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第6讲 动量定理 角动量定理


第 6 讲 力与运动的关系 动量定理 (1)
一、动量定理: ?F?t ? ?m?v (微元法)
1、以速度大小为 v1 竖直向上抛出一小球,小球落回地面时的速度大小为 v2,设小球在运动 过程中受空气阻力大小与速度大小成正比 f ? kv , 求小球在空中运动的时间 t=? (高度 h=?)

2、质量为 m,长为 L 的均匀软铁链用细绳

悬在天花板上,下端刚好接触地 面.某时刻细绳突然断了,软铁链自由落下,求: (1)从悬绳断开到铁绳全部落至地面过程中地面对铁绳的平均弹力? (2)若地面改为电子秤托盘面,求秤的最大读数为铁链重力的几倍? (隔离分析微元或整体“导数”)

A L B

(练习)一根均匀柔软绳长为 L,质量为 m,对折后两端固定在一个钉子 上.其中一端突然从钉子上脱落,求下落端的端点离钉子的距离为 x 时, 钉子对绳子另一端的作用力. (机械能不守恒)

3、质量很大的平板沿水平方向以速度 v0 运动.一小球在高度为 H 处从静止自由下落, 并与平板相碰, 小球与平板间的摩擦系数 为 μ,小球反弹时相对地面的速度为 v,与水平面的夹角为 α, 反弹后达到的最大高度仍为 H,试讨论 α 与高度 H 的关系. (注:当“碰撞”作用时间极短时,可忽略有限大小力的冲量. ) ( ?t f 与 ?t N 关系怎样?)

二、动量守恒定律
①系统在某一方向上所受合外力为零,则系统在这一方向上动量守恒. ②当物体间内作用时间极短时,忽略有限大小外力的冲量,动量守恒. 1、图为两弹性小球 1 和 2,球 1 的质量为 m1,初速为 v10; 球 2 的质量为 m2,静止.两球相碰后,球 l 的速度方向与碰 前速度方向垂直, 球 2 的速度方向与球 l 的初速方向夹角 θ, sin ? ? 0.6 .试求两球碰后的速度大小以及恢复系数、总机 械能的损失?
e? (斜碰, 没有摩擦作用, v2 ? v1 仅在弹性作用方向体现) v10 ? v20

2、如图所示,光滑水平面上有一长为 L 的平板小车,其质量为 M,车 左端站着一个质量为 m 的人,车和人都处于静止状态,若人要从车的左 端刚好跳到车的右端,至少要多大的速度(相对地面)? (设速度大小 v、方向 θ) (练习)如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为 3m, 发射筒与水平面成 45° 角,小车放在光滑水平面上,被发射的小球质量为 m,现将弹簧压缩 L 后放入小球,从静止开始,将小球弹射出去.已知小球的 射高为 H,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数 k. (小球相对地面的出射速度≠45°) B 3、如图所示,质量均为 m 的两质点 A 和 B,由长为 L 的不可伸长 的轻绳相连, B 质点限制在水平面上的光滑直槽内, 可沿槽中滑动, 开始时 A 质点静止在光滑桌面上,B 静止在直槽内,AB 垂直于直 L/2 槽且距离为 L/2, 如质点 A 以速度 v0 在桌面上平行于槽的方向运动, 求证:当 B 质点开始运动时,它的速度大小为 3v0/7;并求绳受到 A 的冲量和槽的反作用力冲量? (寻找守恒量:A+B 在水平方向、A 在垂直绳子方向上动量守恒) 思考题 1、质量分别为 m1、m2 和 m3 的三个质点 A、B、C 位于光滑的水平面上,用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳 AB 和 BC 连结,角 ABC 为?-?,?为一锐角,如图所示, 今有一冲量为 I 的冲击力沿 BC 方向作用于质点 C,求质 点 A 开始运动时的速度. 思考题 2、如图所示,三个质量都是 m 的刚性小球 A、B、C 位于光滑 的水平桌面上(图中纸面) ,A、B 之间,B、C 之间分别用刚性轻杆 相连,杆与 A、B、C 的各连接处皆为“铰链式”的(不能对小球产生垂 直于杆方向的作用力) .已知杆 AB 与 BC 的夹角为?-?,?<?/2.DE 为固定在桌面上一块挡板,它与 AB 连线方向垂直.现令 A、B、C 一 起以共同的速度 v 沿平行于 AB 连线方向向 DE 运动,已知在 C 与挡 板碰撞过程中 C 与挡板之间无摩擦力作用,求碰撞时当 C 沿垂直于 DE 方向的速度由 v 变为零这一极短时间内挡板对 C 的冲量的大小.

v0

三、质心参考系
①质心: xc ?
m1 x1 ? m2 x2 ? ? → vc ? ? → ac ? ? m1 ? m2 ? ?

②质心运动定理: F合 ? Mac 当 F合 =0 时,系统的质心相对地面匀速或静止,速度 v c ?
m1 v1 ? m 2 v 2 ? ? (动量视角) . m1 ? m 2 ? ?

系统总动量 P (地面系)=质心动量( Pc ? Mvc )+相对质心总动量( P ? ? 0 ) (质心系)
? ) ? 质心动能EKc ? 相对质心动能E(质 心系 ) ③Konig 定理:系统总动能E( (动能视角) . K 地面系 K

以二个质点为例,质量分别为 m1 和 m2,相对于地面参考系的速度分别为 v 1 和 v 2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, v 2 ? vc ? v 2 ?, ? ,于是 v1 ? v c ? v1 质心 C 的速度为 v c ,二质点相对于质心的速度分别为 v 1? 和 v 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 ? ? m2 v c ? v 2 ? ? v c ? (m1v1 ? ? m2 v 2 ?), 质点系的动能 EK ? m1v12 ? m2 v2 , 把 v 1 和 v 2 代入, 且 m1v c ? v1 2 2 括号中的求和表示质心对于自己的速度(或两物体相对质心的动量为零) ,必定为零.

?

?

1 1 1 1 1 2 2 ?2 ? EKc ? EK ? ,由此可见, 质点系的动能 EK ? m1v12 ? m2 v2 ? (m1 ? m2 )vc ? m1v1?2 ? m2 v2 2 2 2 2 2 质点系的总动能等于其质心的动能与质点相对于质心动能之和(Konig 定理),对于多个质 点,这个关系也成立. 注:对于两体系统,质点系的动能还可以用两物体的相对速度 v r 和质心的速度 v c 表示: ? ? ? ? ? ? ? ? 根据动量守恒定律 m1v1 ? m 2 v 2 ? (m1 ? m 2 )v c ,和相对速度关系 v r ? v 2 ? v1 可得 v 1 和 v 2 ,代入
1 1 m1m2 1 1 2 vr?2 . 质点系的动能 EK ? m1v12 ? m2 v2 得: EK ? (m1 ? m2 )vc2 ? 2 2 ( m ? m ) 2 2 1 2

1、如图所示,一长直光滑板 AB 放在平台上,OB 伸出台面,在左侧的 D 点放一质量为 m1 的小铁块,它以初速度 v 向右运动.假设直板相对桌面 不发生滑动,经时间 T0 后直板翻倒.现让直板恢复原状,并在直板 O 点 放上另一质量为 m2 的小物体,同样让 m1 从 D 点开始以 v 的速度向右运 动,并与 m2 发生正碰,那么从 m1 开始运动后经过多少时间直板翻倒?

2、如图所示,质量为 M,倾角为 θ 的光滑斜面,放置在光滑水平 面上, 另有一质量为 m 的小物块沿斜面下滑, 斜面底边长为 L. 当 物块从斜面顶端由静止开始下滑到底端时,求: (1)斜面具有多大的速度; (2)斜面沿水平面移动的距离.

m M θ L

3、如图所示,质量分别为 m1、和 m2 的两滑块 A 和 B 放置在光滑的水平地面上,A,B 之间 用一劲度系数为 k 的弹簧相连.开始时两滑块静止,弹簧为原长.一质量为 m 的子弹以速 度 v0 沿弹簧长度方向射入滑块 A,并不再出来.试求: (1)弹簧的最大压缩长度; (2)滑块 B 相对地面的最大速度和最小速度.

4、如图所示,质量为 m 的长方形箱子放在光滑的水平地面上,箱内有一 质量也为 m 的小滑块,滑块与箱底之间无摩擦.开始时箱子不动,滑块 以速度 v0 从箱子的 A 壁向 B 壁处运动,然后又与 B 壁碰撞.假定滑块每 碰撞一次,两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的 e 倍,e= 4 1 / 2 . (1)要使“滑块+箱子”系统动能的总损耗不超过 40%,滑块与箱壁最多可碰撞几次? (2)从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间,箱子的平均速度是多少?

5、如图所示,质量M=1Kg的箱子静止在光滑水平面上,箱底长L=1m, 质量m=1Kg的小物体从箱子中央以v0=5m/s的速度开始向右运动,物体 与箱底间的动摩擦因数?=0.05,物体与箱壁发生完全弹性碰撞,问小物 体可与箱壁发生多少次碰撞?当小物体在箱中刚达到相对静止时, 箱子 在水平面上的位移是多少?

(练习)如图所示,在光滑水平面上静止放着一个质量为 M 的中空 物体,其中间是一个半径为 R 的球形空间,内表面也是光滑的.另 一个质量为 m 、半径为 r 的小球,从两球心等高的位置静止释放, 试求: (1)小球到达最低点时,中空物体移动的距离; (2)小球到达最低点时,中空物体的速度. (3)判断:小球到右边的最大高度可不可以和初始位置等高?

第 6 讲 力矩与转动的关系 角动量定理 (2)
一、质点的角动量定理
①质点相对参考点的角动量: L ? mvr sin ? 如图所示,质量为 m 的质点在 xy 平面内以速度 v 作匀速 直线运动,求此质点相对于原点 O 的角动量 L. ②质点的角动量定理: M ?t ? L2 ? L1 ③质点角动量守恒定律:若作用于质点的合力对参考点 O 的合力矩 M 始终为零,则质点对该点的角动量保持不变, 称为质点对参考点 O 的角动量守恒定律. 在有心力场作用下运动的物体,因合力矩为零,故物体相对力心的角动量守恒. 如果质点在有心力作用下运动,由于有心力对力心的力 矩为零, 因此质点对该力心的角动量就一定守恒. 例如: 行星在太阳引力下绕太阳的运动就是在有心力作用下 的运动, 日心即力心; 地球卫星在地球引力作用下运动, 地心即力心;电子在原子核静电力作用下运动,力心即 原子核.在这些情况下,我们可得出结论:行星在绕太 阳的运动中,对日心的角动量守恒(开普勒第二定律实 际就是对有心力点的角动量守恒);人造地球卫星绕地 球运行时,对地心的角动量守恒;电子绕原子核运动时,电子对原子核的角动量守恒. 1、在光滑水平桌面上有一小孔 O,一细绳穿过小孔, 其一端系一小球放在桌面上,另一端用手拉住.设开始 时令小球以速率 v1 绕孔 O 作半径为 r1 的匀速率圆周运 动,如图所示.现在向下缓慢拉绳,直到小球作半径为 r2 的圆周运动时停止.试求此时小球的速率 v2 以及在此 过程中绳子拉力 T 所做的功? v0 2、如图所示,质量为 m 的两小球系于轻弹簧的两端,并置于光滑的水平面 上,当弹簧处于自然状态时,长为 a,其弹性系数为 k.今两球同时受冲力 作用,各获得与连线垂直的等值反向的初速度,若在以后运动过程中弹簧 的最大长度 b=2a,求两球的初速度 v0?

v0

(练习) 两个滑冰运动员, 质量分别为 MA=60Kg, MB=70 Kg, 它们的速率 vA=5m/s, vB=10m/s, 在相距 1.3m 的两平行线上相向而行, 当两者最接近时, 便拉起手来开始绕质心作圆周运动, 并保持二人之间的距离 1.3m 不变.求: (1)二人拉手后,系统的角速度. (2)计算两个人拉手前后的动能是否相等,并说明理由.

3、图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体,O 为其球心.己知取无限远处的电势 为零时,球表面处的电势为 U=1000V.在离球心 O 很远的 O′点附近有一质子 b,它以 Ek= 2000 eV 的动能沿与 O? O 平行的方向射向 a.以 l 表示 b 与 O? O 线之间的垂直距离,要使质 子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰,试求 l 的最大值.把质子换成电子,再求 l 的最大值.

五、刚体的角动量定理: M ?t ? L2 ? L1 (当 M=0 时,L=恒量. )
例:如图所示,一根L=0.4m的均匀木棒,质量M=1.0Kg,可绕水平轴O点在竖直面 内转动,开始时棒自然铅直悬垂.现有一质量m=8g的子弹以v=200m/s的速度从A点 水平射入棒内,A点离O点的距离为3L/4,棒的转动惯量J=ML2/3.求: (1)棒开始转动时的角速度. (2)棒的最大偏角. (3)若子弹射入的方向与棒的夹角?=30?,棒开始转动时的角速度.
3 3 3 (1)对O点角动量守恒: mv? L ? J? ? m L? ? L ,J=ML2/3. 4 4 4

得棒开始转动时的角速度 ? ?

3mvL =8.87 rad/s. 1 9 4( ML2 ? mL2 ) 3 16

(2)子弹射入棒内后系统机械能守恒,设棒的最大偏角为?,
Mg ? L 3 1 1 3 (1 ? cos? ) ? mg ? L(1 ? cos? ) ? J? 2 ? m( L? ) 2 2 4 2 2 4
MgL? mg ? 3 1 L ? J? 2 2 2 ? ?0.073,得棒的最大偏角?=94?12?. 3 MgL? mg ? L 2

cos? ?

(3)当子弹射入的方向与棒的夹角?=30?时,
3 3 3 对O点角动量守恒: mv? L ? sin? ? J? ? m L? ? L ,?=4.43rad/s. 4 4 4

角动量练习
1.已知地球的质量为 m,太阳的质量为 M,地球与日心的距离为 R,万有引力常量为 G, 则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为( ) A. m GMR B. GMm R C. Mm G R D. GMm 2 R

2.如图所示,x 轴沿水平方向,y 轴竖直向下,在时刻将质量为 m 的 质点由 x=a 处静止释放,让它自由下落,则在任意时刻 t,质点所受

o
b

a x

? ? 相对原点 o 的力矩 M =?该质点相对原点 o 的角动量 L =?

? r
y

3.在光滑的水平面上,一根长 L=2m 的绳子,一端固定于 O 点, 另一端系一质量为 m=0.5Kg 的物体,开始时,物体位于位置 A, OA 间距离 d=0.5m,绳子处于松弛状态, 现使物体以初速度 vA=4m/s 垂直于 OA 向右滑动,如图,设在以后的运动中物体到达位置 B, 此时物体速度的方向与绳垂直,则此时刻物体对 O 点的角动量的 大小 LB=?物体速度的大小 vB=?

O ? d A vA

vB B

4.如图所示,一个质量为 m=2Kg 的小球在细绳牵引下在光滑 水平的平板上以速率 v=1.0m/s 做匀速圆周运动, 其半径 r=30cm, 现将牵引的绳子迅速放长 20cm,使小球在更大半径的新轨道上 做匀速圆周运动.求: (1) 实际这一过渡所经历的时间? (2) 试说明此过程中有哪些守恒量?小球在新轨道上匀速圆周 运动时,旋转的角速度?

5.如图所示,钢球 A 和 B 质量 m=1Kg,正被绳〔L=0.5m〕牵着以 ?0 ? 9rad /s 的角速度绕 竖直轴转动,二球与轴的距离都为 r1 ? 0.4m ,现在把轴上环 C 下移,使得两球离轴的距离 缩减为 r2 ? 0.3m , 则钢球的角速度 ? ? ? 外力做的功 WF ? ?

碰撞典型题
1.质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平面 上 , 用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳 AB 和 BC 连结 , 角 ABC 为 ?-?,?为一锐角,如图所示,今有一冲量为J的冲击力沿BC方向作用 Jm2 cos? 于质点C.求质点A开始运动时的速度.(答案:

m 2 (m1 ? m 2 ? m3 ) ? m1 m3 sin2 ?



解:设A开始运动时物体的速度分别为v1,v2,v3,求v1, 因m1只受到BA绳的拉力,m3只受到BC绳的拉力,所以当A刚开始运动时v1沿AB方向,v3沿BC方 向,设v2与BC夹角为?,沿BC方向动量定理:J =m1v1cos?+m2v2cos?+m3v3 垂直BC方向动量守恒m1v1sin?=m2v2sin? 沿绳方向速度相等(绳不可伸长)v1=v2cos(?+?),v3=v2cos? Jm2 cos? 得: v1 ? m 2 (m1 ? m 2 ? m3 ) ? m1 m3 sin2 ?

2.如图所示,三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平 桌面上(图中纸面),A、B之间,B、C之间分别用刚性轻杆相连, 杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的(不能对小球产生垂直于 杆方向的作用力).已知杆AB与BC的夹角为?-?,?<?/2.DE为固 定在桌面上一块挡板,它与AB连线方向垂直.现令A、B、C一起以 共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动,已知在C与挡板碰撞 过程中C与挡板之间无摩擦力作用,求碰撞时当 C沿垂直于DE方向 的速度由v变为零这一极短时间内挡板对C的冲量的大小.(答案: I ?
3 ? sin2 ? 1 ? 3 sin2 ? mv )

解:令I表示极短时间?t内挡板对C冲量的大小,因为挡板对C无摩擦力作用,可知冲量 的方向垂直于DE,如图所示; I ? 表示B、C间的杆对B或C冲量的大小,其方向沿杆方向,对 B和C皆为推力; v C 表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小, v B 表示?t末了时刻B 沿平行于DE方向速度的大小, v B? 表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小. 有动量定理,对C有 I ? sin? ? mvC , I ? I ? cos? ? mv 对B有 I ? sin? ? mv B ,对AB有 I ? cos? ? 2m?v ? v B? ? 沿B、C沿杆的方向的分速度必相等.故有 vC sin? ? v B? cos? ? v B sin? 有以上五式,可解得 I ?
3 ? sin2 ? 1 ? 3 sin2 ? mv .


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