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高一期末数学复习卷1


高一期末数学复习卷 1
解三角形及三角函数 班级 知识梳理 1.正弦定理: 姓名 学号

a b c = = sinA sinB sinC=2R(R 表示该三角形的外接圆半径). 变形形式:(1) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
a b c (2) sinA= ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R (3) sinA:sinB:sinC=a:b:c.

2.余弦定理:a =b +c -2bccosA,b =a +c -2accosB,c =a +b -2abcosC.

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b +c -a a +c -b a +b -c2 变形形式:cosA= ,cosB= 2bc 2ac ,cosC= 2ab .
复习训练 一、填空题 1.在△ABC 中,一定成立的是 . ① asinA=bsinB ② acosA=bcosB ③ asinB=bsinA ④ acosB=bcosA cosA b 2.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 是 cosB a a b c 3.在△ABC 中,若 = = ,那么△ABC 是 A B C cos cos cos 2 2 2 三角形.

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三角形.

4.在△ABC 中,∠A=60°,AC=16,面积 S=220 3,则 BC 的长为 5.在锐角△ABC 中,边长 a=1,b=2,则 c 的取值范围是 .



A
45 ?

6.如图,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10m,从 D,C 两 地测得点 A 的仰角分别为 30°和 45°,则点 A 离地面的高 AB 等 于 .

D

30 ?

C

B

7.在△ABC 中,B=45°,C=60°,a=2(1+ 3),则△ABC 的面积是 8.在△ABC 中,B=60°,b=7 6,a=14,则角 A= 9.在△ABC 中,已知 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角 C= .





13 10.在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC= ,则△ABC 的最大角的余弦值为 14



11.在△ABC 中,若 b= 2,c=1,B=45°,则 a=

,C=



7 3 12.在△ABC 中,锐角 B 所对的边 b=7,外接圆半径 R= ,三角形面积 S=10 3,则 3 三角形的边 a= .

13.如右图,一条直角走廊宽为 1.5m,一转动灵活的平板手推车, 其平板面为矩形,宽为 1m.问:要想顺利通过直角走廊,平 板手推车的长度不能超过 m.
(第 13 题图)

14.在△ABC 中,已知 sinA=13sinBsinC,cosA=13cosBcosC,则 tanA+tanB+tanC 的值 为 .

二、解答题 15.在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45°,求角 A,C,边 c 及三角形的面积.

1 3 16.在△ABC 中,已知 tanA= ,tanB= . 4 5 (1) 求角 C 的大小;(2)若△ABC 的最大边长为 17,求三角形的最小边长.

17.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对边的长.若 acosB=1,bsinA= 2,且 A π -B= . 4 (1) 求 a 的值; (2) 求 tanA 的值.

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 acosC+ccosA=2bcosA. (1) 求角 A 的值;(2) 求 sinB+sinC 的取值范围.

19.如图,某观察站 C 在 A 城的南偏西 20°方向,由 A 城出发有一条公路,走向是南偏东 40°.由 C 处测得与 C 相距 31 千米的 B 处,有一个人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米 后到达 D 处.此时 CD 间的距离为 21 千米,问这个人还要走多少千米可到达 A 城?

A
20? 40?

D
B

C

20. 某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, 如图所示, 在△ABC 外的地方种草, △ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC=2,∠ABC=?,设△ABC 的面积为 S1,正方形的面积为 S2. (1)用 a 和? 表示 S1 和 S2; A S1 P (2)当 a 固定,?变化时,求 取最小值时的角?的值. S S2 B Q R C

高一期末数学复习卷 1 解三角形及三角函数 知识梳理 1.正弦定理:

a b c = = sinA sinB sinC=2R(R 表示该三角形的外接圆半径). 变形形式:(1) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
a b c (2) sinA= ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R (3) sinA:sinB:sinC=a:b:c.

2.余弦定理:a =b +c -2bccosA,b =a +c -2accosB,c =a +b -2abcosC. 变形形式:cosA=

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b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 , cos B = , cos C = 2bc 2ac 2ab .

复习训练 1.在△ABC 中,一定成立的是 .③ ① asinA=bsinB ② acosA=bcosB ③ asinB=bsinA ④ acosB=bcosA cosA b 2.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 是 三角形.等腰或直角三角形 cosB a a b c 3.在△ABC 中,若 = = ,那么△ABC 是 三角形.等边三角形 A B C cos cos cos 2 2 2 4.在△ABC 中,∠A=60°,AC=16,面积 S=220 3,则 BC 的长为 .49 5 . 在 锐 角 △ ABC 中 , 边 长 a = 1 , b = 2 , 则 c 的 取 值 范 围 A 是 . ( 3, 5) 6.如图,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10m,从 D,C 两 地测得点 A 的仰角分别为 30°和 45°,则点 A 离地面的高 AB 等 30 ? 45 ? B 于 .5( 3+1)m C D 7.在△ABC 中,B=45°,C=60°,a=2(1+ 3),则△ABC 的 面积是 6+2 3 . 8.在△ABC 中,B=60°,b=7 6,a=14,则∠A= 45° . 9.在△ABC 中,已知 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C= 45°或 135° . 1 13 10.在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC= ,则△ABC 的最大角的余弦值为 .- 7 14 11.在△ABC 中,若 b= 2,c=1,B=45°,则 a= ,C= . b c 1 2 1 解 由正弦定理 = ,得 = ,所以 sinC= . sinB sinC sinC 2 2 2 2>1,所以 b>c,因为 B=45°,所以 0° <C<45°, 6+ 2 bsinA 所以 C=30° , A=105°,由正弦定理得 a= = . 2 sinb 7 3 12.在△ABC 中,锐角 B 所对的边 b=7,外接圆半径 R= ,三角形面积 S=10 3,则 3 三角形的边 a= . a=5 或 a=8 13.如右图,一条直角走廊宽为 1.5m,一转动灵活的平板手推车, 其平板面为矩形,宽为 1m.问:要想顺利通过直角走廊,平 板手推车的长度不能超过_ _ m. ? 提示 设∠ADE=?,其中 0<?< . 2 1 3 1 (第 13 题图) 记 y=a+ +tan?≤ × 2 2=3 2,所以 a≤3 2-( +tan?), 2 tan? tan? 因为

1 即 a≤[3 2-( +tan?)]min=3 2-2. tan? 14.在△ABC 中,已知 sinA=13sinBsinC,cosA=13cosBcosC,则 tanA+tanB+tanC 的值 为 . 解 由题意 cosA,cosB,cosC 均不为 0,由 sinA=13sinBsinC,cosA=13cosBcosC, 两式相除得 tanA=tanBtanC, 又由 cosA=13cosBcosC,且 cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC, 所以 sinBsinC=14cosBcosC,所以 tanBtanC=14. 又 tanB+tanC=tan(B+C)(1-tanBtanC)=-tanA(1-tanBtanC), 所以 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=196. 15.在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45°,求角 A,C,边 c 及三角形的面积. a b 3 2 3 解 由正弦定理 = ,得 = ,所以 sinA= . sinA sinB sinA 2 2 2 因为 3> 2,所以 a>b,因为 B=45°,所以 45° <A<180°, 所以 A=60°,或 A=120°. 6+ 2 bsinC 当 A=60°时,C=75°,由正弦定理得 c= = , 2 sinb 3+ 3 1 面积 S△ABC= bcsinA= . 2 4 6- 2 bsinC 当 A=120°时,C=15°,由正弦定理得 c= = , 2 sinb 3- 3 1 面积 S△ABC= bcsinA= . 2 4 1 3 16.在△ABC 中,已知 tanA= ,tanB= . 4 5 (1) 求角 C 的大小;(2)若△ABC 的最大边长为 17,求三角形的最小边长. tanA+tanB 解 (1) tan(A+B)= =1,所以 tanC=-tan(A+B)=-1. 1-tanAtanB 3 又 0<C<?,所以 C= ?. 4 (2) 因为 C 为钝角,所以 c= 17.又 tanA<tanB,所以 A<B,即所求最小边为 a. 1 a c csinA 在△ABC 中,sinA= ,由正弦定理得, = ,即 a= = 2. sin A sin C sinC 17 17.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对边的长.若 acosB=1,bsinA= 2,且 A π -B= . 4 (1) 求 a 的值; (2) 求 tanA 的值. 解:(1) 由正弦定理知,bsinA=asinB= 2,① 又 acosB=1, ② ①,②两式平方相加,得(asinB)2+(acosB)2=3, 因为 sin2B+cos2B=1,所以 a= 3(负值已舍). sinB (2) ①,②两式相除,得 = 2,即 tanB= 2, cosB π tanB+tan 4 1+ 2 π π 因为 A-B= ,所以 tanA=tan(B+ )= = =-3-2 2. 4 4 π 1- 2 1-tanBtan 4 18.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 acosC+ccosA=2bcosA. (1) 求角 A 的值;(2) 求 sinB+sinC 的取值范围. 解 (1) 因为 acosC+ccosA=2bcosA,所以 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA, 即 sin(A+C)=2sinBcosA.

因为 A+B+C=π,所以 sin(A+C)=sinB,从而 sinB=2sinBcosA. 1 π 因为 sinB≠0,所以 cosA= .因为 0<A<π,所以 A= . 2 3 2π 2π 2π (2) sinB+sinC=sinB+sin( -B)=sinB+sin cosB-cos sinB 3 3 3 3 3 π = sinB+ cosB= 3sin(B+ ). 2 2 6 2π π π 5π 3 因为 0<B< ,所以 <B+ < ,所以 sinB+sinC 的取值范围为( , 3]. 3 6 6 6 2 1.如图,某观察站 C 在 A 城的南偏西 20°方向,由 A 城出发有一条公路,走向是南偏东 40°.由 C 处测得与 C 相距 31 千米的 B 处,有一个人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米 后到达 D 处.此时 CD 间的距离为 21 千米,问这个人还要走多少千米可到达 A 城? 解:在△BCD 中,CD=21,BD=20,BC=31, 212+202-312 1 由余弦定理得 cos∠BDC= =- , 7 2×21×20 4 3 所以 sin∠BDC= 1-cos2∠BDC= . 7 在△ACD 中,CD=21,∠CAD=20°+40°=60°, 5 3 sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)=sin∠BDC·cos60°-cos∠BDC·sin60°= . 14 5 3 CDsin∠ACD 21× 14 由正弦定理得 AD= = =15(千米). 3 sin∠CAD 2 所以此车距城 A 有 15 千米. 20. 某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, 如图所示, 在△ABC 外的地方种草, △ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC=2,∠ABC=?,设△ABC 的面积为 S1,正方形的面积为 S2. A (1)用 a 和? 表示 S1 和 S2; S1 P S (2)当 a 固定,?变化时,求 取最小值时的角?的值. S2 解 (1)由题意,BC=2,则 AB=2cos?,AC=2sin?. 1 1 ? B C Q R S1= AB× AC= ×22sin?cos?=sin2?,其中 0<?< . 2 2 2 x 设正方形的边长为 x,则 +x+xtan?=2, tan? 2tan? 2sin?cos? 2sin2? 解得 x= = = , 1+tan?+tan2? 1+sin?cos? 2+sin2? 2sin2? 2 ? 所以 S2=x2=( ) ,其中 0<?< . 2 2+sin2? 2 S1 sin2? 1 (2+sin2?) 1 4 (2) = = · = ( +sin2?+4). S2 4 sin2? 2sin2? 2 4 sin2? ( ) 2+sin2? S1 1 4 ? 因为 0<?< ,所以 0<2?<?,记 t=sin2?∈(0,1],y= = ( +t+4). 2 S2 4 t 因为 y 是关于 t 的单调减函数, 1 9 S1 9 ? 所以当 t=1 时,ymin= (4+1+4)= ,即当?= 时,( ) = . 4 4 4 S2 min 4

A
20? 40?

D
B

C


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