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3.1空间向量及其运算 课件(人教A版选修2-1)


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3.1
3.1.1 3.1.2

空间向量及其运算
空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算
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●三维目标 1.知识与技能 理解空间向量的概念,会用图形说明空间向量的线性运 算及其运算律,初步应用空间向量的线性运算解决简单的立 体几何问题.
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空间向量的概念

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【问题导思】 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量 → → → OA,OB,OC,它们和以前所学的向量有何不同? → → → 【提示】 OA,OB,OC是不同在一个平面内的向量,

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而我们以前所学的向量都在同一平面内.

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名称 空间向 量 单位向 量 相等向 量 相反向 量
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定义

大小 和_______ 方向 的量叫做 在空间中,具有_____
空间向量,向量的大小叫做向量的 长度(模) __________ 长度或模为____ 1 的向量

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长度为0 的向量 零向量 ________ 相同 相等 的向量 方向________ 且模_________ 方向 相反且________ 长度 相等的向量 ________

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空间向量的线性运算

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【问题导思】 1.平面向量的加、减法满足怎样的运算法则? 【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边 形法则,减法满足三角形法则.

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2.平面向量中,数乘向量怎样定义的?

【提示】

平面中,实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是一

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个向量,称为向量的数乘;当 λ>0 时, λa 与 a 方向相同, 当 λ<0 时,λa 与 a 方向相反,λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍.
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1.(1)空间向量的加、减法运算(如图 3-1-1)

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图 3-1-1 → → → → → → OB=OA+AB=a+b;CA=OA-OC=a-b. (2)运算律:①a+b=b+a; ②(a+b)+c=a+(b+c).
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2.空间向量的数乘运算 (1)定义:实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个 向量 ,称为向量的数乘运算. _______ (2)运算律:①λ(a+b)=λa+λb;②λ(μa)=(λμ)a.

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共线向量与共面向量

1.共线向量 (1) 定 义 : 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互相平行或重合 共线向量 或平行向量; ______________,则这些向量叫做__________ (2)共线向量定理:对于空间任意两个向量 a,b(b≠0),

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a=λb a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__________.

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2.共面向量

同一个平面 的向量叫做共面向量. (1)定义:平行于_____________
(2)共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x, y), p=x a+y b 使____________. 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 → → → 序实数对(x, y), 使_______________ 或对空间任一定点 O, AP=xAB+yAC ; → → → → 有OP=OA+xAB+yAC. 推论

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空间向量的有关概念
给出下列命题: ①零向量没有确定的方向; → → ②在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AC=A1C1; ③若向量 a 与向量 b 的模相等,则 a,b 的方向相同或 相反; → → → ④在四边形 ABCD 中,必有AB+AD=AC. 其中正确命题的序号是________.
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【思路探究】 (1)空间向量中,零向量是怎样定义的? (2)怎样判断两个向量相等?(3)四边形 ABCD 满足什么条件 → → → 时,才有AB+AD=AC?

→ → 【自主解答】 ①正确;②正确,因为AC与A1C1的大小 和方向均相同;③|a|=|b|,不能确定其方向,所以 a 与 b 的 方向不能确定;④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时, → → → 才有AB+AD=AC. 综上可知,正确命题为①②. 【答案】 ①②

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1.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同. 2.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向 量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决. 3.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任 何向量都共线,这一点说明了共线向量不具备传递性.

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下列命题是假命题的为________. (1)空间向量中的两个单位向量必相等; (2)若空间向量满足 a∥b,b∥c,则 a∥c; (3)空间向量 a、b 满足 a=b,则|a|=|b|; (4)若空间向量 a,b,c 满足 a=b,b=c,则 a=c.
【解析】 (1)单位向量模相等,方向不一定相同,故两 单位向量不一定相等;(2)若 b=0,则结论不成立;(3)正确; (4)正确,相等向量满足传递性.
【答案】 (1)(2)

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作业本P56 7 ,14

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图 3-1-3 如图 3-1 -3 所示,已知空间四边形 OABC,M ,N 分别是对边 OA , BC 的中点, 点 G 在 MN 上, 且 MG=2GN , → → → → 设OA =a,OB =b,OC=c,试用 a, b,c 表示向量OG.
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→ → → 1→ 2 → 【解】 OG=OM+MG= OA+ MN 2 3 1→ 2 → → → 1→ 2 1→ → → = OA+ (MA+AB+BN)= OA+ ( OA+OB-OA+ 2 3 2 32 1→ BC) 2 1→ 2 → 1→ 1 → → = OA+ [OB- OA+ (OC-OB)] 2 3 2 2 1→ 1→ 1→ 1 1 1 = OA+ OB+ OC= a+ b+ c. 6 3 3 6 3 3

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向量共面问题

已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的 → 1→ 1→ 1→ → 任一点 O,若点 M 满足OM= OA+ OB+ OC.(1)判断MA, 3 3 3 → → MB,MC三个向量是否共面;(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.

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【思路探究】 → yMC?

→ → (1)是否存在实数 x、y,使MA=xMB+

(2)如何证明四点共面?

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【自主解答】

如图:

→ → → → (1)由已知,得OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC). → → → → → ∴MA=BM+CM=-MB-MC. → → → ∴向量MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知,向量MA,MB,MC共面,表面三个向量的 有向线段又过同一点 M, ∴M,A,B,C 四点共面.∴点 M 在平面 ABC 内.
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1.证明空间三个向量共面,常用如下方法: ①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线 性组合,即若 a=xb+yc,则向量 a、b、c 共面; ②寻找平面 α,证明这些向量与平面 α 平行.

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2.对空间四点 P、M、A、B 可通过证明下列结论成立来 证明四点共面: → → → ①MP=xMA+yMB; → → → → ②对空间任一点 O,OP=OM+xMA+yMB; → → → → ③对空间任一点 O, OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1); → → → → → → ④PM∥AB(或PA∥MB,或PB∥AM).

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如图 3-1-6,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分

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图 3-1-6 → → → 别为 BB1 和 A1D1 的中点,证明:向量A1B、B1C、EF共 面.

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→ → → → 1→ → 1 → 【证明】 EF=EB+BA1+A1F= B1B-A1B+ A1D1 2 2 1 → → → = (B1B+BC)-A1B 2 1→ → = B1C-A1B, 2 → → → 由向量共面的充要条件知,A1B、B1C、EF是共面向量.

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【错解】

∵M,N 分别是 AC,BF 的中点,又四边形

ABCD,ABEF 都是平行四边形, → → → → 1→ → 1→ ∴MN=MA+AF+FN= CA+AF+ FB, 2 2 → → → → → 又∵MN=MC+CE+EB+BN 1→ → → 1→ =- CA+CE-AF- FB, 2 2 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴ CA+AF+ FB=- CA+CE-AF- FB, 2 2 2 2 → → → → → → → ∴CE=CA+2AF+FB=2(MA+AF+FN), → → → → ∴CE=2MN,∴CE∥MN,即 CE∥MN.
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1.空间向量的线性运算法则与平面向量相同,在空 间向量的加法运算中,如下事实常帮助我们简化运算: (1)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量,求若干个向量的和, 可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和; (2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它 们的和为 0. 2.利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三 个向量共面问题,进而解决几何中的点共线、点共面、 线面平行等问题.

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1.下列说法正确的是( A.若|a|<|b|,则 a<b

)

B.若 a、b 为相反向量,则 a+b=0 C.空间内两平行向量相等 → → → D.四边形 ABCD 中,AB-AD=DB 【解析】 向量的模有大小,但向量不能比较大小,A

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错;相反向量的和为 0,不是 0,B 错;相等向量满足模相 等,方向相同两个条件,平行向量不一定具备,C 错;D 正 确.
【答案】
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D

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2.对于空间中任意三个向量 a,b,2a-b,它们一定是 ( ) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面向量
【解析】 【答案】 由共面向量定理易得答案 A. A

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3.(a+2b)-3(a-b)=________. 【解析】 【答案】 原式=a+2b-3a+3b=-2a+5b. -2a+5b

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4.如图 3-1-8,在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,M 为 AC′的中点.化简下列各式.

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图 3-1-8 → → (1)AA′-CB; → → → (2)AB′+B′C′+C′D′; 1→ 1→ 1 → (3) AD+ AB- A′A. 2 2 2
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→ → → → → → → 【解】 (1)AA′-CB=AA′+BC=AA′+A′D′=AD′; → → → → (2)AB′+B′C′+C′D′=AD′; 1→ 1→ 1 → 1→ 1→ 1 → 1 → → (3) AD+ AB- A′A = AD+ AB+ AA′= (AD +AB 2 2 2 2 2 2 2 1→ → → +AA′)= AC′=AM. 2

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