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河南省安阳市林州一中2016届高三上学期升学考试数学(文)试卷


河南省安阳市林州一中 2015-2016 学年高三(上)升学数学试 卷(文科)
一、选择题(每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正 确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.设集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B=( ) A.[0,2] B. (1,3) C.[1,3)

D. (1,4) 2.设 z= A.﹣1+3i ,则 z 的共轭复数为( B.﹣1﹣3i )

C.1+3i D.1﹣3i

3.若 x,y 满足约束条件 A.﹣3 B.0 C. D.3

,则 z=x﹣y 的最小值是(



4. 一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体, 余下的几何体的三视图如图, 则余下部分的几何体的体积为( )

A.

B.

+

C.

+

D.

+2

5.有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方 法种数为( ) A.150 B.180 C.200 D.280 6.在△ ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、b 且 A=2B,sinB= ,则 的值是( A. B. C. D. )

7.若(x6 A.3 B.4

)n 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于( C.5 D.6



8.已知函数 f(x)=

sinωx+cosωx(ω>0)的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 个单位,得到函数 g(x)的图象.关于

的等差数列,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 函数 g(x) ,下列说法正确的是( A.在[ , ]上是增函数 , π]时,函数 g(x)的值域是[﹣2,1] )

B.当 x∈[

C.函数 g(x)是奇函数 D.其图象关于直线 x=﹣ 对称

9.函数 y=

的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

10.已知双曲线



=1,过其左焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的两条切线,切点记作 C,D,原点

为 O,∠COD= A. B.2

,其双曲线的离心率为( C. D.



11.已知函数 f(x)= 取值范围是(

,则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时,实数 a 的

) (注:e 为自然对数的底数)

A. (0, ) B.[ , ]

C. (0, ) D.[ ,e]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 12.已知 =(1,﹣2) , + =(0,2) ,则| |= .

13.设随机变量 X~N(3,?2) ,若 P(X>m)=0.3,则 P(X>6﹣m)=



14.已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(2,1)点 N(x,y)的坐标 x,y 满足不等式组

.则

的取值范围是



15.设数列{an}的 n 项和为 Sn,且 a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}为等差数列,则{an}的通项公式 an= .

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上) 16. (12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 a﹣2csinA=0. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c=2,求 a+b 的最大值. 17. (12 分) (2015?日照二模)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、 黑色、白色小球的个数分别为 2 个、3 个、4 个,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3 个,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球. (1)若左右手各取一球,问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少? (2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成 功取法次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 18. (12 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别是 CC1、BC 的中点, AE⊥ A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE; (2)是否存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 说明点 D 的位置,若不存在,说明理由. ?若存在,

19. (12 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上顶点为 A,P( , )是 C 上的一点,以

AP 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由. 20. (12 分)函数 f(x)= ,若曲线 f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 e2x﹣y+e=0

垂直(其中 e 为自然对数的底数) . (1)若 f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)求证:当 x>1 时, > .

选做题(请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分. 【选 修 4-1:几何证明选讲】 21. (10 分)如图,已知圆 O 外有一点 P,作圆 O 的切线 PM,M 为切点,过 PM 的中点 N, 作割线 NAB,交圆于 A、B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C,连续 PB 交圆 O 于点 D, 若 MC=BC. (1)求证:△ APM∽△ABP; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

22.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

为参数) .以 O 为极点,x 轴

, 射线 OM: θ=

与圆 C 的交点为 O、

【选修 4-5:不等式选讲】 23.已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

河南省安阳市林州一中 2015-2016 学年高三(上)升学数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正 确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.设集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B=( ) A.[0,2] B. (1,3) C.[1,3) D. (1,4) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出 A 与 B 的交集 即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<3,即 A=(﹣1,3) , x 由 B 中 y=2 ,x∈[0,2],得到 1≤y≤4,即 B=[1,4], 则 A∩B=[1,3) , 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.设 z= ,则 z 的共轭复数为( )

A.﹣1+3i B.﹣1﹣3i C.1+3i D.1﹣3i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z,则答案可求. 解答: 解:由 z= = ,

则 z 的共轭复数为:﹣1﹣3i. 故选:B. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题. 3.若 x,y 满足约束条件 A.﹣3 B.0 C. D.3 ,则 z=x﹣y 的最小值是( )

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 画出约束条件表示的可行域,推出三角形的三个点的坐标,直接求出 z=x﹣y 的最小 值. 解答: 解:约束条件 ,表示的可行域如图,

解得 A(0,3) ,

解得 B(0,

) 、

解得 C(1,1) ;

由 A(0,3) 、B(0,

) 、C(1,1) ;

所以 t=x﹣y 的最大值是 1﹣1=0,最小值是 0﹣3=﹣3; 故选 A.

点评: 本题考查简单的线性规划的应用,正确画出约束条件的可行域是解题的关键,常考 题型. 4. 一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体, 余下的几何体的三视图如图, 则余下部分的几何体的体积为( )

A.

B.

+

C.

+

D.

+2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图求出圆锥母线,高,底面半径.进而求出锥体的底面积,代入锥体体积公 式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,圆锥母线 l= h= =2, =2, =2 ,圆锥的高

圆锥底面半径为 r=

截去的底面弧的圆心角为 120°,截去的面积是底面圆面积的 , 底面剩余部分为 S= πr2+ sin120°= π+ ,

故几何体的体积为:V= Sh= ×( π+

)×2=

+



故选:B 点评: 本题考查几何体体积计算.本题关键是弄清几何体的结构特征,是易错之处. 5.有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方 法种数为( ) A.150 B.180 C.200 D.280 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 根据题意,分析可得人数分配上有两种方式即 1,2,2 与 1,1,3,分别计算两种情 况下的情况数目,相加可得答案. 解答: 解:人数分配上有两种方式即 1,2,2 与 1,1,3. 若是 1,1,3,则有 × =60 种,

若是 1,2,2,则有

×

=90 种

所以共有 150 种不同的方法. 故选:A. 点评: 本题考查排列、组合的运用,难点在于分组的情况的确定. 6.在△ ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、b 且 A=2B,sinB= ,则 的值是( A. B. C. D. )

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 sinB 的值求出 cosB 的值, 原式利用正弦定理化简, 把 A=2B 代入利用二倍角的正 弦函数公式化简,约分后把 cosB 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵A=2B,sinB= , ∴cosB= ∴由正弦定理得: = = , = = =2cosB= ,

故选:D. 点评: 此题考查了正弦定理,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握正弦定理是解本题的 关键. 7.若(x6 )n 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于( )

A.3 B.4 C.5 D.6 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理.

分析: 二项式的通项公式 Tr+1=Cnr(x6)n r(


)r,对其进行整理,令 x 的指数为 0,

建立方程求出 n 的最小值. 解答: 解:由题意, ( x6
r

)n 的展开式的项为 Tr+1=Cnr(x6)n r(




=Cnr

=Cnr r=0,得 n= r,当 r=4 时,n 取到最小值 5

令 6n﹣

故选:C. 点评: 本题考查二项式的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据指数的形式 及题设中有常数的条件转化成指数为 0,得到 n 的表达式,推测出它的值. 8.已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 个单位,得到函数 g(x)的图象.关于

的等差数列,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 函数 g(x) ,下列说法正确的是( A.在[ , ]上是增函数 , π]时,函数 g(x)的值域是[﹣2,1] )

B.当 x∈[

C.函数 g(x)是奇函数 D.其图象关于直线 x=﹣ 对称

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 等差数列与等比数列;三角函数的图像与性质. 分析: 由 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,得到 ,

从而求出 T,进一步得到ω ,再由函数图象的平移得到 g(x) ,结合 x 的范围得到 g(x)的 值域,说明 B 正确. 解答: 解:由题意可知, f(x)= ,∴T=π,则 ω=2. )=2sin(2x+ 个单位, 得( f x+ ) , ) =2sin[2 (x+ ) + ]=2sin (2x+ )

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

把函数 ( f x) 的图象沿 x 轴向左平移 =2cos2x. 即 g(x)=2cos2x. 当 x∈[ , π]时,2x∈[ ],

∴2cos2x∈[﹣2,1]. 故选:B. 点评: 本题考查三角函数的图象和性质,考查了三角函数图象的平移,考查了等差数列概 念的应用,是基础题.

9.函数 y=

的图象大致为(



A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数的奇偶性,再根据函数值的变化规律即可得到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)= = ,

∴f(﹣x)=

=﹣

=﹣f(x) ,

∴f(x)为奇函数,故图象关于原点对称,故排除 A, ∵当 x 从右趋向于 0 时,f(x)趋向于+∞,当 x 趋向于+∞时,f(x)趋向于 0, 故排除 BC, 故选:D 点评: 本题考查了函数图象的识别,常用的方法利用函数的奇偶性,单调性,特殊值,属 于中档题. 10.已知双曲线 ﹣ =1,过其左焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的两条切线,切点记作 C,D,原点

为 O,∠COD= A. B.2

,其双曲线的离心率为( C. D.



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意可先求得∠COF 利用 OF 和 OC,在直角三角形中求得 得双曲线的离心率 解答: 解解:如图,由题知 OC⊥CF,OD⊥DF 且∠COD= , 的值,进而可求

∴∠COF= OF=c, ∴ = =cos

,又 OC=a,

= ,

∴e= =2. 故选 B.

点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的过程中采用了数形结合的思想,使问题 的解决更直观. 11.已知函数 f(x)= 取值范围是( ,则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时,实数 a 的

) (注:e 为自然对数的底数) C. (0, ) D.[ ,e]

A. (0, ) B.[ , ]

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意,方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根,等价于 y=f(x)与 y=ax 有 2 个交点, 又 a 表示直线 y=ax 的斜率,求出 a 的取值范围. 解答: 解:∵方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根, ∴y=f(x)与 y=ax 有 2 个交点, 又∵a 表示直线 y=ax 的斜率, ∴y′= , 设切点为(x0,y0) ,k= ∴切线方程为 y﹣y0= , (x﹣x0) ,

而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k= , ∴直线 l1 的斜率为 , 又∵直线 l2 与 y= x+1 平行, ∴直线 l2 的斜率为 ,

∴实数 a 的取值范围是[ , ) . 故选:B. 点评: 本题考查了函数的图象与性质的应用问题,解题时应结合图象,以及函数与方程的 关系,进行解答,是易错题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 12.已知 =(1,﹣2) , + =(0,2) ,则| |= .

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先利用向量的减法运算得到向量 的坐标,然后求模. =(﹣1,4) ,

解答: 解:因为 =(1,﹣2) , + =(0,2) ,所以 所以 ;

故答案为: 点评: 本题考查了向量加减法 的坐标运算以及有向量坐标求模;属于基础题. 13.设随机变量 X~N(3,?2) ,若 P(X>m)=0.3,则 P(X>6﹣m)= 0.7 . 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 随机变量ξ 服从正态分布 N(3,σ 2) ,得到曲线关于 x=3 对称,根据曲线的对称性 得到结果. 解答: 解:随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ 2) , ∴曲线关于 x=3 对称, ∵P(X>m)=0.3, ∴P(X>6﹣m)=1﹣0.3=0.7, 故答案为:0.7. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础 题,这种题目可以出现在选择或填空中,是一个送分题目.

14.已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(2,1)点 N(x,y)的坐标 x,y 满足不等式组

.则

的取值范围是 [1,6] .

考点: 简单线性规划;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用向量的数量积表示出 z= 何意义求最值即可. ,利用 z 的几

解答: 解:N(x,y)的坐标 x,y 满足不等式组 .



表示的可行域如图:由向量的数量积的几何意义可知, 当 N 在(3,0)时 取得最大值是(3,0) (2,1)=6,

在(0,1)时取得最小值为(2,1) (0,1)=1, 所以 的取值范围是[1,6].

故答案为:[1,6].

点评: 本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识,属于基础题.文科考 查线性规划问题都考查的比较浅,难度不大这与理科有所区别,本题就具备这个特点,只是 目标函数稍加变动. 15.设数列{an}的 n 项和为 Sn,且 a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}为等差数列,则{an}的通项公式 an= .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 令 bn=nSn+(n+2)an,由已知得 b1=4,b2=8,从而 bn=nSn+(n+2)an=4n,进一步 得到{ }是以 为公比,1 为首项的等比数列,由此能求出{an}的通项公式.

解答: 解:设 bn=nSn+(n+2)an, ∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=a2=1, ∴b1=4,b2=8, ∴bn=b1+(n﹣1)×(8﹣4)=4n, 即 bn=nSn+(n+2)an=4n 当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1+(1+ )an﹣(1+ ∴ = , )an﹣1=0

即 2?



∴{ ∴ ∴

}是以 为公比,1 为首项的等比数列, = . ,

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查等差数列的性质,解答的关键是注意构造法 和等差数列、等比数列的性质的合理运用,是中档题. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上) 16. (12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 a﹣2csinA=0. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c=2,求 a+b 的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinA 不为 0 求出 sinC 的值,由三角形 为锐角三角形,利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数; (Ⅱ)由 c 与 cosC 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,利用基本不 等式即可求出 a+b 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由 a﹣2csinA=0,及正弦定理,得 sinA﹣2sinCsinA=0, ∵sinA≠0, ∴sinC= ,

∵△ABC 是锐角三角形, ∴C= ; ,∴由余弦定理得:a2+b2﹣2abcos )2,即(a+b)2≤16, =4,即 a2+b2﹣ab=4,

(Ⅱ)∵c=2,C=

∴(a+b)2=4+3ab≤4+3?(

∴a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”, 则 a+b 的最大值是 4. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,基本不等式的运用,熟练掌握正弦、余弦定理是解本 题的关键. 17. (12 分)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的 个数分别为 2 个、3 个、4 个,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3 个,某人用左右手 分别从甲、乙两袋中取球. (1)若左右手各取一球,问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少?

(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成 功取法次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: (1)设事件 A 为“两手所取的球不同色” ,由此能求出 P(A)=1﹣ .

(2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2,左手所取的两球颜色相同的概率为

=



右手所取的两球颜色相同的概率为

= . 分别求出 P (X=0) , P (X=1) , P (X=2) ,

由此能求出 X 的分布列和 EX. 解答: 解: (1)设事件 A 为“两手所取的球不同色” , 则 P(A)=1﹣ .

(2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2, 左手所取的两球颜色相同的概率为 = ,

右手所取的两球颜色相同的概率为

= .

P(X=0)=(1﹣ P(X=1)= P(X=2)=

) (1﹣ )=

=

; = ;

=



∴X 的分布列为: X 0 P EX=0× +1× +2× = .

1

2

点评: 本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考 题型.解题时要认真审题,仔细解答,注意概率知识的灵活运用. 18. (12 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别是 CC1、BC 的中点, AE⊥ A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE;

(2)是否存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 说明点 D 的位置,若不存在,说明理由.

?若存在,

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (1)先证明 AB⊥AC,然后以 A 为原点建立空间直角坐标系 A﹣xyz,则能写出各 点坐标,由 与 共线可得 D(λ,0,1) ,所以 ? =0,即 DF⊥AE;

(2)通过计算,面 DEF 的法向量为 可写成 =(3,1+2λ,2(1﹣λ) ) ,又面 ABC 的法向量 =(0,0,1) ,令|cos< , >|= ,解出λ 的值即可.

解答: (1)证明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB, 又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面 A1ACC1, 又∵AC?面 A1ACC1,∴AB⊥AC, 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz, 则有 A(0,0,0) ,E(0,1, ) ,F( , ,0) ,A1(0,0,1) ,B1(1,0,1) , 设 D(x,y,z) , 则 D(λ,0,1) ,所以 ∵ =(0,1, ) ,∴ ? =( = 且 λ∈[0,1],即(x,y,z﹣1)=λ(1,0,0) , , ,﹣1) , =0,所以 DF⊥AE; .

(2)结论:存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 理由如下: 设面 DEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则 ,



=(

, , ) ,

=(

,﹣1) ,



,即



令 z=2(1﹣λ) ,则 =(3,1+2λ,2(1﹣λ) ) . 由题可知面 ABC 的法向量 =(0,0,1) , ∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ∴|cos< , >|= = ,即 ,

=



解得



(舍) ,所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求.

点评: 本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用,建立空间直角坐标系 是解决问题的关键,属中档题.

19. (12 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上顶点为 A,P( , )是 C 上的一点,以

AP 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题设可得 c2﹣ c+ =0①,又点 P 在椭圆 C 上,可得 ?a2=2

②,又 b2+c2=a2=2③,①③联立解得 c,b2,即可得解. (2)设动直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程消去 y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣ 2=0(﹡) ,由△=0,得 m2=2k2+1,假设存在 M1(λ1,0) ,M2(λ2,0)满足题设,则由

=|

|=1 对任

意的实数 k 恒成立.由

即可求出这两个定点的坐标.

解答: 解: (1)F(c,0) ,A(0,b) ,由题设可知 c2﹣ c+ =0①…(1 分) ?a2=2②

,得

又点 P 在椭圆 C 上,∴ b2+c2=a2=2③…(3 分) ①③联立解得,c=1,b2=1…(5 分) 故所求椭圆的方程为

+y2=1…(6 分)

(2)设动直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程,消去 y,整理, 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0(﹡) 方程(﹡)有且只有一个实根,又 2k2+1>0, 所以△=0,得 m2=2k2+1…(8 分) 假设存在 M1(λ1,0) ,M2(λ2,0)满足题设,则由 =| 意的实数 k 恒成立. 所以, 解得, 或 , |=1 对任

所以,存在两个定点 M1(1,0) ,M2(﹣1,0) ,它们恰好是椭圆的两个焦点.?(13 分) 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程的解法,考查了直线与圆锥曲线的关系,综合性较 强,属于中档题. ,若曲线 f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 e2x﹣y+e=0

20. (12 分)函数 f(x)=

垂直(其中 e 为自然对数的底数) . (1)若 f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)求证:当 x>1 时, > .

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得 a=1,求导数, 求单调区间和极值,令 m<1<m+1,解不等式即可得到取值范围;

(2)不等式



即为

?



,令 g

(x)=

,通过导数,求得



,令 h(x)=

,运用导

数证得 h(x)<h(1)=

,原不等式即可得证.

解答: 解: (1)∵f′(x)=



f(x)在点(e,f(e) )处的切线斜率为﹣ 由切线与直线 e2x﹣y+e=0 垂直, 可得 f′(e)=﹣ 解得得 a=1, ∴f(x)= ,f′(x)=﹣ (x>0) ,即有﹣ =﹣



当 0<x<1,f′(x)>0,f(x)为增函数; 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)为减函数. ∴x=1 是函数 f(x)的极大值点 又 f(x)在(m,m+1)上存在极值 ∴m<1<m+1 即 0<m<1 故实数 m 的取值范围是(0,1) ; (2)不等式 >

即为

?



令 g(x)=

则 g′(x)=



再令 φ(x)=x﹣lnx,则 φ′(x)=1﹣ =



∵x>1∴φ′(x)>0,φ(x)在(1,+∞)上是增函数, ∴φ(x)>φ(1)=1>0,g′(x)>0, ∴g(x)在(1,+∞)上是增函数, ∴x>1 时,g(x)>g(1)=2 故 > .

令 h(x)=

,则 h′(x)=



∵x>1∴1﹣ex<0,h′(x)<0,即 h(x)在(1,+∞)上是减函数 ∴x>1 时,h(x)<h(1)= ,

所以

>h(x) ,即





点评: 本题考查导数的运用:求切线的斜率、单调区间和极值,同时考查构造函数求导数, 判断单调性,运用单调性证明不等式,属于中档题. 选做题(请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分. 【选 修 4-1:几何证明选讲】 21. (10 分)如图,已知圆 O 外有一点 P,作圆 O 的切线 PM,M 为切点,过 PM 的中点 N, 作割线 NAB,交圆于 A、B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C,连续 PB 交圆 O 于点 D, 若 MC=BC. (1)求证:△ APM∽△ABP; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

考点: 与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 专题: 证明题. 分析: (I)由切割线定理,及 N 是 PM 的中点,可得 PN2=NA?NB,进而 = ,结合∠

PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,则∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由 MC=BC, 可得∠MAC=∠BAC,再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB,进而得到△APM∽△ABP (II)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即 PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM 是圆 O 的切线,可证得∠MCP=∠DPC,即 MC∥PD;再由平行四边形的判定定理得到四边形 PMCD 是平行四边形. 解答: 证明: (Ⅰ)∵PM 是圆 O 的切线,NAB 是圆 O 的割线,N 是 PM 的中点, 2 2 ∴MN =PN =NA?NB, ∴ = ,

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP, ∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA, . ∵MC=BC,

∴∠MAC=∠BAC, ∴∠MAP=∠PAB, ∴△APM∽△ABP?(5 分) (Ⅱ)∵∠ACD=∠PBN, ∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM, ∴PM∥CD. ∵△APM∽△ABP, ∴∠PMA=∠BPA ∵PM 是圆 O 的切线, ∴∠PMA=∠MCP, ∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC, ∴MC∥PD, ∴四边形 PMCD 是平行四边形.?(10 分) 点评: 本题考查的知识点是切割线定理,圆周角定理,三角形相似的判定与性质,平行四 边形的判定,熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 22.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 , 射线 OM: θ= 与圆 C 的交点为 O、 为参数) .以 O 为极点,x 轴

P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 考点: 简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 解: (I)利用 cos2φ+sin2φ=1,即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程.

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,联立即可解得.设(ρ2,θ2)为点

Q 的极坐标,同理可解得.利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出. 解答: 解: (I)利用 cos2φ+sin2φ=1,把圆 C 的参数方程 (x﹣1)2+y2=1, ∴ρ2﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ. 为参数)化为

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,解得



设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,由

,解得



∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2. 点评: 本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 23.已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f 不等式可得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x2+4x+1≥0,解此一元 二次不等式求得原不等式的解集. (Ⅱ)由 f(x)≤g(x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|,令 h(x)=|2x+1|﹣|x|,则 h(x)

=

,求得 h(x)的最小值,即可得到从而所求实数 a 的范围.

解答: 解: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x2+4x+1≥0, 解得 x≤﹣1 或 x≥﹣ ∴原不等式的解集为 (﹣∞,﹣1]∪[﹣ ,+∞) (Ⅱ)由 f(x)≤g(x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|,令 h(x)=|2x+1|﹣|x|,即 h(x)

=



故 h(x)min=h(﹣ )=﹣ ,故可得到所求实数 a 的范围为[﹣ ,+∞) . 点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,求函数的最值,属于中档 题.


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