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12.5直线与圆锥曲线的位置关系


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12.5 直线与圆锥曲线的位置关系
【知识网络】 1.直线与圆锥曲线之间的位置关系及其判定方法. 2.一元二次方程根的判别式及韦达定理的应用. 3.中点问题,弦长问题的求解. 4.进一步应用数形结合思想. 【典型例题】 [例 1](1)过点(2,4)作直线与抛物线 y 2 ? 8

x 有且只有一个公共点,这样的直线有( ) A.一条 B.两条 C.三条 D.四条

(2)直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 A. ? ,5? ? ?5,??? 1

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( ) 5 m
D. (1,5) )

B. (0,5) C. ?1,???

(3)以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点,则此圆锥曲线是( A 不能确定 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线

(4)斜率为2的直线与圆锥曲线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点,若弦长 AB ? 2 5 ,则

y1 ? y2 ?
2


2

(5)双曲线 x ? y ? 1 的左焦点为F,点P为左支下半支上的动点(异于顶点) ,则直线 PF的斜率的范围是 .

x2 y2 ? ? 1 内,求通过点M(1,1)且被这点平分的弦AB所在直线的方 [例 2] 在椭圆 16 4
程.

[例 3] 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆,它的离心率为 于两点M、N,且OM⊥ON.求椭圆的方程.

3 ,与直线 x+y-1=0 相交 2

1

[例 4] 如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=2AC,A、B、C 都是椭圆上的点,其中 A 是椭 圆的左顶点,直线 BC 经过椭圆中心(即原点 O) . (1)求证:无论 AC 的长取何正实数,椭圆的离心率恒为定值,并求出该 定值; (2)若 PQ 是椭圆的一条弦,PQ∥AB,求证∠PCQ 的平分线垂直于 AO.

【课内练习】 1. 平面内有一线段AB, 其长为 3 3 , 动点P满足 PA ? PB ? 3 , O为AB的中点, OP 则 的最小值为 A. ( ) B.1
2 2

3 2

C.2

D.3

2.已知方程 ax ? by ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0 ,它们所表示的曲 线可能是 ( )









x2 y2 ? ? 1 右支上一点,F 为该双曲线的右焦点,连 AF 交双曲线于 B, 3.设 A 为双曲线 16 9
过 B 作直线 BC 垂直于双曲线的右准线,垂足为 C,则直线 AC 必过定点( )

2

A. (

41 18 ,0 ) B. ( ,0 ) 10 5

C. (4,0)

D. (

22 ,0 ) 5
( )

4.若直线 y ? kx ? 1 与椭圆 A. a ? ?0,1?, k ? ? ?

x2 y2 ? ? 1 有且只有一公共点,那么 4 a
B. a ? ?0,1?, k ? ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2? ? 1 1? , ? 2 2? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

C. a ? ?0,1?, k ? ??

D. a ? ?0,1?, k ? ??

? 1 1? , ? 2 2? ?

5.过原点的直线 l,如果它与双曲线 是 .
2

y2 x2 ? ? 1 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围 3 4

6.直线 y=x-3 与抛物线 y =4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足 分别为 P,Q,则梯形 APQB 的面积是
2

. .

7.若曲线 y =|x|+1 与直线 y=kx+b 没有公共点,则 k,b 应满足的条件是

x2 y2 8.已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 l:y a b
=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (1)证明:λ =1-e2; (2)若 ? ? .

3 ,△PF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程. 4

9.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) 。

(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且

OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

3

10.抛物线 C 的方程为 y ? ax2 (a ? 0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为 k1,k2 的 两 条 直 线 分 别 交 抛 物 线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2) 两 点 (P,A,B 三 点 互 不 相 同 ) , 且 满 足

k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) .
(1)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (2)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (3)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值 范围..

12.5 直线与圆锥曲线的位置关系 A组
1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 5,则这样的直线( A.有且仅有一条 ) B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在 ( )

2.过点(1,0)且与双曲线 x2-y2=1 只有一个公共点的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

x2 y2 3. 直线 l 是双曲线 2 ? 2 =1(a>0, b>0)的右准线, 以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆, a b
被直线 l 分成弧长为 2∶1 的两段圆弧,则该双曲线的离心率是( ) A. 3 B. 5 C.

6 2

D. 2

2 4. 过抛物线 y ? 4?x ? 1? 的焦点作倾斜角为 ? 的直线交抛物线于A. B两点, AB ? 若

则? = . 2 2 5.双曲线 2x -3y =6 的一条不过原点的弦 AB 恰被直线 y=2x 平分,则 AB 所在直线的斜率 是 . 6.设 A、B 是椭圆 3x ? y ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的
2 2

16 , 3

垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点.确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程.

4

7.讨论直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 的公共点的个数.

8.已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭 圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线。 (1)求椭圆的离心率;

??? ??? ? ?

?

(2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值。

???? ?

??? ?

??? ?

B组
1.抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P ?x1 , y1 ?, P2 ?x2 , y2 ? 两点,若 y1 ? y 2 ? 6 , 1 则 P P2 的值为 1 A.5 B.6 ( ) C.8 D.10

2.点 P(-3,1)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,-5)的光线,经 a 2 b2
) D.

直线 y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( A .

3 3

B .

1 3

C.

2 2

1 2

3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0),直线y ? x ? 1与其相交于M、N 两点, MN 中点的横坐标为 ?

2 , 则此双曲线的方程是 ( ) 3

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 4 3 5 2 2 5
5

4.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ?
2

y2 ? 1 的交点为 A、 4


B,点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 A.1 B.2

1 的点 P 的个数为( 2
C.3 D.4

5.直线 y=x+3 与 6.椭圆

y2 x | x | ? ? 1的交点个数是 9 4



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与过点 A(2,0) ,B(0,1)的直线有且只有一个公共点, a 2 b2

且椭圆的离心率 e=

3 ,求椭圆的方程. 2

??? ? y2 7.P 、Q 、M 、 N 四点都在椭圆 x2 ? ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 2 ???? ? ???? ??? ? ??? ???? ? ? 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.

8.如图,设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作 抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.

6

12.5 直线与圆锥曲线的位置关系
【典型例题】 例 1 (1)B.提示:注意直线与抛物线的对称轴平行的情况. (2)A.提示:直线恒过点(0,1) ,只要该点在椭圆内. (3)B.提示:联想到定点的距离与到定直线的距离之比是常数的点的轨迹是某一中圆锥曲 线,常数的大小决定曲线的类别. (4)4.提示:用弦长公式. (5) (-∞,0)∪(1,+∞) .提示:数形结合. 例 2、解法一 设所求直线的方程为 y ? 1 ? k ?x ? 1? , 由

y ? 1 ? k ?x ? 1?
x2 y2 ? ?1 16 4
消去 y 得

?4k

2

? 1 x 2 ? 8 k 2 ? k x ? 4k 2 ? 8k ? 12 ? 0

?

?

?

由已知得

? ? 64 k 2 ? k ? 4 4k 2 ? 1 4k 2 ? 8k ? 12 ? 0
x1 ? x2 8 k 2 ? k ? ?1 2 2 4k 2 ? 1

?

?

2

?

??

?

? ?

? ?

解得 k ? ?

1 . 4 1 ?x ? 1? 即 x+4y-5=0. 4

因此,所要求的直线方程为 y ? 1 ? ?

解法二:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,显然 x1 ? x 2 ,因为 A.B 都在椭圆上,所以有

x1 y ? 1 ?1 16 4 x2 y ? 2 ?1 16 4
x1 ? x2 ?1 2 y1 ? y 2 ?1 2
2 2

2

2









7

①-②得

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ?
16 ? 4

?0



将①,②代入⑤得

y1 ? y 2 1 1 ? ? 即直线AB的斜率为 k ? ? . 4 x1 ? x2 4
1 ?x ? 1? 即 x+4y-5=0. 4

因此,所要求的直线方程为 y ? 1 ? ?

x2 y2 例 3、设中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b
∵离心率 e=

3 ∴a=2b 2

∴椭圆的方程可化为 x 2 ? 4 y 2 ? 4b 2 设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? ,由于点M、N都在直线 x+y-1=0 上, 因此 y1 ? 1 ? x1 , y2 ? 1 ? x2 , y1 y 2 = (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1 ? ?x1 ? x2 ? ? x1 x2 ∵OM⊥ON, ∴

y1 y 2 ? ? ?1 即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 x1 x 2

即 1 ? ?x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 0 将直线 x+y-1=0 与椭圆的方程 x ? 4 y ? 4b 联立消取 y,得
2 2 2

5x 2 ? 8x ? 4 ? 4b 2 ? 0
∵M、N是直线与椭圆的两交点 ∴ x1 ? x 2 ?

8 4 ? 4b 2 , x1 x 2 ? 代入 1 ? ?x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 0 得 5 5
解得 b ?
2

1?

8 4 ? 4b 2 ?2 ?0 5 5

5 5 2 ,∴ a ? 8 2

x2 y2 ? ? 1. ∴所要求的椭圆方程为 5 5 2 8
x2 y2 例 4、 (1)设椭圆方程为 2 + 2 = 1 ,则点 A 的坐标为(-a,0), a b

8

∵在△ABC 中,∠C=90°,BC=2AC 直线 BC 经过椭圆中心(即原点 O) ∴AC=OC △AOC 为等腰直角三角形,C(- 将 C 点坐标代入椭圆方程得 b2= a a a a ,- ) ,点 B 坐标为( , ) 2 2 2 2

1 2 2 2 2 6 a ,c = a ,离心率 e= 是定值. 3 3 3

(2)由(1)得直线 AB 的斜率为 k AB

a 1 1 ? 2 ? ,设直线 PQ 的方程为 y= x+m 3 3a 3 2

4 将直线 PQ 的方程代入椭圆方程化简得 x2+2xm+3m2-a2=0 3 由题知 PQ 存在,△>0 且 xP+xQ =- 6m 3 =- m 4 2 xP?xQ= 3 (3m2-a2) 4

k PC

a a 1 xP ? m ? 3 2 2? ? a a xP ? xP ? 2 2 yP ?

kQC

a a 1 xQ ? m ? 3 2 2? ? a a xQ ? xQ ? 2 2 yQ ?

1 a a 1 a a ( xP+m+ )(xQ+ )+( xQ+m+ )(xP+ ) 3 2 2 3 2 2 = 2 a a a x x + ( xP+xQ)+(m+ )( xP+xQ)+a(m+ ) 3 P Q 6 2 2

3m2-a2 ma 3m a a = - - (m+ ) +a(m+ ) 2 4 2 2 2 =0 ∴kPC 与 kQC 互为相反数。 ∴∠PCQ 的平分线垂直于 AO. 【课内练习】 1.A.提示:点 P 的轨迹是双曲线,取最小值时点 P 恰好是双曲线的顶点. 2.B.提示:注意 a,b 的取值符号. 3.A.提示:可以用特殊值方法,考虑 AB 与 x 轴垂直的情况. 1 4.A.提示:直线过定点(0,-1) ,a=1 符合题意,数形结合从变化趋势的角度看 k≠± . 2

3 3 )∪( ,+∞) .提示:数形结合. 2 2 6.48.提示:直接求交点坐标,求直角梯形的面积. 7.k=0,-1<b<1.提示:数形结合. 8. (1)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的
5. (-∞,-

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 2 坐标分别是 (? ,0), (0, a). ? x 由 得? y b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . a b ? ?a

9

所以点 M 的坐标是( ? c,

b2 ). a

由 AM ? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ?e ? c ? ? e ? 即? 2 ? b ? ?a ?a ?

解得? ? 1 ? e 2

证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标 分

a ( ? ,0), (0, a ). 设 M e a a ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ? , y 0 ) ? ? ( , a), e e
别 是 因为点 M 在椭圆上,所以









a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? y 0 ? ?a. ?

2 2 x0 y 0 ? ? 1, a2 b2

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? 2 ? 1, 所以 ? ? 1. a2 b e2 1 ? e2

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
(2)当 ? ?

解得 e 2 ? 1 ? ?

即? ? 1 ? e 2 .

3 1 时, c ? ,所以 a ? 2c. 2 4

由△MF1F2 的周长为 6,得 2a ? 2c ? 6.

所以 a ? 2, c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

9. (1)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0).

由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3
?1 ? 3k 2 ? 0, ?
2 2 2 ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. ?

(2)将 y ? kx ?

2代入

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ?
2 即k ?

1 且k 2 ? 1. 3

① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

10

xA ? xB ?

??? ??? ? ? 6 2k ?9 , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1


3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 于是 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
由①、②得

1 ? k 2 ? 1. 3

故 k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ? ( ,1). 3 3
1 ) ,准线方程为 4a

10. (1)由抛物线 C 的方程 y ? ax2 ( a ? 0 )得,焦点坐标为 (0,

y??

1 . 4a

( 2 ) 证 明 : 设 直 线 PA 的 方 程 为 y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) , 直 线 PB 的 方 程 为

y ? y 0 ? k 2 ( x ? x0 ) .
点 P( x0 , y0 ) 和点 A( x1 , y1 ) 的坐标是方程组 ?

? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 )? ① ? 的解.将②式代 2 ? y ? ax ?? ② ?

入①式得 ax2 ? k1 x ? k1 x0 ? y0 ? 0 ,于是 x1 ? x 0 ?

k1 k ,故 x1 ? 1 ? x 0 a a



又点 P( x0 , y0 ) 和点 B( x2 , y 2 ) 的坐标是方程组 ?

? y ? y0 ? k2 ( x ? x0 )? ④ ? 的解. 将⑤式 2 ? ? y ? ax      ⑤ ?
k2 k ,故 x2 ? 2 ? x0 . a a


代入④式得 ax2 ? k 2 x ? k 2 x0 ? y0 ? 0 .于是 x2 ? x0 ? 由已知得, k 2 ? ??k1 ,则 x 2 ? ?

?
a

k1 ? x 0 .

设点 M 的坐标为 ( xM , y M ) ,由 BM ? ? MA ,则 x M ?

???? ?

????

x 2 ? ?x1 . 1? ?

将③式和⑥式代入上式得 x M ? ∴线段 PM 的中点在 y 轴上.

? x0 ? ?x0 ? ? x0 ,即 xM ? x0 ? 0 . 1? ?

11

(3)因为点 P(1,?1) 在抛物线 y ? ax2 上,所以 a ? ?1 ,抛物线方程为 y ? ? x 2 . 由③式知 x1 ? ?k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 2 得 y1 ? ?(k1 ? 1) 2 . 将 ? ? 1 代入⑥式得 x2 ? k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 2 得 y2 ? ?(k 2 ? 1) 2 . 因此,直线 PA 、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、 B 的坐标为

A(?k1 ?1, ?k12 ? 2k1 ?1) , B(k1 ?1, ?k12 ? 2k1 ?1) .
于是 AP ? (k1 ? 2, k1 ? 2k1 ) , AB ? (2k1,4k1 ) ,
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? AP ? AB ? 2k1 (k1 ? 2) ? 4k1 (k12 ? 2k1) ? 2k1 (k1 ? 2)(2k1 ?1) .
因 ?PAB 为钝角且 P 、 A 、 B 三点互不相同,故必有 AP ? AB ? 0 .

??? ??? ? ?

1 ? k1 ? 0 .又点 A 的纵坐标 y1 满足 y1 ? ?(k1 ? 1)2 ,故 2 1 1 1 当 k1 ? ?2 时, y1 ? ?1;当 ? ? k1 ? 0 时, ?1 ? y1 ? ? .即 y1 ? (??, ?1) ? (?1, ? ) 2 4 4
求得 k 1 的取值范围是 k1 ? ?2 或 ?

12.5 直线与圆锥曲线的位置关系 A组
1.B.提示:用韦达定理 2.C.提示:数形结合. 3.D.提示:数形结合将几何图形的性质转化成 a,c 之间的关系. 4.

?
3



2? .提示:用韦达定理. 3

1 5. .提示:设直线方程,用韦达定理. 3 6.解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 3, 代入3x ? y ? ? ,整理得
2 2

(k 2 ? 3) x 2 ? 2k (k ? 3) x ? (k ? 3) 2 ? ? ? 0.



设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 , x2是方程①的两个不同的根,

? ? ? 4[? (k 2 ? 3) ? 3(k ? 3) 2 ] ? 0
且x1 ? x 2 ?



2k (k ? 3) .由N (1,3) 是线段 AB 的中点,得 k2 ?3

x1 ? x 2 ? 1,? k (k ? 3) ? k 2 ? 3. 2
解得 k=-1,代入②得, ? >12,即 ? 的取值范围是(12,+ ? ).

12

于是,直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0. 解法 2:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则有

?3x12 ? y12 ? ? , ? ? 3( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. ? 2 2 ?3x 2 ? y 2 ? ? ?
依题意, x1 ? x2 ,? k AB ? ?

3( x1 ? x2 ) . y1 ? y 2

? N (1,3)是AB的中点,? x1 ? x 2 ? 2, y1 ? y 2 ? 6, 从而k AB ? ?1. 又由N (1,3)在椭圆内 ? ? 3 ? 12 ? 3 2 ? 12. , ? ?的取值范围是 12,??). ( 直线AB的方程为y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0.
7.联列直线与双曲线方程

y ? kx ? 1 , x 2 ? y 2 ? 1

消去 y 得,

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0
2 当 1 ? k ? 0即k ? ?1 时, x ? ?1 .

当 1 ? k ? 0即k ? ?1 时, ? ? 4k 2 ? 8(1 ? k 2 ) ? 8 ? 4k 2 .
2

由? ? 0 得? 2 ? k ? 由? ? 0 得k ? ? 2 ;

2;

由 ? ? 0 得 k ? ? 2或k ?

2.

所以当 k ? ? 2 ,?1 ? ?? 1,1? ? 1, 2 时,直线 l 与双曲线C相交于两点; 当 k ? ? 2 时,直线 l 与双曲线C相切于一点; 当 k ? ?1 时,直线 l 与双曲线C相交于一点; 当 k ? ,?? ? 2 ? 线C相离. 8. (1)设椭圆方程为

?

?

?

?

?

? ?

2,?? 时,直线 l 与双曲线C没有公共点,直线 l 与双曲

?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0) a2 b2

则直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,代入

x2 y2 ? ? 1 ,化简得 a2 b2 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2b 2 ? 0 .

13

2 2 2 2 2 令 A( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) ,B ,则 x1 ? x2 ? 2a c 2 , x1 x2 ? a c 2 ? a 2b . a2 ? b a ?b

由 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB 与 a 共线,得

??? ??? ? ?

?

??? ??? ? ?

?

3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, 又 y1 ? x1 ? c, y 2 ? x2 ? c , 3 ? 3( x1 ? x 2 ? 2c) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0, ? x1 ? x 2 ? c. 2


2a 2 c 3c ? ,所以 a 2 ? 3b 2 . 2 2 2 a ?b

?c ? a2 ? b2 ?

6a , 3

故离心率 e ?

c 6 ? . a 3

(2)证明: (1)知 a 2 ? 3b 2 ,所以椭圆

x2 y2 ? ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . a2 b2 ???? ? 设 OM ? ( x, y) ,由已知得 ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ),

? x ? ?x1 ? ?x 2 , ? M ( x, y ) 在椭圆上,? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 . ?? ? y ? ?x1 ? ?x 2 . 2 2 2 2 即 ?2 ( x1 ? 3 y1 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 . ① 3c 2 3 2 2 1 2 , a ? c ,b ? c . 由(1)知 x1 ? x 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 a c ?a b 3 x1 x 2 ? ? c2 2 2 8 a ?b x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? c)(x 2 ? c)
? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 2 3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 2 2 ? 0. ?
2 2 2 又 x 2 ?3 y1 ? 3b 2 , x2 ? 3 y2 ? 3b 2 ,代入①得 ?2 ? ? 2 ? 1. 1 故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1.

B组
1.C.提示:联想定义. 2.A.提示:将点在准线上及有关对称关系转化成关于 a,c 之间的联系. 3.D.提示:依据焦点位置设曲线方程,再用韦达定理确定系数. 4.B.提示:数形结合考虑将直线平移适当的单位(三角形的高) ,看其与椭圆有没有公共 点. 5.3.提示:分类讨论并画图.

x2 ? 2 y 2 ? 1 .提示:依据离心率设椭圆方程,与直线方程联列,令△=0. 2 7.如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN,直线 PQ、 NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 K,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的方程为 y = kx +1
6. 将此式代入椭圆方程得(2+ k ) x +2 kx -1=0
2 2

14

设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则

y
M F P O N Q

?k ? 2k 2 ? 2 ?k ? 2k 2 ? 2 , x2 ? 2 ? k2 2 ? k2 8(1 ? k 2 )2 2 2 2 从而 | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (2 ? k 2 )2 x1 ?

2 2(1 ? k 2 ) 亦即 | PQ |? 2 ? k2
(1) 当 k ≠ 0 时 , MN 的 斜 率 为 -

x

1 ,同上可推得 k

1 2 2(1 ? (1 ? )2 ) k | MN |? 1 2 2 ? (? ) k

1 1 ) 4(2 ? k 2 ? 2 ) 2 1 k ? k S ? | PQ || MN |? 1 2 2 (2 ? k 2 )(2 ? 2 ) 5 ? 2k 2 ? 2 k k 1 4(2 ? u ) 1 2 ? 2(1 ? ) 令u =k ? 2 得S ? k 5 ? 2u 5 ? 2u 1 2 ∵ u = k ? 2 ≥2 k 16 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数 9 16 ?S?2 ∴ 9 4(1 ? k 2 )(1 ?
②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 。∴S= 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为

1 |PQ||MN|=2 2

16 . 9 2 2 8.解: (1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1, x1 )(( x1 ? x0 ) ,
2 ∴切线 AP 的方程为: 2x0 x ? y ? x0 ? 0;

切线 BP 的方程为: 2x1 x ? y ? x1 ? 0;
2

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x ? x1 ? x P ? xP , 所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ? 0 3 2 2 y0 ? y1 ? yP x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 )2 ? x0 x1 4 xP ? y p yG ? ? ? ? , 3 3 3 3 2 所以 y p ? ?3 yG ? 4xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为: 1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3
解得 P 点的坐标为: x P ?

15

(2)方法 1:因为 FA ? ( x0 , x0 ? ), FP ? (
2

??? ?

? 1 ??? 4

? x0 ? x1 1 ??? 1 , x0 x1 ? ), FB ? ( x1 , x12 ? ). 2 4 4

由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0.

x0 ? x1 1 1 1 ??? ??? ? ? ? x0 ? ( x0 x1 ? )( x0 2 ? ) x0 x1 ? FP ? FA 2 4 4 ? ??? 4 , ? ? ? ∴ cos ?AFP ? ??? ??? ? ??? ? | FP || FA | | FP | 1 2 2 2 | FP | x0 ? ( x0 ? ) 4 x0 ? x1 1 1 1 ??? ??? ? ? ? x1 ? ( x0 x1 ? )( x12 ? ) x0 x1 ? FP ? FB 2 4 4 ? ??? 4 , ? ? ? 同理有 cos ?BFP ? ??? ??? ? ??? ? | FP || FB | | FP | 1 2 | FP | x12 ? ( x12 ? ) 4
∴∠AFP=∠PFB. 方 法 2 : ① 当 x1 x0 ? 0时,由于x1 ? x0 , 不妨设 0 ? 0, 则y0 ? 0, 所 以 P 点 坐 标 为 x

1 x12 ? x1 | x1 | 1 4 x, d ; 而直线BF的方程 : y ? ? ( ,0) , P 点到直线 AF 的距离为: 1 ? 则 2 4 x1 2 1 1 2 即 ( x1 ? ) x ? x1 y ? x1 ? 0. 4 4 1 x x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 ? 1 | ( x12 ? ) 1 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 ? 1 2 1 x12 ? ( x12 ? )2 ? ( x1 )2 4 4
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

1 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, ②当 x1 x0 ? 0 时,直线 AF 的方程: y ? ? 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4 1 x12 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, 直线 BF 的方程: y ? ? 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4 所以 P 点到直线 AF 的距离为:
2 x0 ?

x ?x 1 x ?x 1 1 2 | ( x0 ? )( 0 1 ) ? x0 2 x1 ? x0 | | 0 1 )( x0 2 ? ) 4 2 4 2 4 ? | x0 ? x1 | d1 ? ? 1 2 2 1 2 x0 ? ( x0 ? )2 ? x02 4 4 | x ? x0 | 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d 2 ? 1 ,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. 2

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