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广东省湛江一中2011届高三10月月考(理数)


湛江一中 2010—2011 学年度第一学期高三级十月月考
数学( 数学(理)科试题
小题, 在每个小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.集合 A = {3 , 6 , 8 } 的真子集的个数为 A.6
2

B.7

C.8

D.9

2.不等式 ? x + 3 x ? 2 > 0 的解集是 A. x x < ?2或x > ?1 C. x 1 < x < 2

{

}

B. x x < 1或x > 2 D. x ?2 < x < ?1

{

}

{

}
B. ( 0, π )

{

}
D. (π , 2π )

3.函数 y = cos x 的一个单调递增区间为 A.

? π π? ?? , ? ? 2 2?

C. ?

? π 3π ? , ? ?2 2 ?

4.设复数 z 满足 iz = 2 ? i ,则 z = B. ?1 + 2i A. 1 + 2i

C. ?1 ? 2i

D. 1 ? 2i

5.函数 y = ? log a ( x ? 1) (0<a<1)的图象大致是

A.

B.

C.

D.

6.设 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 = 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 Sn =

A.

n 2 7n + 4 4

B.

n 2 5n + 3 3

C.

n 2 3n + 2 4

D. n + n
2

7.已知 cos(α ? β ) = A.

33 65

3 5 π π , sin β = ? , α ∈ (0, ) , β ∈ ( ? ,0) ,则 sin α 等于 5 13 2 2 63 33 63 B. C. ? D. ? 65 65 65

8.设集合 S = { A0,A1,A2,A3 } ,在 S 上定义运算 ⊕ 为: Ai ⊕ A j = Ak ,其中 k 为 i + j 被 4 除的余数(其中 i,j = 0,2,) 1, 3 ,则满足关系式 ( x ⊕ x) ⊕ A2 = A0 的 x( x ∈ S ) 的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

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二、填空题:本大题共 7 小题.学生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分 填空题: 小题. 小题. 填空题 必做题(9 (9~ (一)必做题(9~13 题) 9. cos(π + α ) =

4 , x ∈ (π ,2π ) ,则 tan α = _______ . 5

? x ? 2, x > 0 ? 10.若函数 f ( x) = ?a, x = 0 是奇函数,则 a + b = _______ . ? x + b, x < 0 ?
11.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S S6 =3 ,则 9 = ______ . S3 S6

12.函数 f(x)=

x 的最大值为 ___________. x +1

?x > 0 ? 13.在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y > 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整 ? y ≤ ? n( x ? 4) ?
点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an (n ∈ N ? ) . 则 a1 = 到 an = . ,经推理可得

学生只能从中选做一题) (二)选做题(14、15 题,学生只能从中选做一题) 选做题(14、 14.在极坐标系中,若过 M (3,0) 且与极轴垂直的直线交曲线 ρ = 4 cos θ 于 A, B 两点,则

| AB |= ___________ .
15.如图, AB 为圆 O 的直径,弦 AC 、 BD 交于 P ,若 AB = 3 , CD = 1 ,则 C

cos ∠APD = _______ .
A

D P O B

小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答题: 16. (本小题满分 l2 分)已知 f ( x ) = 2 sin x (sin x + 3 cos x ) , x ∈ R . (1)求函数 f (x ) 的最小正周期;

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(2)求函数 f (x ) 的最大值及相应的 x 值.

17. (本小题满分 l2 分)设命题 p :函数 f ( x) = x ? 4 x + 3 ( x ∈ [0, a ] )的值域是 [ ?1,3] ;
2

命题 q :指数函数 g ( x) = ( a + 1) 在 (?∞,+∞) 上是减函数.若命题“ p 或 q ”是假命题,求
x

实数 a 的范围.

18. (本小题满分 l4 分)如图,边长为 6 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是 DD1 的中点,

N 在线段 BC 上,且 BN = 2 .
(1)求异面直线 BM 与 CC1 所成角的余弦值; (2)证明: BM // 面 DNC1 ; (3)求点 C 到面 DNC1 的距离.

D1 A1
M

C1 B1

D N A B

C

19. (本小题满分 l4 分)为了测量两山顶 M , N 间的距离,飞机沿水平方向在 A , B 两点进 行测量,点 A 、 B 、 M 、 N 在同一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角 和 A , B 间的距离.请设计一个方案,包括:①画出求解图并指出需要测量的数据(用字母 表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M , N 间的距离的步骤.

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20. (本小题满分 l4 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 = 1 ,S n = 2a n +1( n = 1,2,3,... ) 且 (1) 求数列 {a n } 的通项公式; (2) 设 bn = 1 + log 3 (3a n +1 ) ,证明: 1 +
2

1 b1

+

1 b2

+ ... +

1 bn

< 2 n +1 .

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f (x ) =

1 2 ax + 2 x(a ≠ 0), g ( x) = ln x, 2

(1) 若 h( x ) = f ( x) ? g ( x) 存在单调增区间,求 a 的取值范围; (2) 是否存在实数 a >0,使得方程

g ( x) 1 = f ′( x) ? (2a + 1) 在区间 ( , e) 内有且只有两个不相 x e

等的实数根?若存在,求出 a 的取值范围?若不存在,请说明理由.

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以数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2n +

n(n ? 1) 1 n 2 7 n × = + 2 2 4 4

7. 答:提示: sin α = sin((α ? β ) + β ) = sin(α ? β ) cos β + cos(α ? β ) sin β 8.答:C.提示:分别令 x = A0 , A1 , A2 , A3 枚举验证。 二、填空题: 填空题: 填空题 9.答:

3 4 3 sin α 3 . cos α = ? , sin α = ? , tan α = = 4 5 5 cos α 5

10.答: 2 . a = 0, b = 2

S 7 S6 1 ? q6 1 ? q9 7 . = = 3 ? q3 = 2 , 9 = = S6 1 ? q6 3 3 S3 1 ? q 3 1 1 1 12.答: . f (0) = 0, x > 0 时, f ( x ) = ≤ 1 2 2 x+ x
11.答: 13.答: 6,6n .当 x = 3,2,1 时,区域内的整点个数分别为 n,2n,3n 个,共 6n . 14.答: 2 3 . ρ = 4 cos θ 表示圆心为 ( 2,0) 半径为 2 的圆国。

1 DC 1 1 1 15.答: .连结 AD,OD,OC,则 cos ∠APD = sin ∠DAP = sin ∠DOC = 2 = 3 2 OD 3

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要 f ( x ) ≤ 3 ,则 a ≤ 4 ,………………………………………………………………….5f 所以 p 是真命题时, a ∈ A = {a | 2 ≤ a ≤ 4} ……………………………………………6f 若 q 是真命题,则 0 < a + 1 < 1 …………………………………………………………….8f 即 a ∈ B = {a | ?1 < a < 0} …………………………………………………………………9f 由题,命题“ p 或 q ”是假命题,得 p, q 为假…………………………………….……10f 即 a ∈ (C R A) ∩ (C R B ) = {a | a ≤ ?1 或 0 ≤ a < 2 或 a > 4} ……………………….….12f 解法二、作出 f (x ) 的图象,如右:………2f y 当 f ( x ) = 3 时, x = 0,4 …………………..3f 当 f ( x ) = ?1 时, x = 2 ……………………4f 所以要值域为 [ ?1,3] 2 -1 3

4

x

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解法二、因 B1B//C1C,所以角 MBB1 为所求异面直线所成角(补角) ,………(略) (2)设面 NDC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) 则?

?n ? DN = 0 ?

?4 x + 6 y = 0 ?? ………………………………………………..……7f ?n ? DC1 = 0 ?6 y + 6 z = 0 ?

n 可取 (?3,2,?2) …………………………………………………………………………8f

BM ? n = (?3) ? (?6) + 2 ? (?6) + (?2) ? 3 = 0 ,即 BM ⊥ n …………………….….9f
且 BM ? 面 NDC1 ……………………………………………………………………….10f 所以 BM // 面 DNC1 ;………………………………………………………………….10f 解法二、连结 MC,交 DC1 于 O,可证 ON//MB(略) (3) CN = ( 4,0,0) ,设点 C 到面 DNC1 的距离为 d ,则 d = 解法二、等体积法: VC ? DNC = VC ? NDC (略)
1 1

| n ? CN | |n|

=

12 17 ….14f 17

解法三、作垂线法:过 C 作面 NDC1 的垂线(略) 19.

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方案二: ①需要测量的数据有: A 点到 M,N 点的俯角 α1 , β1 ;B 点到 M,N 点的府角 α 2 , β 2 ;A,B 的距离 d (如图所 示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM =

d sin α1 sin(α1 + α 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN =

d sin β1 sin( β 2 ? β1 )

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN =

BM 2 + BN 2 ? 2 BM × BN cos( β 2 + α 2 )

20. 解:由题 S n = 2a n +1 …….. ① 当 n ≥ 2 , S n ?1 = 2a n ,………②……………………………………………………1f

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所以 +
1

1 2

1 2 b1

+

1 2 b2

+ ... +

1 2 bn

= 1

1 2 1

+

1 2 2

+

1 2 3

+ ... +

1 2 n +1

<

1+ 0

+

1 2+ 1

+ ... +

n +1 + n

…………………………………………….....10f

= ( 1 ? 0) + ( 2 ? 1) + ... + ( n + 1 ? n ) ……………………………………….…….13f
= n +1

即1+

1 b1

+

1 b2

+ ... +

1 bn

< 2 n + 1 ……………………………………………….…..14f

(2)解法二、 bn = 1 + log 3 (3a n +1 ) = 1 + log 3 [ ( )
2 2

3 3 2 2

n ?1

] = 1 + n ……………..…….8f

下用数学归纳法证明 I. n = 1 ,左边 = 1 +

1 2

< 2 2 =右边
.…….9f

结论成立…………………………………………………………

Ii . 假设 n = k (k ≥ 1) 时,结论成立,即 1 +

1 2

+ ... +

1 k +1
1

< 2 k + 1 ……...10f
2 (k + 1)(k + 2) + 1 k+2

那么… 1 +

1 2

+ ... +

1 k +1

+

1 (k + 1) + 1

< 2 k +1 +

k+2

=

…………………………………………………………………………………………11f

=

4k 2 + 12k + 8 + 1 k+2

<

4k 2 + 12k + 9 + 1 k +2

= 2 k + 2 ………………………...13f

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即不等式 ax2+2x-1>0 有满足 (a, b), or ( a,+∞) ? (0,+∞) ……………………….……4f

1 ? 2x 1 = ( ? 1) 2 ? 1 有解……………………………………………………….5f 2 x x 1 2 令 t = > 0, y = (t ? 1) ? 1 的最小值为 ? 1 ……………………………………..……6f x
即a > 结合题设得 a 的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………… 7f 解法三、同解法一………. 即不等式 ax2+2x-1>0 有满足 (a, b), or ( a,+∞) ? (0,+∞) ……………………..……4f (1)当 a ≤ ?1 , ? = 4(1 + a ) ≤ 0 ,ax2+2x-1>0 没有符合条解………………………5f (2)当 ? 1 < a < 0, ? > 0 ,方程 ax + 2 x ? 1 = 0 的两根是
2

x1 =

?1+ 1+ a ?1? 1+ a > 0, x 2 = > 0, x1 < x 2 ,此时,区间 [ x1 , x 2 ] 是所求的增区间。. a a

………………………………………………………………………………………………6f (3) 当

a>0







ax 2 + 2 x ? 1 = 0











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x1 =
(4)

?1+ 1+ a ?1? 1+ a > 0, x 2 = < 0, x1 > x 2 ,区 a a

(5) 当 x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0, H(x)是减函数; 当 x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0, H(x)是增函数;

若 H(x)在( , e )内有且只有两个不相等的零点, 只须

1 e

? 1 a 2 1 ? 2a (1 ? 2e)a + e 2 + e H( ) = 2 + +1 = >0 ? e e e e2 ? ? ? H ( x)min = H (1) = a + (1 ? 2a ) = 1 ? a < 0 ? 2 2 ? H (e) = ae + (1 ? 2e)a ? 1 = (e ? 2e)a + (e ? 1) > 0 ? ?

……………..…13f

解得 1 < a <

e2 + e e2 + e , 所以 a 的取值范围是(1, ) …………………… …..14f 2e ? 1 2e ? 1

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