当前位置:首页 >> 高二数学 >>

6.递推数列的通项公式


廊坊八中校本课程

编写:乔秉正

6.递推数列的通项公式
数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一, 递推公式是给出 数列的一种方法,近几年数学高考命题,全国卷和许多省的试卷都以 数列递推式为内容作为能力型试题, 形式多变、 解法灵活、 综合行强、 能力要求高,递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也 非常灵活, 往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数 列问题加以解决。本节课介绍几种常用求数列通项的方法,供参考。 一 叠加法与叠乘法 例 1.已知数列 ?an ?满足 an ? 1 , an ? 3n?1 ? an?1 ( n ? 2 ), (1)求 a2 , a3
3 n ?1 (2)证明: a n ? 2

解析: (1)易知 a2 ? 4, a3 ? 13 (2)由于 an ? 3n?1 ? an?1 ∴ an ? an?1 ? 3n?1 ∴ an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? …… a2 ? a1 ) + a1 = 3n?1 ? 3n?2 ? …… 3 ? 1 (
3 n ?1 = 2

例 2.数列 ?an ? 是首项为 1 的正项数列且满足: ,求数列 ?an ? 的通项。 (n ? 1)a 2 n?1 ? na2 n ? an?1an ? 0(n ? 1,2 ……) 解析:由于 (n ? 1)a 2 n?1 ? na2 n ? an?1an ? 0 得 (an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0 由 an ? 0 ,∴ an?1 ? an ? 0 ∴ an ? ∴(n+1) an?1 ? nan 即
a n ?1 n ? an n ?1

an an?1 a 1 1 n ?1 n ? 2 ? ? …… 2 ? ? ? …… ? ? 1 ? 2 2 an?1 an?2 a1 n n ?1

又如已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a +……+ (n ? 1)an?1 (n ? 2)
1

廊坊八中校本课程

编写:乔秉正

则数列 ?an ?的通项 an ? ?

?1, n ? 1 n ?____( ? 2)

解析: n ? 2 时, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 +……+ (n ? 1)an?1
an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? (n ? 1)an?1 ? ……+ nan

∴ an?1 ? an ? nan
a n ?1 ? n ?1 an

即 an?1 ? (n ? 1)an , ∴ an ?
1 2

a n a n?1 a n?2 a ? ? ? …… ? 2 ? a1 a n?1 a n?2 a n?3 a1

= n ? (n ? 1) ? ? ? ? 4 ? 3 = n﹗ 注:数学中定义 n!? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ?(n ? 1) ? n ,读作 n 的阶乘。 二 构造新数列 实现转化 形如 an?1 ? pan ? q ( p ? 1且q 为不等于 0 的常数)的数列,可令
an?1 ? x ? p(an ? x) 即 an?1 ? pan ? ( p ? 1) x 与 an?1 ? pan ? q 比较得 x ?
q , 从 p ?1

而构造一个以 a1 ?

? q q ? 为首项以 p 为公比的等比数列 ?an ? (如例 ? p ?1 p ? 1? ?

3 的(2),另外还有倒数转化、对数转化等。 ) 例 3 数列 ?an ?满足 a1 ? 1 且 8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0 (n ? 1) 记 bn ?
1 1 an ? 2 (n ? 1) (1)求 b1 , b2 , b3 , b4 的值;(2)求数列 ?bn ? 的通项及数列

?an bn ?的前 n 项和 sn
解 析 :(1) 由 于 bn ?
8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0

1 an ? 1 2

得 an ?

1 1 ? 代 入 递 推 关 系 bn 2

整理得

4 4 6 3 ? ? ? 0 即 bn ?1 ? 2bn ? 3 bn ?1bn bn bn

由 a1 ? 1 有 b1 ? 2

2

廊坊八中校本课程

编写:乔秉正

所以 b2 ? , b3 ? 4, b4 ? (1) 由 bn ?1 ? 2bn ?
4 3 4 3

8 3

20 3

4 3
b1 ? 4 2 ? ?0 3 3

∴ bn?1 ? ? 2(bn ? )
? 3?

2 4 ∴ ?bn ? ? 是以 为首项以 2 为公比的等比数列 ? ? 3

故 bn ? ? ? 2 n 即 bn ? ? 2 n ? 由 bn ? 故 sn ? a1b1 ? a2b2 ? …… ? an bn

4 3

1 3

1 3

4 3

1 an ? 1 2

得 a n bn ? bn ? 1

1 2

1 (1 ? 2 n ) 1 1 5 = (b1 ? b2 ? …… ? bn ) ? n = 3 ? n = ( 2 n ? 5n ? 1) 2 3 1? 2 3

又如设函数 y ? 3 ? 0.6 x 与函数 y ? 0.6 x 的图象交于点 p1 ( x1, y1 ) , 对任 意( n ? N , N ? 1 )将过点(0,3)和点 ( xn?1 ,0) 的直线与直线 y ? 0.6 x 交 点坐标记为 Pn ( xn , yn ) ,则 p1 , p2 , p3 坐标依次为_______ 解析: 过点 (0, 和点 ( xn?1 ,0) 直线方程为 y ? 3 ? 3) 联立,得
xn ? 3xn?1 1 1 1 ,取倒数 ? ? x n x n ?1 5 3 ? 0.6 xn?1
?1? 1 ? 是公差为 的等差数列 5 ? xn ?

3 xn ?1

将它与 y ? 0.6 x x,

即数列 ?

又由 y ? 3 ? 0.6 x 与 y ? 0.6 x 联立,得 x1 ? , y1 ? 因而

5 2

3 2

1 1 1 1 n ?1 1 5 3 ? ? (n ? 1) , ? ,y ? ,故 ? xn x1 5 xn 5 xn n ? 1 n ?1
5 3 5 3 4 4 5 3 , ) 2003 2003

于是得 p 2 ( ,1), p3 ( , ), p 2002 ( 三 猜测 归纳 证明 如上例 3

3

廊坊八中校本课程

编写:乔秉正

解析: (1) a1 ? 1, 故 b1 ?

1 1? 1 2

? 2, a2 ?

1 8 7 ? ,故 b2 ? 7 1 3 8 ? 8 2

3 20 1 13 ,故 b3 ? ,故 b4 ? , ? 4, a4 ? 3 1 4 3 20 ? 4 2 4 4 2 8 4 4 4 (2)因 (b1 ? )(b3 ? ) ? ? ? ( ) 2 , 又 (b2 ? ) 2 ? ( ) 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 2 ∴ (b1 ? )( b3 ? ) ? (b2 ? ) 3 3 3 a3 ?

2 4 故猜想 ?bn ? ? 是首项为 ,公比 q ? 2 的等比数列 ? ?

?

3?

3

由 an ? 2 (否则 an ? 2 代入递推公式会导致矛盾) 故 an?1 ?
5 ? 2an (n ? 1) 16 ? 8an
4 3 1 1 a n ?1 ? 2 2 an ? 1 2 ? ? 4 16 ? 8a n 4 20 ? 16 a n ? ? ? 3 6a n ? 3 3 6a n ? 3

由 bn ?1 ? ?

4 2(bn ? ) ? 3

8 20 ? 16 a n 4 ? ? bn ?1 ? 3 6a n ? 3 3

又 b1 ? ? 0

4 3

4 故 ?bn ? ? 确是公比 q ? 2 的等比数列以下同例 3。 ? ? ? 3?

四 周期数列或者 sn 与 an 关系 例 4.已知数列 ?an ?中, a1 ? 3, a2 ? 5 且对于大于 2 的正整数,总有
an ? an?1 ? an?2 ,则 a2003 等于( )

A.-5 解析:

B.-2

c.2

D.3

an?6 ? an?5 ? an?4 ? an?4 ? an?3 ? an?4 ? ?(an?2 ? an?1 ) ? ?an?2 ? an?1 ? ?(an?1 ? an ) ? an?1 ? an

故数列 ?an ?是以 6 为周期的周期数列,∴ a2003 ? a36?3?5 ? a5 ? ?5 ,故选 A
4

廊坊八中校本课程

编写:乔秉正

例 5.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ? 2n 2 , ?bn ? 为等比数列且 a1 ? b1 , (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;(2)设 cn ? b2 (a2 ? a1 ) ? b1 。
cn 的前项和 Tn .
an , 求数列 bn

解析: (1)n=1 时, a1 ? s1 ? 2 , n ? 2 , an ? sn ? sn?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2 故 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ,即 ?an ? 是 a1 ? 2 ,公差 d ? 4 的等差数列, 从而可求出 bn ?
2 4
n ?1

及(利用错位相减法) Tn ?

1 (6n ? 5)4 5 ? 5 . 9

?

?

下面的练习供选用: 1 已知数列 {a n } 满足 a n?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。
3 1 a n ? ( n ? )2 n 。 2 2

2 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。
an ? n2

3 已知数列 {a n } 满足 a n?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。
3 1 a n ? ( n ? )2 n 。 2 2

4. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。
an ? n2

5. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1,a1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。
an ? 2? 3 ? 3n ? n ? 2 ? 3n ? n ? 1 1? 3
5

廊坊八中校本课程

编写:乔秉正

6. 已知数列 {a n } 满足 a n?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1,a1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。
an ? 2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? 3 2 2
? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ,

7.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1) 求 {a n } 的通项。
?1,n ? 1 ? a n ? ? n! ? 2 ,n ? 2 ?

6


相关文章:
由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法
由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法_高三数学_数学_高中教育_...例 6:已知数列 {an } 中各项均正,且 S n ? 1 1 (a n ? ) ,求...
递推数列求通项公式的习题
递推数列通项公式的习题_数学_高中教育_教育专区。高考中通项公式 a n 求...6 且 a1 , a3 , a15 成等比数列, 求数列 ?a n ? 2 2 6、数列 ? ...
求递推数列的通项公式的11种方法
递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均...… 六、取对数法例 7 若数列{ a n }中, a 1 =3 且 a n ? 1 ? ...
递推数列求通项公式的---习题
递推数列通项公式的---习题 - 江苏高考数列题型分析 类型 1 an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加...
构造法求递推数列的通项公式
3 例 6.在数列 {a n } 中, a1 = 1,a n +1 = a n ? 3a n ,求通项公式 an。 分析:首先考虑所给递推式与公式 (a + b) 3 = a 3 + 3a ...
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列通项公式方法。常见求数列通项的方法龍嘯天下映驕陽 http:...n 6 龍嘯天下映驕陽 http://hi.baidu.com/chrpc http://chhr.ys168.com...
最全的递推数列求通项公式方法
高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的...a 为首项, 2 为公比的等比数列,于是 3 6 2 a n ?1 ? a n ? (b ...
一类一阶递推数列通项公式的统一解法
用不动点求一类递推数列的通项公式[J]. 高中数学教与学 2009.6, 2 杨映柳,鈡涛. 例谈递推数列通项公式的求法[J]. 中学数学 2010.1 ...
待定系数法求递推数列通项公式
数列通项公式初探 摘要: 本文通过用待定系数法分析求解 9 个递推数列的例题, ...an ? (? ) n ?1 3 第 6 页共 6 页 最全的待定系数法求递推数列通...
题型最全的递推数列求通项公式的习题1
高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解...例:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 5 6 , a n ?1 ? 1 1 n ?1 ...
更多相关标签: