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ch09


同学们好
如果你老是在你的舒服区里头打 转,你就永远无法扩大你的视野,永 远无法学到新的东西。只有你跨出舒 服区以后,你才能使自己人生的圆圈 变大,你才能挑战自己的心灵,使之 变得更加坚强,最终把自己塑造成一 个更优秀的人。 --(美 布伦达. --(美)布伦达.乌尔巴奈克

上讲内容
一.静电场环路定理: 静电场环路定理:



L

r r E ? dl = 0

静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了 静电场强沿任意闭合路径的线积分为零. 静电场是保守力场,是有势场. 静电场是保守力场,是有势场. 二.电势、电势能、电势差 电势、电势能、
零势点

电势能

W a = q0

r r ∫ E ? dl
a





r r U a = ∫ E ? dl
零势点

电势差

r r U ab = U a ? U b = ∫ E ? dl
a

a

b

电势的计算(两种基本方法) 三. 电势的计算(两种基本方法) 1.场强积分法(由定义求) 1.场强积分法(由定义求) 场强积分法 四.典型带电体的电势分布 场中的电势分布: 1. 点电荷 q 场中的电势分布: U = 2. 均匀带电球面场中电势分布 2. 叠加法

q 4πε 0 r

U内 =

q 4πε 0 R

= 恒量

U外

1 = ∝ 4πε 0 r r

q

3.均匀带电圆环轴线上的电势分布: 3.均匀带电圆环轴线上的电势分布: 均匀带电圆环轴线上的电势分布

U =

q 4πε 0 ( R + x )
2 2
1 2

第五节 电场强度与电势的关系
等势面和电场线 一. 等势面和电场线 1. 等势面 电场中电势相等的点组成的面 叫等势面.规定相邻等势面之间的 叫等势面.规定相邻等势面之间的 电势差相等. 电势差相等.

?Uab = ?Ubc = ?Ucd
等势面的疏密反映了电场的强弱
+q

2. 电场线与等势面的关系 1) 电场线处处垂直于等势面 在等势面上任取两点P1、P2,则
P2

等势 r r ∫ E ? d l = U P1 ? U P2

=0

P1

2) 电力线指向电势降的方向

二. 电场强度与电势的关系 在第六章第二节保守力与势能的关系,得到结论: 在第六章第二节保守力与势能的关系,得到结论: 保守力等于其相关势能函数梯度的负值。 保守力等于其相关势能函数梯度的负值。 即:

v v v F = q0 E F = ??W v r W E = ?? = ??U E = ??U q0
结论:电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度 结论: 的负值. 的负值.

矢量式:

?U r ?U r ?U r ?U = i+ j+ k ?x ?y ?z

r r r r ?U r ?U r ?U r E = Exi + Ey j + Ez k = ?( i+ j+ k) ?x ?y ?z

练习 已知:U-x曲线如图。求: E-x曲线 已知: 曲线如图。 曲线如图 曲线

U

o

x
?U E=? ?x

E

o

x

练习 求均匀带电圆环轴线上的电势分布 解: dq r
R O
x P

r E
x

U = =

∫ dU = ∫

q

dq 4πε 0 r
2
1 2

0

q 4πε 0 ( R + x )
2

可进一步由电势分布求电场强度分布

r dU r E=? i = 2 2 dx 4πε 0 R + x

(

r qxi

)

32

r 习题课: 习题课:E , U 的计算


高斯定理




电 势
环路定理

电场强度
计算

重点

由叠加 原理求

由高斯 定理求

由场强积 分法求

由叠加 原理求

r 由 E 与 U 的关系求

一、用叠加原理求场强

v v 点电荷系 E = ∑ Ei
i

v v 连续分布带电体 E = ∫ d E
r E= r qr 4πε0r3

典型静电场 点电荷: 点电荷:

λ 无限长均匀带电直线: 无限长均匀带电直线: E = 2πε0r
r E内 = 0 , 均匀带电球面: 均匀带电球面: σ 无限大均匀带电平面: 无限大均匀带电平面: E = 2ε0

r r 1 qxi 均匀带电圆环轴线上: 均匀带电圆环轴线上: E = 2 2 32 4πε0 (R + x )

(⊥ 带电平面) 带电平面)

(⊥ 带电直线) 带电直线) r r qr E外 = 4πε0r3

练习 在真空中有两块相距为 (d << S )的平行金属 在真空中有两块相距为d 的平行金属 面积均为S, 分别带有电量+q和 板,面积均为 分别带有电量 和-q, 判断下列说法 是否正确? 是否正确?
q2 根据库仑定律,两板之间的相互作用力为 F 两板之间的相互作用力为: ①根据库仑定律 两板之间的相互作用力为: = ; 4πε0d 2

q σ 因为F=qE,而两板间场强 E = ,其中 σ = , ② 因为 , S ε0

所以

q2 F= ε0 S



③ 由于一个板上的电荷在另一个板处产生的电场为
σ q2 ,所以 F = qE ′ = E′ = 2ε 0 2ε 0 S

例1.一段半径为 的细圆弧,对圆心的张角为θ0,其 一段半径为a的细圆弧 一段半径为 的细圆弧, 上均匀分布有正电荷 q,如图所示,试以 、q、θ0表 ,如图所示,试以a、 、 示出圆心O处的电场强度。 示出圆心 处的电场强度。 处的电场强度 分析:不具有球、 分析:不具有球、 面对称性、 柱、面对称性、 不用高斯定理
+
q + ++ + + ++

+

叠加原理

θ0

a

v 步骤: 由叠加原理求 E步骤:

o

由已知的点电荷或典型带电体场强公式写出 v d q 的场强 d E,并将其分解

r r r ?Ex = ∫ dEx ? d q ? dE (dE x , dE y ) ? E = ∫ dE ? ?E y = ∫ dE y ?

y
q + + + + dq + ++ + +

建立如图坐标系
q ? dl ①取电荷元 dq = aθ0

θ0
dEx

θ

a



o
dEy

x

②dq在圆心处产生的场强 在圆心处产生的场强 点电荷场强公式) 为(点电荷场强公式)

v dE

dq q q dE = = dl = dθ 2 3 2 4πε 0a 4πε 0a θ 0 4πε 0a θ 0

v dE x = ?dE sin θ 将 d E 分解 dE y = ?dE cos θ

③对称性分析可知
Ex = ∫ dEx = 0

E y = ∫ dE y = ∫

θ0 2

?θ 0

q ? cos θdθ 2 2 4πε 0 a θ 0

θ0 q =? sin 2 2πε 0 a θ 0 2
v v E = Ey j = ?

θ0 v q sin j 2 2πε 0 a θ0 2

例2. 求均匀带电半球面 σ已知 球心处电场。 求均匀带电半球面(R, 已知) 球心处电场。

y
R

思考: 用哪种方法求解? 思考 (1) 用哪种方法求解

o

x

σ
dl

r r 叠加法: 叠加法: dq ? dE ? ∫ dE
(2)

dq = ?

y
将半球面视为由许多圆环拼成。 将半球面视为由许多圆环拼成。

r θ dE
o

R

x x
x

dq = σ ? dS = σ ? 2πydx
╳ 对否? 对否?

dq = σ ? 2πydl = σ ? 2πR cosθ ? Rdθ √

y
r θ dE
o
R
dl

r (3) dE 的大小,方向? 的大小,方向?

x x
x

xdq dE = 2 2 32 4πε0 ( y + x )

沿 ? x 方向 。 (4) 能不能由 dE 直接积分? 积分限如何确定? 直接积分? 积分限如何确定?

R sin θdq σ cosθ sin θ = = dθ 3 4πε0 R 2ε0

r 因为各圆环在O点处 同向, 可直接积分。 因为各圆环在 点处 dE 同向 可直接积分。
π
2

E0 = ∫ dE = ∫

0

σ cosθ sin θ σ 沿 ? x 方向。 方向。 dθ = 2ε0 4ε0

思考:带电全球面?积分限?球心处电场如何? 思考:带电全球面?积分限?球心处电场如何?

总结:叠加法求场强 总结: 带电圆盘、带电圆锥面、 带电圆盘、带电圆锥面、半球面 1、带电圆盘R、 σ 、带电圆盘 、 带电圆环的电量: 带电圆环的电量

o

r
O

dr

dq = σ ? 2π r ? dr
2、带电圆锥面,侧线长L、底半径 、 、带电圆锥面,侧线长 、底半径R、 面密度 σ 带电圆环的电量: 带电圆环的电量:

dq = σ ? 2π r ? dr dq = σ ? 2π r ? dx dq = σ ? 2π r ? dl √

l rx dl dx

R

x

教材P.227 例6 教材

3、带电半球面(R, σ) 、带电半球面( ) 带电圆环的电量: 带电圆环的电量:
r θ R


dq = σ ? 2π r ? dl
= σ ? 2π R sin θ ? Rdθ

dl

二、用高斯定理求场强

高斯定理

v v 1 ∫ E ? dS =
S

ε0

∑q内

注意: 注意: 高斯面的选择是任意 任意的 但所求电场的点在高斯面上) 1、高斯面的选择是任意的(但所求电场的点在高斯面上) 封闭曲面 原则: 原则: 使待求的E能移到高斯定理的积分号外 使待求的 能移到高斯定理的积分号外 常见情况有三类: 常见情况有三类:
电荷分布 球对称 柱对称 面对称 选同心球面 选同轴圆柱面 选上下底与带电面平行的柱面

高斯定理

v v 1 ∫ E ? dS =
S

ε0

∑q内

v 2、高斯定理中的 E 是总电场 高斯定理中的
3、等式右端的 q内 是高斯面内所有电荷的代数和 所有电荷的代数和 ∑ 高斯面内所有电荷的

练习 有两个电偶极子,一个位于封闭曲面 内部, 有两个电偶极子,一个位于封闭曲面S内部 内部, 另一个位于S外部 外部。 另一个位于 外部。 内的电偶极子的正、 ① 使S内的电偶极子的正、负电荷接触而中和,通过 内的电偶极子的正 负电荷接触而中和, S的电通量是否变化?空间各点场强是否变化?S上 的电通量是否变化? 的电通量是否变化 空间各点场强是否变化? 上 各点场强是否变化? 各点场强是否变化? ② 若让 面外的电偶极子的正、负电荷中和,上面各 若让S面外的电偶极子的正 负电荷中和, 面外的电偶极子的正、 问的结果又如何? 问的结果又如何?

解答:通过 的电通量不变 的电通量不变。 解答:通过S的电通量不变。原来空间各点的电场 强度和S上各点的场强均要发生变化。 强度和 上各点的场强均要发生变化。 上各点的场强均要发生变化

例1. 在半径 1,体电荷密度ρ 的均匀带电球体内挖 在半径R 去一个半径R 的球形空腔。空腔中心O 去一个半径 2的球形空腔。空腔中心 2与带电球体 中心O 相距为a 中心 1 相距为 [(R2+ a )< R1], 求空腔内任一点电场 。 r 思考: 思考: (1) 选用何种方法求解? 选用何种方法求解? 失去球对称性, 挖去空腔 —— 失去球对称性, 能否恢复对称性?补偿法! 能否恢复对称性?补偿法!

rE rP r 1 r r ρ O a O22 R 1
2
2

R1

r E1

r 均匀带电实心球体在P点的场强 半径 R 1均匀带电实心球体在 点的场强 E1 r 均匀带电实心球体在P点的场强 半径 R 2均匀带电实心球体在 点的场强 E2 r r r r r E 均可由高斯定理求出。 均可由高斯定理求出。 所求场强 EP = E1 ? E2 而 E1、 2

r r (2) 作高斯面 S1 , S2 求 E1 , E2
r r r Pr 1 r 2 ρ O a O2 R 1
2

.

R1

r E2

r E1

S1
R1

S2

r r 1 4 3 ρr 2 E1 ? 4πr = ρ ? πr E1 = 1 1 1 3ε0 ε0 3 r ρr2 1 4 3 r E2 ? 4πr22 = ρ ? πr2 E2 = 3ε0 ε0 3

ρ

r a

r E
P
R O2
2

r r r r ρ r r ρa EP = E1 ? E2 = (r1 ? r2 ) = 3ε0 3ε0
r 腔内为平行于 O O = a 1 2
的均匀电场! 的均匀电场!

O1

(3) 思考:请总结获得均匀电场的方法 思考:
R1

ρ

r a

r E
P

σ
r E

O1

O R2 2

σ E= 2ε 0


σ E= ε0



……

三 . U 的计算

场强积分法 叠加法

路径的选取; 路径的选取; 分段积分

1. 场强积分法 : 注意: 注意:

r r Ua = ∫ E ? dl
零势点 a

(1) 积分与路径无关,可依题意选最简便的积分路径。 积分与路径无关,可依题意选最简便的积分路径。

r r (2) E 为路径上各点总场, 表达式不同, 为路径上各点总场,若各区域 E 表达式不同,
应分段积分。 应分段积分。 (3) 积分值与零势点选取有关。选取原则: 积分值与零势点选取有关。选取原则: 电荷有限分布选 U∞ = 0 电荷无限分布选 U有限处 = 0

思路: 2. 叠加法 思路: dq → dU →U = dU 注意: 注意:应用典型带电体的电势公式 选取相同的零势点。 选取相同的零势点。 典型带电体的电势 点电荷: 点电荷: 均匀带电圆环 轴线上: 轴线上:



U=

q 4πε0r

q U= 2 2 12 4πε0 (R + x )
q 4πε0R
U外 = q 4πε0r

均匀带电球面: 均匀带电球面: U内 =

例1. 真空中一半径为 的球面均匀带电 ,在球心 处 真空中一半径为R的球面均匀带电 的球面均匀带电Q,在球心O处 有一带电量为q的点电荷 如图所示。 的点电荷, 有一带电量为 的点电荷,如图所示。设无穷远处为电 势零点,求球内离球心O距离为 距离为r的 点处电势 点处电势。 势零点,求球内离球心 距离为 的P点处电势。 解: (1) 场强积分法 由高斯定理得电场分布为
? ? 4 πε r 2 ? 0 E = ? ? q + Q ? 4 πε 0 r 2 ? q (r < R ) (r > R )
Q

r O q

P
R

根据电势的定义, 点的电势为 根据电势的定义 P点的电势为 v R q ∞ v ∞ q +Q 1 q Q dr + ∫ dr = ( + ) Up = ∫ E ? dl = ∫ 2 2 p r 4πε r R 4πε r 4πε0 r R 0 0

(2) 利用典型带电体电势叠加法
Q

两个带电体: 两个带电体: 点电荷, 点电荷 均匀带电球面 点电荷: 点电荷:
U= q 4πε0r
Q 4πε0R

P r
O q
R

均匀带电球面: U内 = 均匀带电球面:

q Q U p = U1 +U2 = + = ( + ) 4πε0r 4πε0 R 4πε0 r R
如果P点在球外? 如果 点在球外? 点在球外

q

Q

1

q+Q UP = 4πε 0 r

例2. 环路定理的应用 证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。 证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。

r E

a d c

静电场特性: 静电场特性:

b

有源 保守

高斯定理 环路定理

q
作如图扇形环路abcd 作如图扇形环路

r r Q ab , cd 上 E ⊥ dl
∩ ∩





b

a

r r dr r E ? dl = ∫ E ? dl = 0
c

r E

a d c

b

bc 又 da 、 上路径相等 r 大小不等。 而 E 大小不等。
(电力线密度不同) 电力线密度不同)

q


a b

c

b

r r r a r E ? dl < ∫ E ? dl
d

r r br r cr r dr r ar r ∴ ∫LE ? d l = ∫ E ? dl + ∫ E ? dl + ∫ E ? dl + ∫ E ? dl ≠ 0
c d

如图所示电场不是静电场。 违反静电场环路定理 , 如图所示电场不是静电场。

练习 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度。 的带电半圆环环心处的电场强度。 上半部带正电,下半部带负电,线密度为 λ 上半部带正电,下半部带负电, + λ+
R

+

y

o

x

-

-

-

练习: 练习: 9.5, 9.9,9.12,9.23 .5, 9.9,9.12, 预习: 预习: 第六节


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