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选修2-3:2.1.3常见的离散型随机变量分布列——邻水中学


常见的离散型随机变量 分布列
四川省邻水中学 黄文谦

日常生活中常见、常用的分布列有 :两点分布,几何分布,超几何分 布,二项分布,珀松分布等等,本 章,我们只为大家介绍两点分布, 超几何分布,二项分布。

如果随机变量 的分布列为: 0 1 P 1-p p 这样的分布列称为两点分布列, 称随机变量 服从两点分布 , 或称 为 0—1 分布 而称 p ? P (? ? 1) 为成功概率.

练习 1:袋内有 5 个白球,6 个红球,从中摸出两 0 球,记 X = 1
[解析]

两球全红, 两球非全红 .

求 X 的分布列.

C2 3 6 显然 X 服从两点分布,P(X=0)=C2 =11. 11

3 8 ∴P(X=1)=1-11=11, ∴X 的分布列是 X P 0 3 11 1 8 11

练习 2: 在掷骰子试验中,有 6 种可能结果, 如果我们只关心出现的点数是否小于 4, 问如何定义随机变量η ,才能使η 满足两点 分布,并求其分布列.

[解析]
? ?1 η =? ? ?0

随机变量 η 可以定义为: 掷出点数小于4, 掷出点数不小于4.

显然 η 只取 0,1 两个值. 3 1 且 P(η=1)=P(掷出点数小于 4)=6=2,故 η 的分布列为 η P 0 1 2 1 1 2

练习 3.一个袋子中有形状大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球. (1)从中任意摸出一球,用 0 表示摸出白球,用 1 表示摸出 红球,即
? ?0 X=? ? ?1

摸出白球, 求 X 的分布列; 摸出红球.

(2)从中任意摸出两个球,用“X=0”表示两个球全是白 球,用“X=1”表示两个球不全是白球,求 X 的分布列.

[解析]

(1)X 的分布列如下表: X P 0 3 7 1 4 7

(2)X 的分布列如下表: X P 0 1 7 1 6 7

引例:在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件 ,求取到 的次品数 X 的分布列.

解 :∵ X 的可能取值为 0,1,2,3. k 3? k C5 C95 又∵ P ( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2, 3) 3 C100 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 0 3 1 2 2 1 3 0 P C5 C5 C95 C 95 C5 C 95 C5 C 95 3 3 3 3 C100 C100 C100 C100

一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件, 其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的概率为
k n? k CM CN ?M P( X ? k ) ? ( k ? 0,1, 2, n CN

, m)

其中 m ? min ? M , n? ,且 n≤N, M ≤N, n, M, N ? N* . 称随机变量 X 的分布列为超几何分布列 ,

X P

0
-0 0 n CMCN -M Cn N

1
-1 1 n CMCN-M Cn N

… …

m
-m m n CMC N-M Cn N

且称随机变量 X 服从超几何分布,记作 X~H(n,M,N) 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n

例 3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,

在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球,这 些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出 5 个球.至少摸到 3 个红球就中奖, 求中奖的概率.
解:设摸出红球的个数为 X, 则 X 服从超几何分 布,其中 N ? 30, M ? 10, n ? 5 , 于是由超几何分布 模型得中奖的概率 P( X ≥ 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5)
3 2 4 1 5 0 C10 C20 C10 C20 C10 C20 ? ? ? 5 5 5 C30 C30 C30

≈0.191

练习: 1.从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ? 个红球,求 ? 的分布列.

解:设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超 几何分布,其中 N ? 5, M ? 3, n ? 2 , ∴ X 的可能取值为 0,1,2. k 2? k C3 C2 ∴ P( X ? k ) ? ( k ? 0,1, 2) 2 C5 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 P 1 3 3 10 5 10

练习: 2.设袋中有 N 个球,其中有 M 个红球, N ? M 个黑球,从中任取 n 个球,问恰有 k 个红球的概率是多少?

3.盒中有 4 个白球,5 个红球,从中任取 3 个球,则抽出 1 个白球 和 2 个红球的概率是( ) 37 17 10 17 (A) (B) (C) (D) 42 42 21 21

设摸出的红球的个数为 X k n? k CM CN ?M 则 P( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2 , m), m ? min ? M , n? n CN

C

4.(课本第 50 页练习 3)从一副不含大小王的 52 张扑克牌中任 意抽出 5 张,至少有 3 张 A 的概率是_____.

例 4:在一次购物活动中,假设某 10 张券中有一等奖
券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二等奖券 3 张,每张可获 价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖,某顾客从此 10 张中任 取 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的概率分布列.

[分析]

由题目可获取以下主要信息: ①给出奖券的获奖价

值;②任取 2 张奖券. 解答本题可先利用对立事件求出顾客中奖的概率, 再分析 X 的所有可能取值,明确 X 取各个值的事件,利用组合及公式 P m = n 进行计算求解.
[解析]
2 C0 15 2 4C6 (1)P=1- 2 =1- = , C10 45 3

2 即顾客中奖的概率为 . 3

(2)X 的所有可能值为 0,10,20,50,60.
0 2 1 1 C4 C6 1 C3 C6 2 P(X=0)= C2 =3,P(X=10)= C2 =5, 10 10 2 1 C3 1 C1 2 1C6 P(X=20)=C2 =15,P(X=50)= C2 =15, 10 10 1 1 C1 C3 1 P(X=60)= 2 = ,故 X 的分布列为: C10 15

X P

0 1 3

10 2 5

20 1 15

50 2 15

60 1 15

练习:
(2012· 浙江理, 19)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球, 且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现 从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记 随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和.求 X 的分布列.
[解析] 由题意得 X 取 3,4,5,6,且 C3 5 5 P(X=3)= 3= ; C9 42
2 C1 C5 10 4· P(X=4)= 3 = ; C9 21

2 1 C4 · C5 5 P(X=5)= 3 = ; C9 14 3 C4 1 P(X=6)= 3= . C9 21

所以 X 的分布列为 X P 3 5 42 4 10 21 5 5 14 6 1 21


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