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2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第28讲算术平均数与几何平均数


共 57 页 第二十八讲 算术平均数与几何平均数 答案:B 考点陪练 答案:D 答案:B 答案:B 答案:D 类型一 利用基本不等式证明不等式 解题准备:证明 不等式时应根据求证两端的结构,合理选择重要不等式及其变形不等式. (2)∵a4+b4≥ 2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2, 又 a2b2+b2c2≥2ab2c, b2c2+c2a2≥2abc2, c2a2+a2b2 ≥2a2bc, ∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc), 即 a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c +abc2+a2bc =abc(a+b+c). 综上得,a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+ c). 类型二 利用基本不等式求最值 解题准备:在运用基本不等式证明不等式或求最值 时,注意掌握“凑”(凑项、凑因式)的技巧,其目的一是创造一个应用重要不等式的情境; 二是找使等号成立的条件. 分析: 用算术平均数与几何平均数定理可求得(1), 而求(2), (3) 时,必须使用函数单调性,不能用算术平均数与几何平均数定理,因为“=”取不到. 类型 三 利用均值不等式解实际问题 解题准备: 1.应用均值不等式解决实际问题时, 关键是如 何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决,要审清题意,找出相应关系,利用 均值不等式解决有关最优化问题. 2.基本步骤是:①阅读理解材料;②建立数学模型;③ 讨论不等式关系;④作出问题结论. 【典例 3】 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需 用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1800 元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购面 粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费 用最少? (2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210 吨时,其价格可享受 9 折 优惠(即原价的 90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. [分析] 列出函数表 达式,用均值不等式或单调性或导数法求解. [点评] 当运用均值不等式求最值时,若等号 成立的自变量不在定义域内时,就不能使用均值不等式求出最值,而是根据变量的范围用函 数的单调性或用导数法求解. 探究 2:已知 A、B 两地相距 200km,一只船从 A 地逆水到 B 地,水速为 8km/h,船在静水中的速度为 vkm/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水 中的速度的平方成正比,当 v=12km/h 时,每小时的燃料费为 720 元.为了使全程燃油费最 省,船的实际速度 v0 应为多少? 分析:本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题,中 间体现了分类讨论这一重要的数学思想.本题中的分类讨论思想很隐蔽,它是由均值不等式 中“等号”能否成立引起的,解题中要重视. 共 57 页 回归课本 1.基本不等式 设 a, bR, 则 a2≥0; a2+b2≥2ab, (a, bR), 要认识到 a 和 b 代表的实数既可以是具体数字, 也可以是比较复杂的变量式,应用广泛. 2.均值不等式 设 a,b(0,+∞),则≥,当且仅当 a=b 时,不等式取等号.它的证明要能从中得出,既是 对中 a,b 的灵活变式,又具有自身特点,a,b(0,+∞).

3. 灵活变式

(1)a2+b2≥; (2)ab≤; (3)ab≤2; (4)2≤; (5)(a+b)2≥4ab. 当且仅当 a=b 时各式中等号成立.

4.利用两个定理求最大、最小值问题 (1)x,y(0,+∞),且 xy=P(定值),那么当 x=y 时 x+y 有最小值 2. (2)x,y(0,+∞),且 x+y=S(定值),那么当 x=y 时 xy 有最大值.

1.函数 f(x)=的最大值为( A. B. C. D.1

)

解析:将解析式整理,得 y=,利用均值不等式求得 f(x)的最大值为.

2.0<a<1,0<b<1,a≠b,下列各数中最大的是( A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b

)

解析:a,bR,且 a≠b, 则 a2+b2>2ab,a+b>2. 又 0<a<1,0<b<1,a2<a,b2<b,a2+b2<a+b. (本题也可以用特殊值法).

3.设 a、bR+,且 a+b=4,则有( A.≥ B.+≥1 C.≥2 D.≥

)

解析:由 a,bR+


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