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2015广州二模理科数学试题及答案


试卷类型:A 2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科) 2015.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.命题“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是 A.若 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 C.若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 2.已知 a ? b ? 0 ,则下列不等关系式中正确的是 A. sin a ? sin b B. log 2 a ? log 2 b C. a ? b
1 2 1 2

B.若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 D.若 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 3? ? 3?

a

b

?? x , x ? 0, ? 4 3.已知函数 f ? x ? ? ?? 则f? ? f ? 2 ?? ?? 1? x ? , x ? 0, ?? ? x? ?? 1 1 A. B. C. 2 4 2
4.函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ?? 的图象的一部分如图 1 所示, y 则此函数的解析式为
?? ?? A. y ? 3sin ? x ? ? ?? ?? ?? ?? C. y ? 3sin ? x ? ? ?? ?? ?? ? ?? B. y ? 3sin ? x ? ? ? ? ?? ?? ? ?? D. y ? 3sin ? x ? ? ? ? ??
3

D. 4

O 1 -3 图1

5

x

5.已知函数 f ? x ? ? ?x2 ? 2x ? 3 ,若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 ,则使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率为
4 1 2 B. C. D. 1 2 3 25 6.如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 , 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是

A.

V C

A. 13

B. 7
A 图2 B

C.

4 3 3

D.

3 3 2

7.已知两定点 A ? ?1,0? , B ?1,0? ,若直线 l 上存在点 M ,使得 MA ? MB ? 3 ,则称直线 l 为“ M 型 直线” .给出下列直线:① x ? 2 ;② y ? x ? 3 ;③ y ? ?2 x ? 1 ;④ y ? 1 ;⑤ y ? 2 x ? 3 .其中是“ M 型直线”的条数为 A.1 B.2 C.3
5

8.设 P ? x, y ? 是函数 y ? f ? x ? 的图象上一点,向量 a ? 1, ? x ? 2 ? ,b ? ?1, y ? 2x ? ,且 a / / b .数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,且 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ????? f ? a9 ? ? 36 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a9 ? A.0 B.9 C.18 D.36

?

?

D.4

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 1? i 9.已知 i 为虚数单位,复数 z ? ,则 z ? . 1? i 10.执行如图 3 所示的程序框图,则输出的 z 的值是 .
开始

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否



x=y

y=z

3 ? ?? ?? ? 11.已知 f ? x ? ? sin ? x ? ? ,若 cos ? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 5 ? 6? 2? ?

图3

输出 z

结束

?? ? f ?? ? ? ? 12 ? ?



12.5 名志愿者中安排 4 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排 2 人,则不同的安排方 案共有_________种(用数字作答) . 13.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1 , a2 , a3 ;以 C 为 起点,其余顶点为终点的向量分别为 c1 , c2 , c 3 .若 m 为 ? ai ? a j ? ? ? cs ? ct ? 的最小值,其中

?i, j? ? ?1, 2,3? , ?s, t? ? ?1, 2,3? ,则 m ?



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 ,点 E 为边 DC 的中点,
AE 与 BC 的延长线交于点 F ,且 AE 平分 ? BAD ,作 DG ? AE ,
D G A 图4 B E C

F

垂足为 G ,若 DG ? 1 ,则 AF 的长为



15. (坐标系与参数方程选做题)

? x ? 4t , ? x ? 3 ? 2t , 在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? ( t 为参数)和 ? (t 为 2 y ? 2 t ? y ? 1 ? 2t ?
参数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点有 个.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7:5:3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45 3 ,求△ ABC 外接圆半径的大小. 17. (本小题满分12分)某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一 人答一份) .现从回收的年龄在20~60岁的问卷中随机抽取了 n 份,统计结果如 下面的图表所示. 年龄 答对全 答对全卷的人 组 频率/组距 分组 卷 数 号 的人数 占本组的概率 0.035 c [20,3 0.025 b 1 28 0) 0.010 [30,4 2 27 0.9 0) 0 20 30 40 50 60 年龄 [40,5 3 5 0.5 0) [50,6 a 4 0.4 0] (1)分别求出 a , b , c , n 的值; (2)从第 3,4 组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人 授予“环保之星” ,记 X 为第 3 组被授予“环保之星”的人数,求 X 的分布列与数学期望.

18. (本小题满分14分)如图5,已知六棱柱 ABCDEF ? A1B1C1D1E1F1 的侧棱 垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3, M , N 分别 是棱 AB , AA1 上的点,且 AM ? AN ? 1. (1)证明: M , N , E1 , D 四点共面; (2)求直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值.
F N F1 A1 E E1

D1 C1 B1 D C

A

M 图5

B

n ? N * ? 在直线 l : y ? 3x ? 1 上, P1 是直线 l 与 y 轴的交点, 19. (本小题满分14分)已知点 P n ? an , bn ? ?

数列 ?an ? 是公差为1的等差数列. (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求证:

1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
2

1 ? . 6

20. (本小题满分14分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,圆 D 的方程为 ? x ? 4 ? ? y 2 ? 4 .
2

(1)求圆 C 的方程; (2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A , B 两点,求 AB 的取值范围. 21. (本小题满分14分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ?
x ?1 x , g ? x ? ? e (其中 e 为自然对数的底数) . x ?1

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 b ? 0 时,函数 g ? x ? 的图象 C 上有两点 P ? b, eb ? , Q ? ?b, e ? b ? ,过点 P , Q 作图象 C 的切线 分别记为 l1 , l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,证明 x0 ? 0 .

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准 说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可 根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题,满分 40 分. 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8

C D A A B B C C

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

题 号 答 案

9

10

11
7 2 10

12

13

14

15

1

32

30

?5

4 3

1

16. (本小题满分12分) 解: (1)因为 a : b : c ? 7 : 5 : 3 , 所以可设 a ? 7 k , b ? 5k , c ? 3k ? k ? 0 ? ,??????????????????????2 分 由余弦定理得,
b 2 ? c 2 ? a 2 ? 5k ? ? ? 3k ? ? ? 7k ? cos A ? ??????????????????????3 分 ? 2bc 2 ? 5k ? 3k
2 2 2

1 ? ? .???????????????????????????????????? 2

4分
1 (2)由(1)知, cos A ? ? , 2 因为 A 是△ ABC 的内角,

所以 sin A ? 1 ? cos2 A ?

3 .???????????????????????????6 分 2

由(1)知 b ? 5k , c ? 3k ,
1 因为△ ABC 的面积为 45 3 ,所以 bc sin A ? 45 3 ,?????????????????8 分 2

1 3 即 ? 5k ? 3k ? ? 45 3 , 2 2
解得 k ? 2 3 .?????????????????????????????????? 10 分 由正弦定理
a 7k 14 3 ? 2 R ,即 2 R ? ,???????????????????11 分 ? sin A sin A 3

2
解得 R ? 14 . 所以△ ABC 外接圆半径的大小为 14 .????????????????????????? 12 分 17. (本小题满分12分)

解: (1)根据频率直方分布图,得 ? 0.010 ? 0.025 ? c ? 0.035? ?10 ? 1 , 解得 c ? 0.03 . ???????????????????????????????????1 分 第 3 组人数为 5 ? 0.5 ? 10 ,所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 .???????????????????2 分 第 1 组人数为 100 ? 0.35 ? 35 ,所以 b ? 28 ? 35 ? 0.8 .?????????????????3 分 第 4 组人数为 100 ? 0.25 ? 25 ,所以 a ? 25 ? 0.4 ? 10 .?????????????????4 分 (2)因为第 3,4 组答对全卷的人的比为 5 :10 ? 1: 2 , 所以第 3,4 组应依次抽取 2 人,4 人.????????????????????????? 5分 依题意 X 的取值为 0,1,2.????????????????????????????? 6分
2 C0 2 2 C4 P ? X ? 0 ? ? 2 ? ,???????????????????????????????7 C6 5



P ? X ? 1? ?


1 C1 8 2 C4 ? ,?????????????????????????????? 8 2 C6 15

0 C2 1 2 C4 P ? X ? 2 ? ? 2 ? ,??????????????????????????????9 C6 15

分 所以 X 的分布列为:
X

0
2 5

1
8 15

2
1 ???????????????10 分 15

P

2 8 1 2 所以 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . ???????????????????????? 12 5 15 15 3

分 18. (本小题满分14分) 第(1)问用几何法,第(2)问用向量法: (1)证明:连接 A1B , B1D1 , BD , A1E1 ,
F1 A1 E N E1 D1 C1 B1 D

在四边形 A1B1D1E1 中, A1E1 在四边形 BB1D1D 中, BD 所以 A1E1

B1D1 且 A1E1 =B1D1 , B1D1 且 BD=B1D1 ,

BD 且 A1E1 =BD ,

所以四边形 A1BDE1 是平行四边形. 所以 A1B

E1D .????????????2分

在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1, AB ? AA1 ? 3 , 所以
AM AN , ? AB AA1

所以 MN 分 所以 MN

BA1 .??????????????????????????????????4

DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面.??????????????????????????? 6分 (2)解:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线
F1 A1

z
E1 D1 C1 B1 E F N D C

分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,
?3 3 9 ? 则 B 3 3,3, 0 , C ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

?

?

y

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 ,??????????8分
? 3 3 3 ? 则 BC ? ? ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , ? ?

?

?

x

A

M

B

DM ? 3 3, ?2, 0 .????????????????????????????????10

?

?

分 设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,
? ?n DE1 ? 0, 则? ? ?n DM ? 0.

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, 即? ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量.??????????????????12 分 设直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

?

?

n BC n BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 2 ? 3 3
2

?

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 分 第(1) (2)问均用向量法:

174 .??????????????????14 116

(1)证明:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,
?3 3 9 ? 则 B 3 3,3, 0 , C ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

z
E1 D1 C1 B1 E N D C

?

?

F1

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 , N 3 3, 0,1 ,?????2分 A1
所以 DE1 ? ? 0, ?3,3? , MN ? ? 0, ?1,1? . ??????3分 因为 DE1 ? 3MN ,且 MN 与 DE1 不重合, 所以 DE1
F

?

?

?

?

y

MN .????????????????5分

x

A

M

B

所以 M , N , E1 , D 四点共面.??????????????????????????? 6分

? 3 3 3 ? (2)解:由(1)知 BC ? ? ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , DM ? 3 3, ?2, 0 .??????10分 ? ?

?

?

(特别说明:由于给分板(1)6分(2)8分,相当于把(1)中建系与写点坐标只给2分在此加2 分) 设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,
? ?n DE1 ? 0, 则? ? ?n DM ? 0.
? ? ?3 y ? 3 z ? 0, 即? ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量.??????????????????12 分 设直线 BC1 与平面 MNE1D 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

?

?

n BC n BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 2 ? 3 3
2

?

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 分 第(1) (2)问均用几何法: (1)证明:连接 A1B , B1D1 , BD , A1E1 , 在四边形 A1B1D1E1 中, A1E1 在四边形 BB1D1D 中, BD 所以 A1E1

174 .??????????????????14 116

B1D1 且 A1E1 =B1D1 , B1D1 且 BD=B1D1 ,

BD 且 A1E1 =BD ,
E1 F1 A1 E F N D1 C1 B1 D C

所以四边形 A1BDE1 是平行四边形.

所以 A1B

E1D .????????????2分

在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1, AB ? AA1 ? 3 , 所以
AM AN , ? AB AA1

所以 MN 分 所以 MN

BA1 .??????????????????????????????????4

DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面.??????????????????????????? 6分 (2)连接 AD ,因为 BC
AD ,

所以直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角即为直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角.???????7分 连接 DN ,设点 A 到平面 DMN 的距离为 h ,直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角为 ? , 则 sin ? ? 8分
1 1 因为 VA? DMN ? VD? AMN ,即 ? S ?DMN ? h ? ? S ?AMN ? DB .????????????????9分 3 3
h .??????????????????????????????????? AD

在边长为3的正六边形 ABCDEF 中, DB ? 3 3 , DA ? 6 , 在△ ADM 中, DA ? 6 , AM ? 1 , ?DAM ? 60 , 由余弦定理可得, DM ? 31 . 在 Rt △ DAN 中, DA ? 6 , AN ? 1 ,所以 DN ? 37 . 在 Rt △ AMN 中, AM ? 1 , AN ? 1 ,所以 MN ? 2 . 在△ DMN 中, DM ? 31 , DN ? 37 , MN ? 2 , 由余弦定理可得, cos ?DMN ? ?

29 2 ,所以 sin ?DMN ? . 31 31

1 58 所以 S?DMN ? ? MN ? DM ? sin ?DMN ? .???????????????????11分 2 2

又 S ?AMN ? 12分 所以 h ? 分

1 ,??????????????????????????????????? 2

S?AMN ? DB 3 3 .????????????????????????????13 ? S?DMN 58

所以 sin ? ?

h 174 . ? AD 116
174 .??????????????????14 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 分 19. (本小题满分14分)

l y 轴的交点 ? 0,1? , (1)解:因为 P 1 ? a1 , b 1 ? 是直线 : y ? 3x ? 1 与

所以 a1 ? 0 , b1 ? 1 .????????????????????????????????2 分 因为数列 ?an ? 是公差为1的等差数列, 所以 an ? n ? 1. ??????????????????????????????????? 4分
l 因为点 P n ? an , bn ? 在直线 : y ? 3x ? 1 上,

所以 bn ? 3an ? 1 ? 3n ? 2 . 所以数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式分别为 an ? n ? 1, bn ? 3n ? 2 ? n ? N * ? .?????????6分 (2)证明:因为 P 1 ? 0,1? , P n ? n ?1,3n ? 2? ,所以 P n?1 ? n,3n ? 1? .
? n 2 ? ? 3n ? ? 10n 2 .???????????????????????????7 所以 P 1P n ?1
2 2

分 所以

1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
2

?

1?1 1 ? ? ? 10 ? 12 22

?

1 ? ? .??????????????8分 n2 ?

因为

1 1 4 4 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ,???????????10分 2 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? n ? 2n ? 1 2n ? 1 ? n2 ? 4

所以,当 n ? 2 时,

1 PP 1 2
?
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
?
2

1 ? ?1 1 1? 2 ? ? ? ? 10 ? ?3 5

1 1 ?? ? ? ???????????????????????11分 2n ? 1 2n ? 1 ?? ?

?

1 ?5 1 ? ? ? ? ????????????????????????????????? 12 10 ? 3 2n ? 1 ?
1 . 6


?

又当 n ? 1 时, 分 所以

1 PP 1 2 1
2

?

1 1 ? .???????????????????????????13 10 6

1 PP 1 2
2

?

PP 1 3

2

?

?

1 PP 1 n +1
2

1 ? .???????????????????????14分 6

20. (本小题满分14分) 解: (1)方法一:设圆 C 的方程为: ? x ? a ? ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? ,???????????????1 分
2

因为圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,
2 2 ? ?a ? r , 所以 ? ??????????????????????????????3 分 2 2 2 ? 1 ? a ? 1 ? r . ? ? ? ? 解得 a ? ?1 , r ? 1 .

所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 . ?????????????????????????4 分
2

方法二:设 O ? 0,0? , A ? ?1,1? , 依题意得,圆 C 的圆心为线段 OA 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C .????????????1 分 因为直线 l 的方程为 y ? 分 所以圆心 C 的坐标为 ? ?1, 0? .????????????????????????????3 分 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 . ?????????????????????????4 分
2

1 1 ? x ? ,即 y ? x ? 1 ,????????????????????2 2 2

(2)方法一:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? , 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 2 ? 4 ,
2

即 y0 2 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 ,
2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 由圆 C 与圆 D 的方程可知,过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在, 设 PA 的方程为: y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , 则点 A 的坐标为 ? 0, y0 ? k1x0 ? , 同理可得点 B 的坐标为 ? 0, y0 ? k2 x0 ? , 所以 AB ? k1 ? k2 x0 , 因为 PA , PB 是圆 C 的切线,所以 k1 , k2 满足

?k ? y0 ? kx0 k 2 ?1

? 1,

即 k1 , k2 是方程 ? x0 2 ? 2 x0 ? k 2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? k ? y0 2 ? 1 ? 0 的两根,????????????7 分
? 2 y0 ? x0 ? 1? , ?k1 ? k2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 即? 2 ?k k ? y0 ? 1 . ? 1 2 x0 2 ? 2 x0 ?

所以 AB ? k1 ? k2 x0 ? x0 因为 y0 2 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ,
2

2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? ? 4 ? y0 ? 1? ?????????????????9 分 ? 2 ? ? 2 x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 x0 ? 2

所以 AB ? 2 2 分 设 f ? x0 ? ? 则 f ? ? x0 ? ? 分

? x0 ? 2 ?


5 x0 ? 6
2

.????????????????????????????10

? x0 ? 2?

5 x0 ? 6
2

?5 x0 ? 22

? x0 ? 2?

3

.?????????????????????????????? 11

? 22 ? ? 22 ? 由 2 ? x0 ? 6 ,可知 f ? x0 ? 在 ? 2, ? 上是增函数,在 ? , 6? 上是减函数,????????12 分 ? 5 ? ? 5 ?

? 22 ? 25 所以 ? ? f ? x0 ?? ? max ? f ? 5 ? ? 64 , ? ? ?1 3? 1 ? ? f ? x0 ?? ? min ? min ? f ? 2 ? , f ? 6 ?? ? min ? 4 , 8 ? ? 4 , ? ?
? 5 2? 所以 AB 的取值范围为 ? 2, ? .?????????????????????????14 4 ? ?

分 方法二:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? , 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 2 ? 4 ,
2

即 y0 2 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 ,
2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 设点 A? 0, a ? , B ? 0, b ? , 则直线 PA : y ? a ?
y0 ? a x ,即 ? y0 ? a ? x ? x0 y ? ax0 ? 0 , x0
a ? y0 ? ax0

因为直线 PA 与圆 C 相切,所以 化简得 ? x0 ? 2? a2 ? 2 y0a ? x0 ? 0 . 同理得 ? x0 ? 2? b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,

? y0 ? a ?

2

? x0 2

?1,

① ②

由①②知 a , b 为方程 ? x0 ? 2? x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,????????????????7 分

2 y0 ? ?a ? b ? x ? 2 , ? 0 即? ?ab ? ? x0 . ? x0 ? 2 ?
所以 AB ? a ? b ?

?a ? b?

2

? 4ab

? 2 y0 ? 4 x0 ? ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2
? 4 y0 2 ? 4 x0? x0 ? 2 ?

2

? x0 ? 2 ?
2

2

. ??????????????????????????9 分

因为 y0 2 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? , 所以 AB ? 2 2 分
?2 2 ? 16

? x0 ? 2 ?

5 x0 ? 6
2

????????????????????????????? 10

? x0 ? 2 ?

2

?

5 .???????????????????????? 11 x0 ? 2

分 令t ?
1 1 1 ,因为 2 ? x0 ? 6 ,所以 ? t ? . 8 4 x0 ? 2
2
2

5 ? 25 ? 所以 AB ? 2 2 ?16t ? 5t ? 2 2 ?16 ? t ? ? ? ,???????????????12 分 ? 32 ? 64

当t ? 当t ?

5 5 2 时, AB max ? , 32 4 1 时, AB min ? 2 . 4

? 5 2? 所以 AB 的取值范围为 ? 2, ? .?????????????????????????14 4 ? ?

分 21. (本小题满分 14 分) (1)解法一:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ???????????????????????1 分 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? . x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即a ? 分

2x

? x ? 1?

2

??????????????????????????????????? 2

2 ? 0 ? x ? 1? , 1 x? ?2 x 2 1 因为 ? 在 x ? ? 0,1? 内恒成立, 1 x? ?2 2 x 1 所以 a ? . 2 ?
?1 ? 故实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .?????????????????????????? 4 ?2 ?

分 解法二:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ???????????????????????1 分 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? . x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即 ax2 ? 2 ? a ?1? x ? a ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,????????????????????????? 2 分 设 g ? x ? ? ax2 ? 2 ? a ?1? x ? a , 当 a ? 0 时,得 ?2 x ? 0 ,此时不合题意.
? 1 ?a ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? 当 a ? 0 时,需满足 ? 即? 解得 a ? ,此时不合题意. 2 ? ?a ? 2 ? a ? 1? ? a ? 0, ? g ?1? ? 0, ?

? ? ? g ? 0 ? ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? ? 2 2 当 a ? 0 时,需满足 ? ? 2 ? a ? 1? ? ? ? 4a ? 0 或 ? g ?1? ? 0, 或 ? g ?1? ? 0, ? a ?1 ? a ?1 ?? ? 0, ?? ? 1, ? a ? a
1 或 a ? 1, 2 1 所以 a ? . 2

解得 a ?

?1 ? 综上所述,实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .???????????????????????4 ?2 ?

分 (2)证明:因为函数 g ? x ? ? e ,所以 g? ? x ? ? e .
x x

过点 P ? b, eb ? , Q ? ?b, e ? b ? 作曲线 C 的切线方程为:

l1 : y ? eb ? x ? b? ? eb , l2 : y ? e?b ? x ? b? ? e?b ,
因为 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,
b b ? ? y ? e ? x ? b? ? e , 由? ?????????????????????????????? 6 ?b ?b ? ? y ? e ? x ? b? ? e ,

分 消去 y ,解得 x0 ?
b ? eb + e ? b ? ? ? e b ? e ? b ?

?e

b

? e?b ?



①????????????????7 分

下面给出判定 x0 ? 0 的两种方法: 方法一:设 eb ? t , ?????????????????????????????????8 分 因为 b ? 0 ,所以 t ? 1 ,且 b ? ln t . 所以 x0 分 设 h ? t ? ? ? t 2 +1? ln t ? ? t 2 ? 1? ?t ? 1? ,
1 ???????????????????????????10 分 ?t ? 1? . t 1 令 u ? t ? ? 2t ln t ? t ? ?t ? 1? , t 1 则 u ? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 . t 1 1 当 t ? 1 时, ln t ? 0 , 1 ? 2 ? 0 ,所以 u? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 ? 0 ,????????????11 分 t t

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

.????????????????????????????9

则 h? ? t ? ? 2t ln t ? t ?

所以函数 u ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,即 h? ? t ? ? 0 ,????????????????????????? 12 分 所以函数 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 h ?t ? ? h ?1? ? 0 .???????????????????????????????13

分 因为当 t ? 1 时, t 2 ? 1 ? 0 , 所以 x0

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

? 0 .?????????????????????????14 分

方法二:由①得 x0 ?

b ?1+ e?2b ? 1 ? e?2b

?1.

设 e ?2b ? t , ????????????????????????????????????? 8分 因为 b ? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ,且 ln t ? ?2b . 2b 于是 ?1 ? ,??????????????????????????????????? ln t 9分 所以 x0 ?

2b b ?1+ t ? ? 2 1? t ? ? ? b? ? ? .??????????????????????10 分 ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?

1 1 x ?1 时, f ? x ? ? ln x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,??????????11 分 2 x ?1 2 ln t t ? 1 ? ? f ?1? ? 0 , 所以 f ? t ? ? 2 t ?1 ln t t ? 1 ? 即 . ??????????????????????????????????12 2 t ?1

由(1)知当 a ?

分 即 分 已知 b ? 0 ,
? 2 1? t ? 所以 x0 ? b ? ? ? ? 0 .????????????????????????????14 ? ln t 1 ? t ?
2 1? t ? ? 0 ,?????????????????????????????????13 ln t 1 ? t




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