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3高中数学立体几何常考证明题汇总


新课标立体几何常考证明题汇总
例 1(2009 全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 2

DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60°
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。

例 2.(2009 山东卷理) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 A1 D1 C1 B1 D E A F B C

E1

1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。 A E B F C 考点:证平行(利用三角形中位线) ,异面直线所成的角
1

H D G

2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 A 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 B E

C

D A
1

D1

B1 考点:线面垂直,面面垂直的判定

E

C
1

E 是 AA1 的中点, 3、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE 。 求证: AC 1 // 平面
B

A

D

C

考点:线面平行的判定 4、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .
?

S

D A C B

考点:线面垂直的判定 5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

D1 A1 B1

C1

2

D O A B

C

求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1

考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定 6、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

考点:线面垂直的判定 7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. A1 E D A D1 B1 F G B C C1

考点:线面平行的判定(利用平行四边形) 8、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ?

2 AC , 2

?BDC ? 90? ,求证: BD ? 平面 ACD

考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形

M 是 PC 的中点, N 是 AB PA ? PB, CB ? 平面 PAB , 9、 如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点,

P

上的点,

AN ? 3NB
3
C

M

A N

B

? (1)求证: MN ? AB ; (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2 BC ? 4 时,求 MN 的长。

考点:三垂线定理

E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥ 10、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
平面 BDG .

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)

E 是 AA1 的中点. 11、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE ; (1)求证: AC 1 // 平面
(2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE .

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定 12、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形 13 、如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的
0

4

菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小.

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO 14、如图 1,在正方体 ABCD ? A ? 平面 MBD. 1B 1C1D 1 中, 1

考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD.

考点:线面垂直的判定 16、证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D
5

D1 A1 B1

C1

D A B

C

考点:线面垂直的判定,三垂线定理 17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证: 平面 ABC⊥平面 BSC.

6


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