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高中数学 第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程(一)课件 新人教版选修4-4


第二讲 参数方程

二 圆锥曲线的参数方程(一)

? 复习回顾

1. 圆x2+y2=r2的参数方程为

? x ? r cos ? , ( ? 为参数); ? y ? r sin? . ?
2. 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为

? x ? a ? r cos ? , ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin? . ?

? 复习回顾 练习.把下列参数方程化为普通方程, 并说明它们各表示了什么曲线.

x ? cos? ? (1) ? ; ? y ? sin ? x ? 2cos? ? ( 3) ? . ? y ? 3 sin ?

x ? 1 ? 2 sin ? ? ( 2) ? ; ? y ? 2cos?

( ? 为参数)

? 讲授新课
1. 椭圆的参数方程

x y 椭圆 的一个 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b 参数方程

2

2

? 讲授新课
1. 椭圆的参数方程

x y 椭圆 的一个 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b 参数方程
? x ? a cos ? , ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? .

2

2

? 讲授新课
1. 椭圆的参数方程

x y 椭圆 的一个 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b 参数方程
? x ? a cos ? , ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? .
这是中心在原点O,焦点在x轴上的 椭圆的参数方程.

2

2

思考

x y 椭圆 的一个 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b 参数方程
? x ? a cos ? , ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? .
类比圆的参数方程中参数的意义, 此椭圆的参数方程中参数?的意义是什 么?

2

2

以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0) 为半径作两个同心圆.
y

O

x

以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0) 为半径作两个同心圆.设A是大圆上的任一 点,连接OA,与小圆交于点B.
y B O

A

?

x

以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0) 为半径作两个同心圆.设A是大圆上的任一 点,连接OA,与小圆交于点B.过点A,B 分别作x轴,y轴的 y 垂线,两垂线交于 A B M 点 M.
O

?

x

以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0) 为半径作两个同心圆.设A是大圆上的任一 点,连接OA,与小圆交于点B.过点A,B 分别作x轴,y轴的 y 垂线,两垂线交于 A B M 点 M.
问题:求点M的参数 方程.
O

?

x

当半径OA绕点O旋转一周时,就得 到了点M的轨迹,它的参数方程是

? x ? a cos ? , ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? .

y

A B M
O

?

x

当半径OA绕点O旋转一周时,就得 到了点M的轨迹,它的参数方程是

? x ? a cos ? , ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? .
参数?是点M所 对应的圆的半径OA (或OB)的旋转角(称 为点M的离心角).

y

A B M
O

?

x

探究
椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造 如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相 垂直的导槽,在直尺上有两个固定滑块A,B, 它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在直尺上的 点M处用套管装上铅笔,使直尺转动一周就画 出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗?

探究
椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造 如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相 垂直的导槽,在直尺上有两个固定滑块A,B, 它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在直尺上的 点M处用套管装上铅笔,使直尺转动一周就画 出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗?

y

M A

O aB ?

b

x

x ? a cos ? ? 练习1. 椭圆 ? (?为参数), ? y ? b sin? 若?∈[0,2?],则椭圆上的点(-a,0) 对应的? =( ) A. ? B.

?
2

C. 2?

3? D. 2

x ? a cos ? ? 练习1. 椭圆 ? (?为参数), ? y ? b sin? 若?∈[0,2?],则椭圆上的点(-a,0) 对应的? =( A ) A. ? B.

?
2

C. 2?

3? D. 2

练习2. 当参数?变化时,动点

P(2cos?, 3sin?)所确定的曲线
必过( )

A. 点( 2, 3) C. 点(1, 3)

B. 点( 2, 0) D. 点(0,

?

2

)

练习2. 当参数?变化时,动点

P(2cos?, 3sin?)所确定的曲线
必过( B )

A. 点( 2, 3) C. 点(1, 3)

B. 点( 2, 0) D. 点(0,

?

2

)

x y 例1. 在椭圆 ? ? 1 上求一点M, 9 4 使点M到直线x+2y-10=0的距离最
小,并求出最小距离.

2

2

思考

与简单的线性规划问题进行类比, 2 2 x y 你能在实数x,y满足 ? ? 1 的前 25 16 提下,求出z=x-2y的最大值和最小值
吗?由此可以提出哪些类似的问题?

x 2 例2. 如图,已知椭圆 ? y ? 1 上任 4 一点M(除短轴端点处)与短轴两端点
B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点,

2

求证|OP| · |OQ|为定值.

y
B2 O B1 P M Q x

x y 练习3. 椭圆 ? ? 1 的内接矩形 16 9
的最大面积是___________________.

2

2

x y 练习3. 椭圆 ? ? 1 的内接矩形 16 9
的最大面积是___________________. 24

2

2

x y 练习4. 已知A、B是椭圆 ? ?1 9 4 与坐标轴正半轴的两交点,在第一
象限的椭圆弧上求一点P,使四边形
OAPB的面积最大.

2

2

? 课堂小结

x y 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 的一个参数方程
? x ? a cos ? , ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? .

2

2

? 课后作业 1. 一个人造地球卫星的运行轨道是一 个椭圆,长轴长为15 565km,短轴长 为15 443km.取椭圆中心为坐标原点, 求卫星轨道的参数方程.

x y 2. 已知实数x、y满足 ? ? 1,求 25 16 z=4x+5y的最大值与最小值.

2

2


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