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《微积分》教学大纲


《微积分》课程教学大纲 Calculus
课程编号: 适用专业:经济学、管理学本科各专业 总 学 时:119 执 笔 人:李晋明 编写日期:2003 年 12 月 12 日

学 分:7 审 核 人:施明存 院(系、部)签章:

一、课程性质和目的
《微积分》是高等院校经济学、管理学本科各专业学生必修的一门重要基础理论课.学 生应按本大纲的要求了解或理解《微积分》中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函 数积分学、多元函数微积分、常微分方程和差分方程的基本概念与基本理论;学会、掌握或 熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识结构及知识的内在联系; 应具有一定的 抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力;能运用基本概念、基本理论和基 本方法正确地判断和证明,准确地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题. 本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方 法和运算分为“会”和“掌握”两个层次.

二、课程教学内容和要求
第一章 函数 1.主要内容 函数的概念及表示法;函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性;复合函数、反函数、 隐函数、分段函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数、简单应用问题函数关系式的 建立. 2.要求 (1)理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立简单应用问题的函数关系. (2)了解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性. (3)理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念. (4)掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念. 第二章 极限与连续 1.主要内容 数列极限与函数极限的定义及其性质; 函数的左极限和右极限; 无穷小和无穷大概念及 关系;无穷小的性质及无穷小的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则:单调有界准 则和夹逼准则;两个重要极限:

sin x ? 1? lim ? 1 , lim?1 ? ? ? e; x?0 x ?? x ? x?
函数连续的概念;函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质. 2.要求 (1)了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念. (2)理解无穷小的概念和基本性质,掌握无穷小的比较.了解无穷大的概念及其与无 穷小的关系. (3)了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限四则运算法则,会应用两个重 要极限. (4)理解函数连续性的概念(含左连续与右连续) ,会判别函数间断点的类型. (5)了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界 性、最大值和最小值定理、介值定理) .

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第三章 导数与微分 1.主要内容 导数的概念;导数的几何意义和经济意义;函数的可导性与连续性之间的关系;导数的 四则运算;基本初等函数的导数;复合函数、反函数和隐函数的导数;高阶导数;微分的概 念和运算法则;一阶微分形式不变性. 2.要求 (1)理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义. (2)掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,掌 握反函数与隐函数求导法以及对数求导法. (3)了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数. (4)了解微分的概念,导数与微分之间的关系,以及一阶微分形式的不变性,会求函 数的微分. 第四章 中值定理及导数的应用 1.主要内容 微分中值定理;洛必达(L’Hospital)法则;函数单调性;函数的极值;函数图形的 的凹凸性、拐点、渐近线;函数图形的描绘;函数的最大值与最小值. 2.要求 (1) 理解罗尔 (Rolle) 中值定理、 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理、 了解柯西 (Cauchy) 中值定理,掌握这三个定理的简单应用. (2)会用洛必达(L’Hospital)法则求极限. (3)掌握函数单调性的判别方法及其应用,掌握函数极值、最大值和最小值的求法, 会解较简单的经济应用题. (4)会用导数判断函数曲线的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线. (5)掌握函数作图的基本步骤和方法,会作简单函数的图形. 第五章 不定积分 1.主要内容 原函数和不定积分的概念;不定积分的基本性质;基本积分公式;不定积分的换元积分 法与分部积分法. 2.要求 (1)理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式. (2)掌握不定积分的换元积分法与分部积分法. 第六章 定积分 1.主要内容 定积分的概念和基本性质;定积分中值定理;变上限定积分定义的函数及其导数;牛顿 (Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式;定积分的换元积分法与分部积分法;广义积分; 定积分的应用. 2.要求 (1)了解定积分的概念和基本性质,了解定积分中值定理,理解变上限定积分定义的 函数并会求它的导数,掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式,以及定积分的换 元积分法和分部积分法. (2)会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积,会利用定积分求解简单的经 济应用问题. (3)了解广义积分的概念,会计算广义积分. 第七章 多元函数微积分学 1.主要内容 多元函数的概念;二元函数的几何意义;二元函数的极限与连续的概念;有界闭区域上 二元连续函数的性质; 多元函数的偏导数的概念与计算; 多元复合函数的求导法与隐函数求

导法;二阶偏导数;全微分;多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值;二重积分的概 念、基本性质和计算;无界区域上简单二重积分的计算. 2.要求 (1)了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义. (2)了解二元函数的极限与连续的直观意义,了解有界闭区域上二元连续函数的性质. (3)了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数.会 求全微分,会用隐函数的求导法则. (4)了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解 二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日(Lagrange)乘数法求 条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,会求解一些简单的应用题. (5)了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方 法.会计算无界区域上的较简单的二重积分. 第八章 无穷级数 1.主要内容 常数项级数的收敛与发散的概念; 收敛级数的和的概念; 级数的基本性质与收敛的必要 条件;几何级数与 p 级数的收敛性;正项级数收敛性的判别法;任意项级数的绝对收敛与 条件收敛;交错级数与莱布尼兹(Leibniz)定理;幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开 区间)和收敛域;幂级数的和函数;幂级数在其收敛区间内的基本性质;简单幂级数的和函 数的求法;初等函数的幂级数展开式. 2.要求 (1)了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念. (2)掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件.掌握几何级数及 p 级数的收敛与发 散的条件.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法. (3)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与收敛的关系.掌握 交错级数的莱布尼兹(Leibniz)判别法. (4)会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域. (5) 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质 (和函数的连续性、 逐项微分和逐项积分) , 会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数. (6)掌握 e 、 sin x 、 cos x 、 ln?1 ? x ? 与 ?1 ? x? 的麦克劳林(Maclaurin)展开式, 会用它们将简单函数间接展开成幂级数.
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第九章 常微分方程 1.主要内容 常微分方程的基本概念;变量可分离的微分方程;齐次微分方程;一阶线性微分方程; 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程;微分方程的简单应用. 2.要求 (1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. (2)掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法. (3)会解二阶常系数齐次线性微分方程. (4)会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积的二 阶常系数非齐次线性微分方程. *第十章 差分方程(选讲) 1.主要内容 差分与差分方程的概念;差分方程的通解与特解;一阶常系数线性差分方程;差分方程 的简单应用 2.要求 (1)了解差分与差分方程及其通解与特解等概念. (2)掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.

(3)会应用差分方程求解简单的经济应用问题.

三、课程教学环节的安排和基本要求
1.课程教学 教学形式:以课堂讲授为主,以习题课为辅. 教学方法:启发式教学,多媒体 CAI 教学等. 2.课时分配 章 内 容 课堂教学时数 一 函数 4 二 极限与连续 16 三 导数与微分 12 四 中值定理及导数的应用 14 五 不定积分 12 机 动 2 小 计 60 六 定积分 10 七 多元函数微积分 12 八 无穷级数 10 九 常微分方程 8 十 差分方程 1 机 动 2 小 计 43 合 计 103 总 计 3.课外作业 教材中的习题原则上全作.

习题课时数 2 2 2 2 8 2 2 2 2

学 期

第一学期 (68 学时)

第二学期 (51 学时)

8 16 119

4.考试 (1)考试形式:闭卷,笔试 100 分钟. (2)试卷来源:学校教务处的试卷库. (3)试卷题型比例:填空题 15%,选择题 15%,解答题 70%. (4)试题难易比例:容易题约 60%,中等难度题约 30%,较难题约 10%.

四、本课程与其它课程的联系
1.先修课:中学数学. 2.后续课: 《线性代数》 、 《概率论与数理统计》 . 3.联系与分工:本课程是其它后续课程的必备基础.

五、建议教材及教学参考书
教材:1. 《微积分》 (第三版) ,赵树嫄主编,中国人民大学出版社. 2. 《高等数学》 (第六版)上、下册,同济大学数学教研室主编,高等教育出版社. 参考书目:1. 《经济数学(微积分)学习指导》 ,李晋明、李朝阳主编,经济管理出版社. 2. 《高等数学——解题方法与同步训练》 (第二版),同济大学数学教研室编.

六、必要的说明
1.本课程分二个学期进行,分别考试记学分. 2.本课程没有期中测验,只在期末进行一次期终考试. 3.本课程在全校实行同一时间、不同教室教师挂牌,学生自由选择上课的方式.


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