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线面垂直与面面垂直练习


线面垂直、面面垂直
线面垂直
①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意 a ? ? , 都有 l ? a ,且 l ? ? ,则 l ? ? .
a, b ? ? ? a b ? O? ? ? ②判定定理: l ? ? ? ? l ? ? (线线垂直 ? 线面垂直) ? l?a ? l ?b ? ?

/>l

O α b a

③性质: (1) l ? ? , a ? ? ? l ? a (线面垂直 ? 线线垂直) ; (2) a ? ? , b ? ? ? a // b ; 面面垂直 (1)定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90 ? ,则 ? ? ? ; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面 互相垂直.
a ??? ? ? ? ? ? (线面垂直 ? 面面垂直) a???

? a B

? A

? a B

(3)性质:

? ?? ? ? a ? ? AB ? ; ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直) a ?? ?
a? AB ? ?

? A

1、已知:如图,P 是棱形 ABCD 所在平面外一点,且 PA=PC 求证: AC ? 平面PBD
A

P

D B C

2.如图所示,PA⊥ 矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥ 平面 PAD. (2)求证:MN⊥ CD. (3)若∠ PDA=45° ,求证:MN⊥ 平面 PCD.

3.已知,如图,四面体 A-BCD 中, AB ? CD, AD ? BC, H为 BCD的垂心。 求证: AH ? 平面BCD
A

B H C

D

1 4. (2011· 辽宁高考)如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB=2PD. (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值. 【尝试解答】 (1)由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形.

因为 QA⊥平面 ABCD,所以 QA⊥DC, 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,又 QA∩AD=A, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 2 PD,则 PQ⊥QD. 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高, 1 所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1=3a3.由(1)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高, 2 1 而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 2 a2,所以棱锥 P—DCQ 的体积 V2=3a3. 故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1. 5、如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点,若∠PDA=45°, (1)求证:MN⊥平面 PCD; (2)试问矩形 ABCD 满足什么条件时,PC⊥BD. 【证明】 (1)如图,取 PD 的中点 E,连结 AE,NE. 1 ∵E、N 分别为 PD、PC 的中点,∴EN / / 2CD. 1 又∵M 为 AB 的中点,∴AM 2CD. ∴EN / / AM. ∴四边形 AMNE 为平行四边形.∴MN∥AE. ∵PA⊥平面 ABCD, ∠PDA=45° , ∴△PAD 为等腰直角三角形, ∴AE⊥PD. 又∵CD⊥AD,CD⊥PA,∴CD⊥平面 PAD,而 AE?平面 PAD,∴CD⊥AE. 又 CD∩PD=D,∴AE⊥平面 PCD. ∴MN⊥平面 PCD.

6.(2011·江苏高考)在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD, ∠BAD=60°, E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; 【尝试解答】

(2)平面 BEF⊥平面 PAD.

(1)如图,在△PAD 中,

因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点, 所以 EF∥PD.又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连结 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD.因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 BF⊥平面 PAD.又因为 BF?平面 BEF.所以平面 BEF⊥平面 PAD.
7.(2008 山东高考)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边三 角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. 【解析】 (Ⅰ )在 △ ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , A 所以 AD ? BD ? AB .故 AD ? BD .
2 2 2

P

M D C

B

又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD

平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 PAD ,又

BD ? 平面 MBD ,故平面 MBD ? 平面 PAD .
(Ⅱ )过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O ,由于平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD . 因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高,又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ? 在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2 DC , 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为

3 ?4 ? 2 3. 2

4?8 8 5 , ? 5 4 5

此即为梯形 ABCD 的高,所以四边形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ?

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

8. (2010 年北京 )如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, EF ∥ AC , AB ? 2 ,
CE ? EF ? 1 .
E F

(Ⅰ)求证: AF ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证: CF ? 平面 BDE ;
C

B A

D


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