 2
6

)

1 ∴cosα= . 5 11π? ?11π ? ? ?π ?? (2)cos? ?α- 12 ?=cos? 12 -α?=cos?π-?12+α?? π π 7π π +α?,而 sin? +α?=sin? +?12+α?? =-cos? ?? ?12 ? ?12 ? ?2 ? π 2 ? =cos? ?12+α?=3, 11π? 2 所以 cos? ?α- 12 ?=-3. 2 答案:(1)C (2)- 3

, 用

三角公式的综合应

错误!

1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在 求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法, sinx 主要利用公式 tanx = 化成正弦、余弦函数; (2) 和积转换法:如利用 (sinθ± cosθ)2 = cosx 1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ) 1 π =sin2θ+ 2 =tan =?. 4 1+tan θ 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 3.利用诱导公式进行化简、求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤:去负——脱周——化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.

思想方法指津(六) 方程思想—求解三角函数值 7 【典例】 已知 sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π),则 tanθ=________. 13
7

审题视角 本题可以利用 sinα± cosα 与 sinα· cosα 的转化关 系求解,也可以利用 sinθcosθ= sinθ· cosθ = 2 sin θ+cos2θ tanθ 转化为关于 tanθ 的方程求解. 1+tan2θ 60 所以 sinθcosθ=- . 169 由根与系数的关系,知 sinθ,cosθ 是方程 x2 7 60 12 - x- =0 的两根,所以 x1= ,x2=- 13 169 13 5 . 13 60 又 sinθcosθ=- <0,所以 sinθ>0,cosθ<0. 169 12 5 sinθ 所以 sinθ= , cosθ=- .所以 tanθ= = 13 13 cosθ 12 - . 5 60 解法 2:同解法 1,得 sinθcosθ=- ,所以 169 sinθcosθ 60 =- . 169 sin2θ+cos2θ tanθ 60 齐次化切,得 2 =- ,即 60tan2θ+ 169 tan θ+1 12 169tanθ+60=0,解得 tanθ=- 或 tanθ=- 5 5 . 12 7 又 θ∈(0,π),sinθ+cosθ= >0,sinθcosθ= 13 60 - <0. 169 π 3π? 12 所以 θ∈? ?2, 4 ?,所以 tanθ=- 5 .

规范解答

7 解法 1: 因为 sinθ+cosθ= , θ∈(0, π), 13 49 所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ= , 169

点拨提升

(1)解法 1 利用了方程思想,由 sinθ+cosθ、 sinθcosθ 的值构造一元二次方程,把 sinθ 与 cosθ 看作此方程的两根, 即可求出 sinθ 与 cosθ 的值,便可求解.解法 2 利用同角三角函数 的基本关系,转化为关于 tanθ 的一元二次方 程求得 tanθ 的值.

(2)所谓方程思想就是在解决问题时,用事先 设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的 等量关系,建立方程或方程组,求出未知数 及各量的值,或者用方程的性质去分析、转 化问题,使问题获得解决.

8

1.已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα=(

)

2 2 C. D.1 2 2 解析:因为 sinα-cosα= 2,所以(sinα-cosα)2=2,所以 sin2α=-1.因为 α∈(0,π), 3π 3π 2α∈(0,2π),所以 2α= ,所以 α= ,所以 tanα=-1. 2 4 答案:A π 1 2.已知- <x<0,sinx+cosx= ,则 sinx-cosx 的值为________. 2 5 1 解析:由 sinx+cosx= , 5 1 24 平方得 sin2x+2sinxcosx+cos2x= ,即 2sinxcosx=- , 25 25 49 ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 25 π 又∵- <x<0,∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0, 2 7 故 sinx-cosx=- . 5 7 答案:- 5 A.-1 B.-

9


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