当前位置:首页 >> 高二数学 >>

必修4第二章《平面向量的应用举例》


学科教师辅导讲义
讲义编号_
学员编号: 学员姓名: 课 题 年 级: 辅导科目: 课时数:3 学科教师:何群

数学

平面向量的应用举例

授课日期及时段 1.知识与技能: 运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析几何中 直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题 2.过程与方法: 通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法 3.情感、态度与价值观: 通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用,增强学生的积极主动的探 究意识,培养创新精神。 教学内容

教学目的

一、课前检测
1. a ? 6 3, b ? 1, a ?b ? ?9 ,则 a 与 b 的夹角是 A.
? ? ? ?

?

?



B



120? B. 150? C. 60 ? D. 30 ? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ?? ? 2.设 a, b, c 是任意的非零向量,且相互不共线,则(1) (a? (2) (b? b)c ?(c? a)b =0; c)a ? (c? a)b 不与 c 垂

直 ; ( 3 ) a ? b ? a ? b ; ( 4 ) (3a ? 2b)?(3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b ( C ) A. (1) (2) B. (2) (3) C.(3) (4) D. (2) (4)

?

?

?

?

?

?

?

?

?2

?2

中 , 是 真 命 题 的 有

? ? ? ? ? ? 3.已知 a ? a, b ? b, a 与 b 的夹角是 ? ,则 a ? b 等于

(

C

)

A. C.

a2 ? b2 ? 2ab cos? a2 ? b2 ? 2ab cos?

B. D.

a2 ? b2 ? 2ab sin? a2 ? b2 ? 2ab sin?

? ? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则( C )
A

? ? a⊥e
? ?

B

? ? ? a ⊥( a - e )

C

? ? ? e ⊥( a - e )
? ?

D

? ? ? ? ( a + e )⊥( a - e )

5.已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么 | a ? 3b | =( C ). A. 7 B. 10 C. 13 D.4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CA ? CA?AB 的值等于 -25 6.已知平面上三点 A、 B、 C 满足 | AB |? 3,| BC |? 4,| CA |? 5, 则 AB?BC ? BC ?
OC ? OC ? OA ? OA? OB ,则 O 是 ?ABC 的___垂____心。 7.设 O 为 ?ABC 内一点, OB? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ?

.

8.已知 a ? ( x,2 x), b ? (?3x,2), 如果 a 与 b 的夹角是钝角,则 x 的取值范围是_ x ?

?

?

?

?

4 1 或 x ? 0 且 x ? ? ___。 3 3

二、知识梳理
(一) 、平面向量在代数中的应用 例 1.已知 a ? cos?, sin ? , b ? cos ?, sin ? ,其中 0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)求证: a + b 与 a - b 互相垂直; (2)若 k a ? b 与 k a ? b ( k ? 0 )的长度相等,求 ? ? ? 。 解析: (1)因为 ( a + b ) ·( a - b ) ? a ? a · b + b · a - b
? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? a ? b ?| a |2 ?| b |2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1?1 ? 0
所以 a + b 与 a - b 互相垂直。 (2) k a + b ? k cos? ? cos ?,k sin ? ? sin ? ,
? ?
? ? ? ?

?2

?2

?

?

?

?

k a ? b ? ?k cos? ? cos ?,k sin ? ? sin ? ? ,
所以 | k a ? b| ?
? ? ? ?

?

?

k 2 ? 2k cos?? ? ? ? ? 1 ,

| k a ? b| ? k 2 ? 2k cos?? ? ? ? ? 1 ,
因为 | k a ? b | ?| k a ? b | , 所以 k 2 ? 2k cos?? ? ? ? ? 1 ? k 2 ? 2k cos?? ? ? ? ? 1 , 有 2k cos?? ? ? ? ? ?2k cos?? ? ? ? , 因为 k ? 0 ,故 cos?? ? ? ? ? 0 , 又因为 0 ? ? ? ? ? ?,0 ? ? ? ? ? ? , 所以 ? ? ? ?
? ? ? ?

?
2



点评:平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题, 其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解 题过程得到简化,从而提高解题的速度。 (二) 、力的合成问题 例 2、 两个大小相等的共点力 , 当它们间夹角为 时, 合力的大小为 20N, 则当它们的夹角为 时, 合力的大小为 ( A、40N B、 C、 D、 分析:力的合成关键是依平行四边形法则,求出力的大小,然后再结合平行四边形法则求出新的合力.



解析:对于两个大小相等的共点力 ,当它们间夹角为 时,合力的大小为 20N 时,这二个力的大小都是 N,对于它 们的夹角为 时,由三角形法则,可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为 N. 正确答案为 B. 点评:力的合成可用平行四边形法则,也可用三角形法则,各有优点,但实质是相通的,关键是要灵活掌握;对于 第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是 ,这样就会错选答案 D. 类题练习 1:已知作用在 点的三个力 则合力 的终点坐标是( ) A、 B、 C、 D、 解析:对于力的合成问题用坐标法,实际是相量的加法问题,因此 的终点坐标是 ,因此选 A. (三) 、功的求解问题 例 3、一个物体受到同一平面内的三个力 的作用,沿北偏东 的方向移动 ,其中, ,方向为北偏东 , ,方向为东 偏北 , ,方向为西偏北 ,则合力所作的功是 分析:这是一个物理中的功的求解问题,对于功的求解一般是用向量的点积,但点积的运算有向量法和坐标法两种, 对于易建立坐标系的情况还是用坐标法求解为好. 解析:对于题意建立平面直角坐标如图所示,根据图示求出各处力的向量坐标可得: 因此合力 ,而 ,这样其所做的功为 ,即合力所做的功为 . 点评:对于功的求解要注意力用坐标,位移也可用坐标表示,然后用坐标法求向量的点积,然后求出合力所做的功. 类题练 2:已知一物体在共点力 的作用下产生位移 ,则共点力对物体所做的功为( ) A、4 B、3 C、7 D、2 解析:对于合力 ,其所做的功为 .因此选 C. (四) 、速度合成问题 例 4、人骑自行车的速度为 ,风速为 ,则逆风行驶的速度大小为( ) A、 B、 C、 D、 分析:对于速度的合成问题,关键是运用向量的合成进行处理,本题的方向相反,大小就相减. 解析:对于逆风行驶其速度大小为 ,因此宜选 C. 点评:速度的合成主要是要根据向量的三角形法则或平行四边形法则进行求解,因此对于逆风或顺风问题速度的大 小可通过相减或相加可得. 类题练 3、某人以时速为 向东行走,此时正刮着时速为 的南风,则此人感到的风向及风速为( ) A、东北, B、东南, C、西南, D、东南, 解析:如图所示,对于速度的合成由三角形法则可得其西面风的大小为 ,因此可选 C. (五) 、船的航行问题 例 5、 一艘船从 A 点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时河水流速为 , 求船实际航行的速度的大小与方向. 分析:这是一个船行问题,处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则,当然要注意船的实际航速和航向, 船在静水中的航速和航向. 解析:如图所示,由向量的三角形法则知,对于 2 , ,得 ,方向为逆水流与水流成 夹角. 点评:对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行,当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船 在静水中的航速和航向.

三、重难点突破
题型 1:平面向量在代数中的应用 例 1.已知 a ? b ? 1,c ? d ? 1,求证:| ac ? bd | ? 1 。
2 2 2 2

分析: a ? b ? 1,c ? d ? 1,可以看作向量 x ? (a,b), y ? (c,d ) 的模的平方,而 ac ? bd 则是 x 、 y 的
2 2 2 2

数量积,从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明:设 x ? (a,b), y ? (c,d )

则 x ? y ? ac ? bd, | x |?

a 2 ? b 2, | y |? c 2 ? d 2 。

?| x ? y |?| x | ? | y | , ?| ac ? bd |? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? 1
点评:在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如

| a ? b| ?| a|?|b| ,| a ? b| ?| a|?|b| ;a ? b ?| a ? b| ?| a|| ? b| 等。
例 2、已知△ABC 的外接圆半径为 1,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.向量 m=(a,4cosB),n=(cosA,b)满 足 m∥n. (1)求 sinA+sinB 的取值范围; (2)若实数 x 满足 abx=a+b,试确定 x 的取值范围. 解:(1)因为 m∥n,所以 a 4cosB = ,即 ab=4cosAcosB. b cosA

因为△ABC 的外接圆半径为 1,由正弦定理,得 ab=4sinAsinB. 于是 cosAcosB-sinAsinB=0,即 cos(A+B)=0. π 因为 0<A+B<π.所以 A+B= .故△ABC 为直角三角形. 2 π sinA+sinB=sinA+cosA= 2sin(A+ ), 4 π π 3π 因为 <A+ < , 4 4 4 所以 π 2 <sin(A+ )≤1,故 1<sinA+sinB≤ 2. 2 4

a+b 2(sinA+sinB) sinA+cosA (2)x= ab = = . 4sinAsinB 2sinAcosA 设 t=sinA+cosA(1<t≤ 2),则 2sinAcosA=t2-1, -(1+t ) t x= 2 ,因为 x′= 2 <0, t -1 (t -1)2 t 故 x= 2 在(1, 2]上是单调递减函数. t -1 t 所以 2 ≥ 2.所以实数 x 的取值范围是[ 2,+∞). t -1 x x x x 例 3.已知向量 m=(cos ,cos ),n=(cos ,sin ),且 x∈[0,π],令函数 f(x)=2a m· n+b. 2 2 2 2 (1)当 a=1 时,求 f(x)的递增区间; (2)当 a<0 时,f(x)的值域是[3,4],求 a、b. 解:f(x)=2a m· n+b x 1 =2a(cos2 + sinx)+b 2 2
2

1 1 1 =2a( cosx+ sinx+ )+b 2 2 2 =a(sinx+cosx)+a+b π = 2asin(x+ )+a+b. 4 π (1)当 a=1 时,f(x)= 2sin(x+ )+1+b. 4 π π π 令- +2kπ≤x+ ≤ +2kπ, 2 4 2 π 3 得- π+2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z), 4 4 π 又 x∈[0,π],∴f(x)的递增区间为[0, ]. 4 (2)当 a<0 时,∵x∈[0,π], π π 5π π 2 ∴x+ ∈[ , ],∴sin(x+ )∈[- ,1]. 4 4 4 4 2 π 2 当 sin(x+ )=- 时,f(x)=-a+a+b=b, 4 2 ∴f(x)的最大值为 b. π 当 sin(x+ )=1 时,f(x)= 2a+a+b=(1+ 2)a+b. 4 ∴f(x)的最小值为(1+ 2)a+b.

?(1+ 2)a+b=3, ∴? ?b=4,

解得 a=1- 2,b=4.

题型 2:平面向量在几何图形中的应用 例 4.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角。 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,点 P 是⊙O 上任一点(不与 A、B 重合) ,求证:∠APB=90°。

证明:联结 OP,设向量 OA ? a,OP ? b ,则 OB ? ? a 且 PA ? OA ? OP ? a ? b , PB ? OB ? OP ? a ? b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? PA? PB ? b 2 ? a 2 ?| b | 2 ? | a | 2 ? 0

? ? ? PA ? PB,即∠APB=90°。
点评:平面向量是一个解决数学问题的很好工具,它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和 相关学科中有着广泛的应用。 例 2.设向量 a,b 满足:|a|=3,|b|=4,a· b=0,以 a,b,a-b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1

的圆的公共点个数最多为 A.3 B.4 C .5

(

) D.6

解析:当圆与三角形两边都相交时,有 4 个交点,本题新构造的三角形是直角三角形,其内切圆半径恰好为 1.故它与半径为 1 的圆最多有 4 个交点. 答案:B 例 5、已知| OA |=1,| OB |= 3, OA · OB =0, 点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30° ,设 OC =m OA +n OB m (m,n∈R),则 等于 n 1 A. 3 B.3 C. 3 3 D. 3 ( )

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

OB =0, 解析:| OA |=1,| OB |= 3, OA ·
∴OA⊥OB,且∠OBC=30° , 又∵∠AOC=30° ,∴ OC

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

⊥ AB .

??? ?

∴(m OA +n OB )· ( OB - OA )=0, ∴-m OA 2+n OB 2=0, ∴3n-m=0, m 即 m=3n,∴ =3. n 答案:B 题型 3:平面向量在物理中的应用 例 6.如图所示,正六边形 PABCDE 的边长为 b,有五个力 PA、PB、PC、PD 、 P E 作用于同一点 P,求五个 力的合力

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

?

?

?

解析:所求五个力的合力为 PA ? PB ? PC ? PD ? PE ,如图 3 所示,以 PA、PE 为边作平行四边形 PAOE,则

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? PO ? PA ? PE ,由正六边形的性质可知 | PO |?| PA |? b ,且 O 点在 PC 上,以 PB、PD 为边作平行四边形 PBFD,
则 PF ? PB? PD,由正六边形的性质可知 | PF |? 3b ,且 F 点在 PC 的延长线上。

?

? ?

?

由正六边形的性质还可求得 | PC |? 2b 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为 b ? 2b ? 3b ? 6b ,方向与 PC 的方向相同。

?

?

四、课堂作业
1、已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么 ( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 答案 解析 查. 取 a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 2 、 已 知 O 为 坐 标 原 点 ,
??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? ???? ? OM ? ? ?1, 1? , NM ? ? ?5, 5? , 集 合 A ? OR RN ? 2 , OP, OQ ? A , 且

)

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

D 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考

?

?

???? ???? ? ???? ???? ? MP ? ? MQ ? ? ? R, 且? ? 0?,则 MP ? MQ ?

46

3、设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 答案 B 解析

??? ? ??? ?

??? ?

) D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ? ??? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ? ??? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ?

?

:因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。

??? ? ??? ?

??? ?

【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答. 4、 已知 O, N, P 在 ?ABC 所在平面内, 且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 , 且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA , 则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 答案 C B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心 ( )

(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)

由NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 解析由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心;

? PA ? PB ? PB ? PC, ? PA ? PC ? PB ? 0, ? CA ? PB ? 0,? CA ? PB, 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
5. 若向量 a= ? x, 2x ? ,b= ? ?3x, 2? ,且 a,b 的夹角为钝角, 则 x 的取值范围是 .

?

?

? ? 1 , 0 ? 4 , ? ?? ???, ? 1 3? ? 3 ? ? 3
( )

6.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , c ? (a ? b) ,则 c ? A. ( , ) 答案 解析 D

7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

不妨设 C ? (m, n) , 则 a ? c ? ?1 ? m, 2 ? n ? , a ? b ? (3, ?1) , 对于 c ? a // b , 则有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;

??

? ?

? ?

?

? ?

?

?

又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ?

?

?

? ?

?

7 9

7 3

【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现了平面 向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.

7. 对于 n 个向量, a1 ,a2 ,? ,an , 若存在 n 个不全为零的实数 k1 , k2 ,?kn , 使得

k1a1 ? k2a2 ? ? ? knan ? 0 成 立 , 则 称 向 量 a1 ,a2 ,? ,an , 是 线 性 相 关 的 . 按 此 规 定 , 能 使 向 量 a1 ? (1,0), a2 ? (1, ?1), a3 ? (2, 2) 是线性相关的实数 k1 , k2 , k3 的值依次为
线性相关的定义得 k1 (1,0) ? k2 (1, ?1) ? k3 (2, 2) ? 0 , ? ? 的一组值为-4,2,1 8. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) , 则 cos ? ? . .(只需写出一组值即可)根据

?k1 ? k2 ? 2k3 ? 0 令 k3 ? 1则 k2 ? 2 , k1 ? ?4 ,∴ k1 , k2 , k3 ? ? k 2 ? 2 k3 ? 0

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? a ?b 9 3 10 ? ? ? .解:设向量 a 与 b 的夹角为 ? , 且 a ? (3,3),2b ? a ? (?1,1) ∴ b ? (1,2) ,则 cos ? ? ? ? ? = . 10 a ?b 3 2? 5
9. 设定义域为[x1,x2]的函数 y=f(x)的图象为 C,图象的两个端点分别为 A、B,点 O 为坐标原点,点 M 是 C 上任 →=(x ,y ) →= 意一点,向量→ OA=(x ,y ) ,OB ,→ OM=(x,y) ,满足 x=λ x +(1-λ )x (0<λ <1) ,又有向量ON
1 1 2 2 1 2

→+(1-λ )→ λ OA OB,现定义“函数 y=f(x)在[x1,x2]上可在标准 k 下线性近似”是指|→ MN|≤k 恒成立,其中 k>0, k 为常数。根据上面的表述,给出下列结论:①A、B、N 三点共线;②直线 MN 的方向向量可以为→ a =(0,1) ;③“函 5 2 2 数 y=5x 在[0,1]上可在标准 下线性近似”.④“函数 y=5x 在[0,1]上可在标准 1 下线性近似”; 其中所有正 4 1 、○ 2 、○ 3 确结论的序号为_______________.○

10. P 为Δ ABC 所在平面上的点,且满足 AP = AB +

? ??? ? ??? ? 1 ??? AC ,则Δ ABP 与Δ ABC 的面积之比是_______.1∶2 2

五、课堂小结
本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题; 掌握向量法和坐标法,以及用向量解决平面几何问题的步骤

六、课后作业
1.已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin2x),其中 x∈(0,π).若|a· b|=|a|· |b|,则 tanx 的值等于( A.1 B.-1 C. 3 D. 2 2 )

解析:由|a· b|=|a|· |b|知,a∥b. 所以 sin2x=2sin2x, 即 2sinxcosx=2sin2x,而 x∈(0,π),所以 sinx=cosx, π 即 x= ,故 tanx=1. 4 答案:A 2.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 AP =2 PM ,则 PA · ( PB + PC )等于 ( ) 4 A.- 9 4 B.- 3 C. 4 3 4 D. 9

??? ?

????

??? ? ??? ?

??? ?

? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ???? 2 1 4 解析: PA · ( PB + PC )= PA 2 PM = × 2× cosπ=- . 3 3 9
答案:A 3.设 a、b、c 是单位向量,且 a· b=0,则(a-c)· (b-c)的最小值为 A.-2 B. 2-2 C.-1 D.1- 2 ( )

解析:(a-c)· (b-c)=a· b-c· (a+b)+c2 =0-|c|· |a+b|· cos〈c,(a+b)〉+1 ≥0-|c||a+b|+1=- (a+b)2+1 =- a2+b2+2a· b+1=- a2+b2+1 =- 2+1. 答案:D 4.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1,F2 成 60° 角,且 F1,F2 的大 小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 A.6 B.2 C.2 5 ( ) D.2 7

解析:因为力 F 是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知 F3 的大小等于以 F1、F2 为邻边的平行四边 形的对角线的长,故|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|· |F2|· cos60° =4+16+8=28,∴|F3|=2 7. 答案:D

5.已知向量 a=(cosθ,sinθ),向量 b=( 3,-1),则|2a-b|的最大、小值分别是 A.4 2,0 B.4,2 2 C.16,0 D.4,0

(

)

π π 解析:由于|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a· b=8-4( 3cosθ-sinθ)=8-8cos(θ+ ),易知 0≤8-8cos(θ+ )≤16, 6 6 故|2a-b|的最大值和最小值分别为 4 和 0. 答案:D 6.在△ABC 中,( BC + BA )·AC =| AC |2,则三角形 ABC 的形状一定是 C.直角三角形 A.等边三角形 D.等腰直角三角形 B.等腰三角形

??? ?

? ??? ? ???

??? ?

(

)

解析:由 ( BC ? BA) ?AC ? AC ,

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?2

???? ??? ?????? ???? 得 AC ?( BC ? BA ? AC ) ? 0, ???? ??? ? ??? ? ??? ? 即 AC ?( BC ? BA ? CA) ? 0,

∴ AB + BC ? CA ? 0, ∴ AC ⊥ BA ,∴∠A=90°. 答案:C 7.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量 MN 的 模为 .

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

解析:∵a∥b,∴x=4,∴b=(4,-2), ∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).∵(a+b)⊥(b-c), ∴(a+b)· (b-c)=0,即 6-3(-2-y)=0,∴y=-4, 故向量 MN =(-8,8),| MN |=8 2. 答案:8 2 8.若平面上三点 A、B、C 满足| AB |=3,| BC |=4,| CA |=5,则 AB · CA + CA ·AB 的值等 BC + BC · 于 .

???? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ???

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 解析:由 AB + BC + CA =0 可得 ( AB ? BC ? CA)2 =0, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴9+16+25+2 ( AB?BC ? BC ? CA?AB)2 ? 0,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB?BC ? BC ? CA?AB ? ?25.
答案:-25 9.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a· b=a· c,则 b=c. ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3. ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60° . 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).

解析:命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得 1× 6+2k=0,k=-3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|, 再结合平行四边形法则可得 a 与 a+b 的夹角为 30° ,命题③错误. 答案:② 10.已知向量 a= (1,2),b=(2,-2). (1)设 c=4a+b,求(b· c)a; (2)若 a+λb 与 a 垂直,求 λ 的值; (3)求向量 a 在 b 方向上的投影. 解:(1)∵a=(1,2),b=(2,-2), ∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b· c=2× 6-2× 6=0, ∴(b· c)a=0a=0. (2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ), 由于 a+λb 与 a 垂直, 5 ∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ= . 2 (3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ, 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cosθ. 2+2× (-2) a· b 1× ∴|a|cosθ= = 2 |b| 2 +(-2)2 =- 2 =- . 2 2 2 2

11.在△ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cosA,sinA),向量 n=( 2-sinA,cosA),若|m +n|=2. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 2,且 c= 2a,求△ABC 的面积. 解:∵(1)|m+n|2 =(cosA+ 2-sinA)2+(sinA+cosA)2 π =4+2 2(cosA-sinA)=4+4cos( +A), 4 π π ∴4+4cos( +A)=4,∴cos( +A)=0, 4 4 π π π ∵A∈(0,π),∴ +A= ,∴A= . 4 2 4 (2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccosA, π 即 a2=(4 2)2+( 2a)2-2× 4 2× 2acos , 4 解得 a=4 2,∴c=8,

1 1 2 ∴S△ABC= bcsinA= × 4 2× 8× =16. 2 2 2 x x x 12.(2010· 临沂模拟)已知向量 m=( 3sin ,1),n=(cos ,cos2 ). 4 4 4 2π (1)若 m· n=1,求 cos( -x)的值; 3 (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A) 的取值范围. x x x 解:(1)∵m· n=1,即 3sin cos +cos2 =1, 4 4 4 即 3 x 1 x 1 sin + cos + =1, 2 2 2 2 2

x π 1 ∴sin( + )= . 2 6 2 2π 2π π ∴cos( -x)=cos(x- )=-cos(x+ ) 3 3 3 =- 1 1 =2· ( )2-1=- . 2 2 (2)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C), ∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0, π 1 ∴cosB= ,B= , 2 3 2π ∴0<A< . 3 π A π π 1 A π ∴ < + < , <sin( + )<1. 6 2 6 2 2 2 6 x π 1 又∵f(x)=m· n=sin( + )+ , 2 6 2 A π 1 ∴f(A)=sin( + )+ . 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 2


相关文章:
...二章平面向量课时训练2.5《平面向量的应用举例》
人教A版高中数学必修四 第二章平面向量课时训练2.5《平面向量的应用举例》_数学...4 ? 所以,力 F3 的大小为 F3 = 28 ? 2 7 . 3. 2 2 1 =28. 2 ...
必修4第二章2.5平面向量应用举例
-1- 1 对 1 个性化教案学 生教师课题重点难点 1.平面几何中的向量方法 2.向量在物理中的应用举例知识点回顾: 1.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移...
人教A版高中数学必修四 第二章 平面向量 《平面向量应...
人教A版高中数学必修四 第二章 平面向量 《平面向量应用举例》学习过程_教学案例...1 . uuu r 2 4 1 BG ? ( , ? , ) 3 3 3 , 所以 , uuu r BA...
数学必修4_第二章_平面向量知识点
数学必修4_第二章_平面向量知识点_高一数学_数学_高中教育_教育专区。平面向量...y 2 2 2 2.5 平面向量应用列举 1、 线段的定比分点 (1)定义:设 P1,P2...
...章第4-5节平面向量的数量积及平面向量的应用举例-18...
年 级 高一 王志国 李秀卿 学 科 数学 版 本 人教新课标 A 版 课程标题 编稿老师 一校 必修 4 第二章第 4-5 节平面向量的数量积及平面向量的应用举例 ...
高中数学必修4平面向量常考题型:平面向量应用举例
高中数学必修4平面向量常考题型:平面向量应用举例_高一数学_数学_高中教育_教育专区。平面向量应用举例 【知识梳理】 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (...
必修四 向量第二章 2.5平面向量应用举例
必修四 向量第二章 2.5平面向量应用举例_数学_高中教育_教育专区。1.设平面上...答案:5 →→→ 4.在△ABC 中,已知|AB|=|AC|=4,且AB·AC=8,则这个三角...
必修4第2章(第9课时)平面向量应用举例⑴
必修4第2章(第9课时)平面向量应用举例⑴_政史地_高中教育_教育专区。必修 4 第 2 章(第 9 课时)平面向量应用举例⑴ 王新敞 课 题: 2.5.1 平面几何中的...
第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案(含解析)新人教...
第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案(含解析)新人教A版必修4_高中教育_教育专区。2.5 平面向量应用举例 [导入新知] 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲...
必修4第二章 平面向量
必修4第二章 平面向量_数学_高中教育_教育专区。第二章 平面向量 本章内容介绍...三、应用举例: 例二(P94—95)略 练习:P95 四、小结 1、向量加法的几何意义...
更多相关标签: