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学案75 坐标系与参数方程


学案 75

坐标系与参数方程

导学目标:1.了解坐标系的有关概念,理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程 与直角坐标方程的互化.3.理解直线、 圆及椭圆的参数方程, 会进行参数方程与普通方程的互 化,并能进行简单应用.

自主梳理 1.极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线

Ox,叫做________;再选定 一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了 一个____________. 设 M 是平面上任一点,极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的________,记为 ρ;以 极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的________,记为 θ.有序数对(ρ,θ) 叫做点 M 的__________,记作(ρ,θ). 2.极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长 度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的 关 系 为 x = __________ , y = __________. 另 一 种 关 系 为 : ρ2 = __________ , tan θ = ______________. 3.简单曲线的极坐标方程 (1)一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 φ(ρ,θ)=0,并且坐标 适合方程 φ(ρ,θ)=0 的点都在曲线上,那么方程 φ(ρ,θ)=0 叫做曲线的____________. (2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程 ____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆; π ____________表示圆心在(r, )半径为|r|的圆; 2 ________表示圆心在极点,半径为|r|的圆. ②直线的极坐标方程 ____________表示过极点且与极轴成 α 角的直线; ____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线; π ____________表示过(b, )且平行于极轴的直线; 2 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)表示过(ρ0,θ0)且与极轴成 α 角的直线方程. 4.常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程 ?x=x0+lcos α, ? 若直线过(x0,y0),α 为直线的倾斜角,则直线的参数方程为? 这是直线 ? ?y=y0+lsin α. 的参数方程,其中参数 l 有明显的几何意义. (2)圆的参数方程 ? ?x=a+rcos α, 若圆心在点 M(a,b),半径为 R,则圆的参数方程为? 0≤α<2π. ? ?y=b+rsin α, (3)椭圆的参数方程 ? ?x=acos φ x2 y2 中心在坐标原点的椭圆 2 + 2=1 的参数方程为? (φ 为参数). a b ? ?y=bsin φ (4)抛物线的参数方程

?x=2pt2, ? 抛物线 y =2px(p>0)的参数方程为? ? ?y=2pt.
2

自我检测 1.(2010· 北京)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ? ?x=-1-t, 2.(2010· 湖南)极坐标方程 ρ=cos θ 和参数方程? (t 为参数)所表示的图形 ? ?y=2+3t 分别是( ) A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线

?x= 3+ 3cos θ, 3 x+ 2与圆心为 D 的圆? (θ∈[0,2π))交于 3 ?y=1+ 3sin θ A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为( ) 7 5 A. π B. π 6 4 4 5 C. π D. π 3 3 π 4. (2011· 广州一模)在极坐标系中, 直线 ρsin(θ+ )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. 4 ? ?x=cos α, 5.(2010· 陕西)已知圆 C 的参数方程为? (α 为参数),以原点为极点,x 轴正 ?y=1+sin α ? 半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角 坐标为________________.
3.(2010· 重庆)直线 y=

探究点一 求曲线的极坐标方程 a π a 例 1 在极坐标系中,以( , )为圆心, 为半径的圆的方程为________. 2 2 2

变式迁移 1 如图,求经过点 A(a,0)(a>0),且与极轴垂直的直线 l 的极坐标方程.

探究点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 2 (2009· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中, O 为极点, 轴正半轴为极轴建立坐标系. 以 x 曲

π 线 C 的极坐标方程为 ρcos?θ-3?=1,M、N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. ? ? (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

变式迁移 2 (2010· 东北三校第一次联考)在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直 π 2 线 l:ρsin(θ- )= , 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

探究点三 参数方程与普通方程的互化 例 3 将下列参数方程化为普通方程:

? (1)? 6k ?y=1+k
2

3k x= 1+k2
2

? ?x=1-sin 2θ ;(2)? ? ?y=sin θ+cos θ

?x=1-t ? 1+t ;(3)? t ? ?y=1+t

2 2

.

2

变式迁移 3 化下列参数方程为普通方程,并作出曲线的草图. ?x=1sin 2θ ? (1)? 2 (θ 为参数);

? ?y=sin θ+cos θ

?x= t (2)? 1 ?y= t

1 (t 为参数). t -1
2

探究点四 参数方程与极坐标的综合应用 ?x=2+2t ? 例 4 求圆 ρ=3cos θ 被直线? (t 是参数)截得的弦长. ? ?y=1+4t

? ?x=2cos α, 变式迁移 4 (2011· 课标全国)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为? ? ?y=2+2sin α. (α 为参数) → → M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 与 C1 的异于极点的交 3 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

本节内容要注意以下两点: 一、 简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中 ρ 和 θ 的具体 含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出.同直角坐标方程一样,由 于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.在没有充分理解极坐标的前提下,可先化 成直角坐标解决问题.二、在普通方程中,有些 F(x,y)=0 不易得到,这时可借助于 一个中间变量(即参数)来找到变量 x,y 之间的关系.同时,在直角坐标系中,很多比 较复杂的计算(如圆锥曲线),若借助于参数方程来解决,将会大大简化计算量.将曲线 的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的 x,y(它们都是 参数的函数)的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的 等价性.参数方程化普通方程常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减 消元等.同极坐标方程一样,在没有充分理解参数方程的前提下,可先化成直角坐标方 程再去解决相关问题.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

π 1.在极坐标系中,与点(3,- )关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( 3 2 π 4 5 A.(3, π) B.(3, ) C.(3, π) D.(3, π) 3 3 3 6 θ 2.曲线的极坐标方程为 ρ=2cos2 -1 的直角坐标方程为( ) 2 1 1 1 1 A.x2+(y- )2= B.(x- )2+y2= 2 4 2 4 1 2 2 2 2 C.x +y = D.x +y =1 4

)

π 3.(2010· 湛江模拟)在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sin θ,过点(4, )作曲线 C 6 的切线,则切线长为( ) A.4 B. 7 C.2 2 D.2 3 π 2 2 4.(2010· 佛山模拟)已知动圆方程 x +y -xsin 2θ+2 2· ysin(θ+ )=0(θ 为参数),那么 4 圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.抛物线的一部分 ? ?x=2+3cos θ, 5.(2010· 安徽)设曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 的方程为 x ? ?y=-1+3sin θ 7 10 -3y+2=0,则曲线 C 上到直线 l 距离为 的点的个数为( ) 10 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)
? ?x=t, 6.(2010· 天津)已知圆 C 的圆心是直线? (t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与直 ?y=1+t ? 线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为________.

?x=5t2, ? ?x= 5cos θ, 7.(2011· 广东)已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? 4 (t∈ ?y=sin θ ?y=t ?
R),它们的交点坐标为________.
?x=2cos α ? 8.(2010· 广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆 C 的参数方程为? (α ? ?y=2+2sin α 为参数),若以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的极坐标方程为 ________. 三、解答题(共 38 分) ?x=5cos φ, ? 9.(12 分)(2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参数)的 ? ?y=3sin φ ? ?x=4-2t, 右焦点,且与直线? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ? ?y=3-t

?x=3- 22t, 10.(12 分)(2010· 福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 5+ 2 t

(t

为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|.

? ? ?x=1+tcos α, ?x=cos θ, ? ? 11. 分)(2010· (14 课标全国)已知直线 C1: (t 为参数), C2: 圆 ?y=tsin α ?y=sin θ ? ? (θ 为参数). π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线.

学案 75
自主梳理 1.极轴 极坐标系 极径 极角

坐标系与参数方程
极坐标 2.ρcos θ ρsin θ x2+y2

y (x≠0) 3.(1) x 极坐标方程 (2)①ρ=2rcos θ ρ=2rsin θ ρ=r ②θ=α(ρ∈R) ρcos θ=a ρsin θ=b 自我检测 1.C 2.A 3.C 4.4 3 5.(-1,1),(1,1) 解析 ∵y=ρsin θ, ∴直线 l 的直角坐标方程为 y=1.

?x=cos α, ? 由? 得 x2+(y-1)2=1. ? ?y=1+sin α ?y=1, ?x=-1, ?x=1, ? ? ? 由? 2 得? 或? 2 ?x +?y-1? =1 ?y=1 ?y=1. ? ? ? ∴直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(-1,1)和(1,1). 课堂活动区 例 1 解题导引 求曲线的极坐标方程的步骤:①建立适当的极坐标系,设 P(ρ,θ)是 曲线上任意一点;②由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式;③将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方程;④证明所得 方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,这一证明可 以省略. 答案 ρ=asin θ,0≤θ<π 解析 圆的直径为 a,设圆心为 C,在圆上任取一点 A(ρ,θ),

π π 则∠AOC= -θ 或 θ- , 2 2 π 即∠AOC=|θ- |. 2 π 又 ρ=acos∠AOC=acos|θ- |=asin θ. 2 ∴圆的方程是 ρ=asin θ,0≤θ<π. 变式迁移 1 解 设 P(ρ,θ)是直线 l 上任意一点,OPcos θ=OA, 即 ρcos θ=a, 故所求直线的极坐标方程为 ρcos θ=a. 例 2 解题导引 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易, 只要运用公式 x=ρcos θ 及 y =ρsin θ 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问 题常通过变形,构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘 以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解, 因此应注意对变形过程的检验. π 解 (1)由 ρcos?θ-3?=1 得 ? ? 1 3 ρ? cos θ+ sin θ?=1. 2 ?2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2,当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π? 当 θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2? (2)M 点的直角坐标为(2,0). 2 3 N 点的直角坐标为(0, ). 3 3 所以 P 点的直角坐标为?1, ?, 3? ? 2 3 π? 则 P 点的极坐标为? , ? 3 ,6?

π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈(-∞,+∞). 6 变式迁移 2 解 (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0. π 2 直线 l:ρsin(θ- )= ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 4 2 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1, 即 x-y+1=0. ?x2+y2-x-y=0, ?x=0, ? ? (2)由? 得? ? ? ?x-y+1=0 ?y=1. π 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1, ). 2 例 3 解题导引 参数方程通过消去参数化为普通方程. 对于(1)直接消去参数 k 有困难, 可通过两式相除, 先降低 k 的次数, 再运用代入法消去 k; 对于(2)可运用恒等式(sin θ+cos θ)2 1-t2 2 2t 2 =1+sin 2θ 消去 θ;对于(3)可运用恒等式( ) +( ) =1 消去 t. 1+t2 1+t2 另外,参数方程化为普通方程时,不仅要消去参数,还应注意普通方程与原参数方程的 取值范围保持一致. y 3· 2x y y 解 (1)两式相除,得 k= .将 k= 代入,得 x= . 2x 2x y 2 1+? ? 2x 2 2 化简,得所求的普通方程是 4x +y -6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得 y2=2-x. 又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程是 y2=2-x,x∈[0,2]. 1-t2 2 2t 2 (3)由( ) +( ) =1, 1+t2 1+t2 2 2 得 x +4y =1. 1-t2 又 x= ≠-1, 1+t2 得所求的普通方程是 x2+4y2=1(x≠-1). 变式迁移 3 解 (1)由 y2=(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1+2x, 得 y2=2x+1. 1 1 1 1 1 ∵- ≤ sin 2θ≤ ,∴- ≤x≤ . 2 2 2 2 2 ∵- 2≤sin θ+cos θ≤ 2,∴- 2≤y≤ 2. 故所求普通方程为 1 1 1 y2=2?x+2? (- ≤x≤ ,- 2≤y≤ 2),图形为抛物线的一部分. ? ? 2 2 图形如图甲所示. 1 1 2 t2-1 1 (2)由 x2+y2=? t ?2+? t t -1?2=1 及 x= ≠0,xy= 2 ≥0 知,所求轨迹为两段圆 ? ? ? ? t t 2 2 弧 x +y =1 (0<x≤1,0≤y<1 或-1≤x<0,-1<y≤0). 图形如图乙所示.

例 4 解题导引 一般将参数方程化为普通方程,极坐标方程化成直角坐标方程解决. 解 将极坐标方程转化成直角坐标方程: ρ=3cos θ 即:x2+y2=3x, ? 3 9 ?x=2+2t 即(x- )2+y2= .? 即:2x-y-3=0. 2 4 ?y=1+4t ? 3 |2× -0-3| 2 所以圆心到直线的距离 d= 2 =0, 2 +?-1?2 即直线经过圆心, 所以圆被直线截得的弦长为 3. x y 变式迁移 4 解 (1)设 P(x,y),则由条件知 M( , ). 2 2 由于 M 点在 C1 上, x =2cos α, ? 2 ?x=4cos α, 所以 即? y ?y=4+4sin α. ? =2+2sin α, 2

? ? ?

? ?x=4cos α, 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) ? ?y=4+4sin α. (2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3 π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3. 课后练习区 1.B [由于极径不变,极角关于极轴对称, π ∴其对称点为(3, ).故选 B.] 3 θ 2.B [∵ρ=2cos2 -1,∴ρ2=ρcos θ 即 x2+y2=x, 2 12 2 1 ∴(x- ) +y = .] 2 4 π 3.C [ρ=4sin θ 化为普通方程为 x2+(y-2)2=4,点(4, )化为直角坐标为(2 3,2), 6 切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形,由勾股定理:切线长为

?2 3?2+?2-2?2-22=2 2,故选 C.] 4.D [圆心轨迹的参数方程为 1 x= sin 2θ, 2

? ? ?y=-

π 2sin?θ+ ?, 4

?x=sin θcos θ, ? 即? ? ?y=-?sin θ+cos θ?,

1 1 消去参数得 y2=1+2x(- ≤x≤ ),故选 D.] 2 2 ?x=2+3cos θ, ? 5.B [∵曲线 C 的方程为? (θ 为参数), ? ?y=-1+3sin θ ∴(x-2)2+(y+1)2=9,而 l 为 x-3y+2=0, |2+3+2| 7 7 10 7 10 14 10 ∴圆心(2,-1)到 l 的距离 d= = = .又∵ <3, >3,∴有 2 10 10 10 10 1+9 个点.] 6.(x+1)2+y2=2 ? ?x=t, 解析 直线? (t 为参数)与 x 轴的交点为(-1,0),故圆 C 的圆心为(-1,0).又圆 ? ?y=1+t |-1+0+3| C 与直线 x+y+3=0 相切,∴圆 C 的半径为 r= = 2,∴圆 C 的方程为(x+1)2 2 +y2=2. 2 5 7.(1, ) 5 x2 解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为 +y2=1(0≤y≤1,- 5<x≤ 5)和 y2 5 4 2 5 = x,联立解得交点坐标为(1, ). 5 5 8.ρ=4sin θ 解析 由参数方程消去 α 得圆 C 的方程为 x2+(y-2)2=4, x=ρcos θ, 将 y=ρsin θ 代入 得(ρcos θ)2+(ρsin θ-2)2=4,整理得 ρ=4sin θ. 9.解 由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,从而 c= a2-b2=4,所以 右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0.(6 分) 1 1 故所求直线的斜率为 ,因此其方程为 y= (x-4),(8 分) 2 2 即 x-2y-4=0.(12 分) 10.解 方法一 (1)ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0, 即 x2+(y- 5)2=5.(4 分) (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 2 2 (3- t)2+( t)2=5,即 t2-3 2t+4=0.(6 分) 2 2

?t1+t2=3 2, 由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以? t2 ?t1· =4.
又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.(12 分) 方法二 (1)同方法一. (2)因为圆 C 的圆心为点(0, 5),半径 r= 5,直线 l 的普通方程为 y=-x+3+ 5.(8 分)
2 2 ?x +?y- 5? =5, 由? 得 x2-3x+2=0. y=-x+3+ 5 ?

?x=1, ?x=2, 解得? 或? (10 分) ?y=2+ 5 ?y=1+ 5.
不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5),又点 P 的坐标为(3, 5),

故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2.(12 分) π 11.解 (1)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1,联 3

?y= 3?x-1?, 1 3 立方程组? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),( ,- ).(7 分) 2 2 ?x +y =1, (2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin2α,-cos αsin α), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 x= sin2α, 2 (α 为参数).(9 分) 1 y=- sin αcos α 2 1 1 P 点轨迹的普通方程为(x- )2+y2= .(12 分) 4 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. 4 4 (14 分)

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