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2010理科高考数学(北京卷)


2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数
求的一项。
2 (1) 集合 P ? { x ? Z 0 ? x ? 3} , M ? { x ? R x ? 9} ,则 P I M =

学(理) (北京卷)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

(A) {1,2}

(B) {0,1,2}

(C){x|0≤x<3}

(D) {x|0≤x≤3}

(2)在等比数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 a m ? a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ,则 m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

(3)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视 图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为

(4)8 名学生和 2 位第师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为 (A) A8 A 9
8 2

(B) A8 C 9

8

2

(C) A8 A 7

8

2

(D) A8 C 7

8

2

(5)极坐标方程( ? -1) ? ? ? )=0( ? ? 0)表示的图形是 ( (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线
? ? ? ?

(B)两条直线 (D)一条直线和一条射线
? ? ? ?

(6)若 a , b 是非零向量, a ⊥ b ”是“函数 f ( x ) ? ( x a ? b ) ? ( x b ? a ) 为一次函数”的 “ (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件
? x ? y ? 11 ? 0 ? (7)设不等式组 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a 的图像上

x

存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ? ? ]
-1-

(8)如图,正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1 B 1 上,动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1, A1 E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零) ,则四面体 PEFQ的 体积 (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关 第 II 卷(共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
(9)在复平面内,复数
2i 1? i

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对应的点的坐标为
2? 3

。 ,则 a = 。

(10)在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ? C ?

(11) 从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单 位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图) 。由图中 数据可知 a= 。若要从身高在[ 120 , 130) ,

[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的 方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140 ,150] 内的学生中选取的人数应为 。

(12)如图,? O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A。若 BD ? AE,AB =4, BC=2, AD=3,则 DE= (13) 已知双曲线
x a
2 2

;CE=
x
2


? y
2

?

y b

2 2

? 1 的离心率为 2, 焦点与椭圆

?1

25

9

的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为

;渐近线方程为



(14)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 P( x ,y)的轨迹方程是 y ? f ( x ) ,则 f ( x ) 的最小正周 期为 ; y ? f ( x ) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 。

所围区域的面积为

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明 过程。
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(15) (本小题共 13 分)

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已知函数 f ( x ) ? 2 co s 2 x ? sin x ? 4 co s x 。
2

(Ⅰ)求 f (

?
3

) 的值;

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值。

(16) (本小题共 14 分) 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,

CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小。

-3-

(17)(本小题共 13 分)

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某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 ,第二、
5

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互 独立。记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ P 0
6 125

1
a

2 b

3
24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ 。

(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln (1 ? x ) ? x ?
k 2 x (k ? 0)
2

(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1) )处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。

-4-

(19) (本小题共 14 分)

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在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ?
1 3

.

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面 积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

-5-

(20) (本小题共 13 分) 已知集合 S n ? { X | X ? ( x1 , x 2 , … , x n ), x1 ? {0,1} , i ? 1, 2, … , n } ( n ? 2 ) 对于
A ? ( a 1 , a 2 , … a n , ) , B ? ( b1 , b 2 , … b n , ) ? S n ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a 1 ? b1 |, | a 2 ? b 2 |, … | a n ? b n |);

A 与 B 之间的距离为 d ( A , B ) ?

?|a
i ?1

n

i

? bi |

(Ⅰ)证明: ? A , B , C ? S n , 有 A ? B ? S n ,且 d ( A ? C , B ? C ) ? d ( A , B ) ; (Ⅱ)证明: ? A , B , C ? S n , d ( A , B ), d ( A , C ), d ( B , C ) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ? S n ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d ( P ) . 证明: d ( P ) ≤
mn 2 ( m ? 1)

.

w w

高 考 -6- 资 源 网 (

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (2)C (3)C (5)C (6)B (7)A 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) (-1,1) (10)1 (11)0.030 3 (13) ? 4 ,0) (
3x ? y ? 0
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(4)A (8)D
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(12)5 (14)4

2 7

? ?1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)
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解: (I) f (

?
3

) ? 2 cos

2? 3
2

? s in

2

?
3

? 4 cos
2

?
3

? ?1 ?

3 4

? ?

9 4

(II) f ( x ) ? 2 ( 2 co s x ? 1) ? (1 ? co s x ) ? 4 co s x = 3 co s x ? 4 co s x ? 1
2

= 3(c o s x ?

2 3

) ?
2

7 3

,x? R

因为 co s x ? [ ? 1,1] , 所 以 , 当 c o sx ? ? 1时 , f ( x ) 取 最 大 值 6 ; 当
c o sx ? 2 3
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时, f ( x ) 取最小值 ?

7 3

(16) (共 14 分) 证明: (I) 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF//AG,且 EF=1,AG=
1 2

AC=1.

所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF//平面 EG, 因为 E G ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE, 所以 AF//平面 BDE. (II)因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直,且 CE ? AC, 所以 CE ? 平面 ABCD. 如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C- x y z . 则 C(0,0,0) ,A( 2 , 2 ,0) ,B(0, 2 ,0).

-7-

所以 C F ? (
??? ??? ? ?

??? ?

2 2

,

2 2

??? ? ,1) , B E ? (0, ?

???? 2 ,1) , D E ? ( ?

2 , 0 ,1) .

所以 C F ?B E ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 , C F ?D E ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 所以 C F ? B E , C F ? D E . 所以 C F ? BDE. (III) 由(II)知, C F ? (
??? ? 2 2 , 2 2 ,1) 是平面 BDE 的一个法向量.

??? ???? ?

设平面 ABE 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,则 n ?B A ? 0 , n ?B E ? 0 . 即?
? ( x , y , z ) ?( 2 ,0 ,0 ) ? 0 ( x , y , z ) ?( 0 , ? 2 ,1) ? 0 ?
2 y,

??? ?

??? ?

所以 x ? 0 , 且 z ? 令 y ? 1, 则 z ?
2 .

所以 n ? (0 ,1, 2 ) .
??? ? 从而 c o s ? n , C F ? ? ??? ? n ?C F 3 ??? ? ? 。 2 | n || C F |

因为二面角 A ? B E ? D 为锐角, 所以二面角 A ? B E ? D 的大小为 (17) (共 13 分)
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?
6

.

解:事件 A i 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” i =1,2,3,由题意知 ,
P ( A1 ) ? 4 5

, P ( A 2 ) ? p , P ( A3 ) ? q

(I)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以该 生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是
1 ? P (? ? 0 ) ? 1 ? 6 125 ? 119 125 1 5 4 5 pq ? 24 125 6 125



(II)由题意知
P ( ? ? 0 ) ? P ( A1 A 2 A 3 ) ? P ( ? ? 3) ? P ( A1 A 2 A 3 ) ? (1 ? p )(1 ? q ) ?

整理得

pq ?

6 125

,p?q ?1

-8-

由 p ? q ,可得 p ?

3 5

,q ?

2 5

.

(III)由题意知 a ? P (? ? 1) ? P ( A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 A 2 A3 ) =
?
4 5 (1 ? p )(1 ? q ) ? 1 5 p (1 ? q ) ? 1 5 (1 ? p ) q

37 125

b ? P (? ? 2 ) ? 1 ? P ( ? ? 0 ) ? P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 3)

=

58 125

E ? ? 0 ? P ( ? ? 0 ) ? 1 ? P ( ? ? 1) ? 2 P ( ? ? 2 ) ? 3 P ( ? ? 3)

= (18) (共 13 分)
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9 5 1 1? x

解: (I)当 k ? 2 时, f ( x ) ? ln (1 ? x ) ? x ? x , f '( x ) ?
2

?1? 2x

由于 f (1) ? ln 2 , f '(1) ?

3 2



所以曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
y ? ln 2 ? 3 2 ( x ? 1)
0



3 x ? 2y ? 2 l n ?2 ? 3

(II) f '( x ) ?

x ( k x ? k ? 1) 1? x

, x ? ( ? 1, ? ? ) .
x 1? x

当 k ? 0 时, f '( x ) ? ?

.

所以,在区间 ( ? 1, 0 ) 上, f '( x ) ? 0 ;在区间 (0, ? ? ) 上, f '( x ) ? 0 . 故 f ( x ) 得单调递增区间是 ( ? 1, 0 ) ,单调递减区间是 (0, ? ? ) . 当 0 ? k ? 1 时,由 f '( x ) ? 所以, 在区间 ( ? 1, 0 ) 和 (
x ( k x ? k ? 1) 1? x ? 0 ,得 x 1 ? 0 , x 2 ? 1? k k ) 上,f '( x ) ? 0 1? k k ). ? 0

1? k k

, ? ? ) 上,f '( x ) ? 0 ; 在区间 ( 0 , 1? k k

1? k k

故 f ( x ) 得单调递增区间是 ( ? 1, 0 ) 和 (
x
2

, ? ? ) ,单调递减区间是 ( 0 ,

当 k ? 1 时, f '( x ) ?

1? x

-9-

故 f ( x ) 得单调递增区间是 ( ? 1, ? ? ) . 当 k ? 1 时, f '( x ) ? 所以没在区间 ( ? 1,
f '( x ) ? 0

x ( k x ? k ? 1) 1? x

? 0 ,得 x1 ?

1? k k

? ( ? 1, 0 ) , x 2 ? 0 .
1? k k , 0 ) 上,

1? k k

) 和 (0, ? ? ) 上, f '( x ) ? 0 ;在区间 (

故 f ( x ) 得单调递增区间是 ( ? 1, (19) (共 14 分)
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1? k k

) 和 (0, ? ? ) ,单调递减区间是 (

1? k k

, 0)

(I)解:因为点 B 与 A ( ? 1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ? 1) . 设点 P 的坐标为 ( x , y ) 由题意得 化简得
y ?1 y ?1 1 ? ? ? x ?1 x ?1 3

x ? 3 y ? 4 ( x ? ? 1) .
2 2 2 2

故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4 ( x ? ? 1) (II)解法一:设点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, y M ) , (3, y N ) . 则直线 A P 的方程为 y ? 1 ?
y0 ? 1 x0 ? 1 ( x ? 1) ,直线 B P 的方程为 y ? 1 ? y0 ? 1 x0 ? 1 ( x ? 1)

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 x0 ? 1

, yN ?

2 y0 ? x0 ? 3 x0 ? 1

.

于是 ? P M N 得面积
S? P ? N 1 2 | y M ? y N (? | 3 x ?) 0 | x0 ? y0 | ( ? x0 ) 3
2

M

|x0 ? 1 |
2

又直线 A B 的方程为 x ? y ? 0 , | A B |? 2 2 , 点 P 到直线 A B 的距离 d ? 于是 ? P A B 的面积
S ? PAB ? 1 2 | A B |?d ? | x 0 ? y 0 |
| x 0 ? y 0 | (3 ? x 0 ) | x0 ? 1 |
2 2

| x0 ? y0 | 2

.

当 S ? P A B ? S ? P M N 时,得 | x 0 ? y 0 | ?

- 10 -

又 | x 0 ? y 0 |? 0 ,
2 2 所以 (3 ? x 0 ) = | x 0 ? 1 | ,解得 | x 0 ?

5 3



2 2 因为 x 0 ? 3 y 0 ? 4 ,所以 y 0 ? ?

33 9 5 33 9

故存在点 P 使得 ? P A B 与 ? P M N 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?
3

).

解法二:若存在点 P 使得 ? P A B 与 ? P M N 的面积相等,设点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) 则
1 2 | P A |?| P B | s in ? A P B ? 1 2 | P M |?| P N | s in ? M P N .

因为 sin ? A P B ? sin ? M P N , 所以
| PA | | PM |
| x0 ? 1 | | 3 ? x0 |
2

?

| PN | | PB |
| 3 ? x0 | | x ?1|
2

所以

?

即 (3 ? x 0 ) ? | x 0 ? 1 | ,解得 x 0 ?

5 3
33 9

2 2 因为 x 0 ? 3 y 0 ? 4 ,所以 y 0 ? ?

故 存 在点 P S 使 得 ? PAB 与 ? PM N 的 面 积 相等 , 此 时点 P 的 坐 标 为
( 5 3 ,? 33 9 ).

(20) (共 13 分)

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证明: (I)设 A ? ( a 1 , a 2 , ..., a n ) , B ? ( b1 , b 2 , ..., b n ) , C ? ( c1 , c 2 , ..., c n ) ? S n 因为 a i , b i ? ? 0 ,1? ,所以 a i ? b i ? ? 0 ,1? , ( i ? 1, 2, ..., n ) 从而 A ? B ? (| a 1 ? b1 |, | a 2 ? b 2 |, ..., | a n ? b n |) ? S n 又d (A ? C, B ? C ) ?
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? || a
i ?1

n

i

? c i | ? | b i ? c i ||

由题意知 a i , b i , c i ? ? 0 ,1? ( i ? 1, 2, ..., n ) . 当 c i ? 0 时, || a i ? c i | ? | bi ? c i ||? || a i ? bi | ;

- 11 -

当 c i ? 1 时, || a i ? c i | ? | bi ? c i || ? | (1 ? a i ) ? (1 ? bi ) | ? | a i ? bi |

所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?|a
i ?1

n

i

? bi | ? d ( A , B )

(II)设 A ? ( a 1 , a 2 , ..., a n ) , B ? ( b1 , b 2 , ..., b n ) , C ? ( c1 , c 2 , ..., c n ) ? S n
d ( A , B )? k d ( A, C ) ? l , d ( B , C ) ? h . ,

记 O ? (0, 0, ..., 0 ) ? S n ,由(I)可知
d ( A, B ) ? d ( A ? A, B ? A ) ? d (O , B ? A ) ? k d ( A , C ) ? d ( A ? A , C ? A ) ? d (O , C ? A ) ? l d ( B , C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h

所以 | b i ? a i | ( i ? 1, 2, ..., n) 中 1 的个数为 k , | c i ? a i | ( i ? 1, 2 , ..., n ) 的 1 的 个数为 l 。 设 t 是使 | bi ? a i | ? | c i ? a i | ? 1 成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2 t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A , B ) , d ( A , C ) , d ( B , C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P ) ?
1 Cm
2

?
A , B? P

d ( A , B ) ,其中

?
A , B? P

d ( A , B ) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,

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设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 t i 个 1, m ? t i 个 0 则

?
A , B? P

d ( A , B ) = ? ti ( m ? ti )
i ?1

n

由于 t i ( m ? t i ) ?

m 4

2

( i ? 1, 2 , ..., n )

所以

?
A , B? P

d ( A, B ) ?

nm 4

2

从而 d ( P ) ?
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1 Cm
2

?
A , B? P

d ( A, B ) ?

nm 4C m
2

2

?

mn 2 ( m ? 1)

- 12 -

- 13 -


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