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13讲 变化率与导数、导数的计算


第 13 讲 变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′|x=x , Δx Δx→0 Δx 0

即 f′(x0)= lim →
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0 Δx

(2)导数的几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0, y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: 称函数 f′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx

2.基本初等函数的导数公式 (sin x)′=cos_x, (cos x)′=-sin_x, (ax)′=axln_a, (ex)′=ex, (logax)= 1 = . x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 1 , (ln x)′ xln a

4.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.

1

2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有 差别. [试一试] 1. (2013· 江西高考)设函数 f(x)在(0, +∞)内可导, 且 f(ex)=x+ex, 则 f′(1)=________. 1 解析:因为 f(ex)=x+ex,所以 f(x)=x+ln x(x>0),所以 f′(x)=1+ ,所以 f′(1)=2. x 答案:2 2.函数 y=xcos x-sin x 的导数为________. 解析:y′=(xcos x)′-(sin x)′ =x′cos x+x(cos x)′-cos x =cos x-xsin x-cos x =-xsin x. 答案:-xsin x

考点一

利用导数的定义求函数的导数

利用导数的定义求函数的导数: 1 (1)y=x2,(2)f(x)= . x+2 Δy f?x+Δx?-f?x? 解:(1)因为 = Δx Δx = = ?x+Δx?2-x2 Δx x2+2x·Δx+?Δx?2-x2 =2x+Δx, Δx
Δx 0

所以 y′= lim →

Δy = lim (2x+Δx)=2x. Δx Δx→0

1 1 - Δy f?x+Δx?-f?x? x+Δx+2 x+2 (2)因为 = = Δx Δx Δx 1 =- ?x+Δx+2??x+2? 所以 y′= lim →
Δx 0Δx

Δy =- lim →

Δx 0

1 1 =- . ?x+Δx+2??x+2? ?x+2?2
2

[类题通法] 定义法求函数的导数的三个步骤 一差:求函数的改变量 Δy=f(x+Δx)-f(x). Δy f?x+Δx?-f?x? 二比:求平均变化率 = . Δx Δx 三极限:取极限,得导数 y′=f′(x)= lim →
Δx

Δy . 0Δx

考点二

导数的运算

[典例] 求下列函数的导数. ex+1 (1)y=x2sin x;(2)y= x ;(3)y=ln(2x-5). e -1 [解] (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. ?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (2)y′= ?ex-1?2 ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = = x . ?ex-1?2 ?e -1?2 (3)令 u=2x-5,y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′u′= · 2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5 [类题通法] 1.求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以 减少运算量,提高运算速度,减少差错. 2.有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将 函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量. 3.复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程, 然后求导. [针对训练] π? ?π? ?π? ?π? 已知 f(x)=sin 2x,记 fn+1(x)=fn′(x)(n∈N*),则 f1? ?6?+f2?6?+…+f2 013?6?+f2 014?6?= ________. 解析:由题意,可知 f2(x)=f1′(x)=(sin 2x)′=2cos 2x; f3(x)=f2′(x)=(2cos 2x)′=-4sin 2x; f4(x)=f3′(x)=(-4sin 2x)′=-8cos 2x;
3

f5(x)=f4′(x)=(-8cos 2x)′=16sin 2x; … 故 f4k+1(x)=24ksin 2x, f4k+2(x)=24k 1cos 2x, f4k+3(x)=-24k 2sin 2x, f4k+4(x)=-24k 3· cos
+ + +

2x(k∈N). π? ?π? ?π? 所以 f1? ?6?+f2?6?+…+f2 014?6? π? 1 ? π? 2 ? π? =20sin? ?2×6?+2 cos?2×6?-2 sin?2×6?- π? 4 2 ? π? 23cos ? ?2×6? + 2 sin ?2×6? + … - 2
013 010

π? 2 sin ? ?2×6? - 2

011

π? 2 cos ? ?2×6? + 2

012

π? 2 sin ? ?2×6? + 2

π? cos? ?2×6? π =(20-22+24-26+…+22 008-22 010+22 012)sin +(21-23+25-27+…+22 009-22 011+ 3

π 22 013)cos 3 = = =
2 1 007 1×[1-?-22?1 007] 3 2×[1-?-2 ? ] 1 × + × 2 2 1-?-22? 1-?-22? 2 014 1+22 014 3 2×?1+2 ? 1 × + × 5 2 5 2

? 3+2??1+22 014? 10

? 3+2??1+22 014? 答案: 10

考点三

导数的几何意义

导数的几何意义是每年高考的重点,求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的 斜率,利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求切线方程; ?2?求切点坐标; ?3?求参数的值.?

角度一 求切线方程 π? 1.(2014· 洛阳统考)已知函数 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,a=f′? ?4?,f′(x)是 f(x)的导函
4

数,则过曲线 y=x3 上一点 P(a,b)的切线方程为( A.3x-y-2=0 B.4x-3y+1=0 C.3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0 D.3x-y-2=0 或 4x-3y+1=0

)

π? 解析: 选 A 由 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x 得 f′(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则 a=f′? ?4?= π π 3-2sin +2cos =1.由 y=x3 得 y′=3x2,过曲线 y=x3 上一点 P(a,b)的切线的斜率 k=3a2 2 2 =3×12=3.又 b=a3,则 b=1,所以切点 P 的坐标为(1,1),故过曲线 y=x3 上的点 P 的切线 方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.

角度二 求切点坐标 2.(2013· 辽宁五校第二次联考)曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0 处的切线方程为 4x-y-1 =0,则点 P0 的坐标是( A.(0,1) C.(1,3) ) B.(1,-1) D.(1,0)

3 解析:选 C 由题意知 y′= +1=4,解得 x=1,此时 4×1-y-1=0,解得 y=3, x ∴点 P0 的坐标是(1,3).

角度三 求参数的值 1 7 3.已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图像都相切,且 2 2 与 f(x)图像的切点为(1,f(1)),则 m 等于( A.-1 C.-4 1 解析:选 D ∵f′(x)= , x ∴直线 l 的斜率为 k=f′(1)=1, 又 f(1)=0, ∴切线 l 的方程为 y=x-1. g′(x)=x+m,设直线 l 与 g(x)的图像的切点为(x0,y0), 1 2 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x 0 +mx0+ ,m<0, 2 2 于是解得 m=-2,故选 D. [类题通法]
5

) B.-3 D.-2

导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),利 f?x1?-f?x0? 用 k= 求解. x1-x0

6


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