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全国高中数学联赛模拟试题3


全国高中数学联赛模拟试题(三)
(命题人:吴伟朝)

第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、若集合 S={n|n 是整数,且 22n+2 整除 2003n+2004},则 S 为 (A)空集 ? (B)单元集 (C)二元集 (D)无穷集 2 2、若多项式 x -x+1 能除尽另一个多项式 x3+x2+ax+b

(a、 b 皆为常数) . 则 a+b 等于 (A)0 (B)-1 (C)1 (D)2 2 2 3、设 a 是整数,关于 x 的方程 x +(a-3)x+a =0 的两个实根为 x1、x2,且 tan(arctan x1+arctan x2)也是整数.则这样的 a 的个数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 4、设一个四面体的体积为 V1,且它的各条棱的中点构成一个凸多面体,其 体积为 V2.则 (A)
1 2

V2 为 V1
(B)
2 3

1 2 和 2 3 (D)不确定,其值与四面体的具体形状有关 5、在十进制中,若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外,其 余各个数字都小于其左边的数字时,则称它为递降正整数.所有这样的 递降正整数的个数为 (A)1001 (B)1010 (C)1011 (D)1013 6、在正方体的 8 个顶点中,能构成一个直角三角形的 3 个顶点的直角三点 组的个数是 (A)36 (B)37 (C)48 (D)49

(C)常数,但不等于

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1 1、若直线 xcos?+ysin?=cos2?-sin2? (0<?<?)与圆 x2+y2= 有公共点, 4 则?的取值范围是 . 2、在平面直角坐标系 xOy 中,一个圆经过(0,2)、(3,1),且与 x 轴相切.则 此圆的半径等于 . 3、若常数 a 使得关于 x 的方程 lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0 有惟一解.则 a 的取值范围是 .

4、f(x)=

x2 +xcosx+cos(2x)(x∈R)的最小值是 8



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5、若 k 是一个正整数,且 2k 整除
2 1 2i i 4006 2003 C0 4006 ? C4006 3 ? ? ? C4006 3 ? ? ? C4006 3

则 k 的最大值为 . 6、设 ABCD 为凸四边形,AB=7,BC=4,CD=5,DA=6,其面积 S 的取 值范围是(a,b] .则 a+b= .

三、 (20 分)
设椭圆的左右焦点分别为 F1、F2,左准线为 l,点 P 在椭圆上.作 PQ⊥ l,Q 为垂足.试问:对于什么样的椭圆,才存在这样的点 P,使得 PQF1F2 为平行四边形?说明理由(答案用关于离心率 e 的等式或不等式来表示) .

四、 (20 分)
设 a0=1,a1=2,an+1=2an-1+n,n=1,2,3,….试求出 an 的表达式(答 案用有限个关于 n 的式子相加的形式表示,且项数与 n 无关) .

五、 (20 分)
试求出所有的有序整数对(a,b),使得关于 x 的方程 x4+(2b-a2)x2-2ax +b2-1=0 的各个根均是整数.

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第二试
一、 (50 分)
点 P 在△ABC 内,且∠BAP=∠CAP,连结 BP 并延长交 AC 于点 Q.设 ∠BAC=60°,且
1 1 1 . ? ? BP PC PQ

求证:P 是△ABC 的内心.

二、 (50 分)
设正数 a、b 满足 a ?
b 2

且使得关于 x 的不等式

x ?1 ≥ a x ?1 ? b
总有实数解.试求 f(a,b)=a2-3ab+b2 的取值范围.

三、 (50 分)
试求出正整数 k 的最小可能值,使得下述命题成立:对于任意的 k 个整 数 a1,a2,…,a(允许相等) , 必定存在相应的 k 的整数 x1,x2,…,x(也允许相等) , k k 且|xi|≤2(i=1,2,…,k),|x1|+|x2|+…+|xk|≠0,使得 2003 整除 x1a1+x2a2+… +xkak.

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:
? ? ? ? ? 2? 5? ? 1、 ? , ? ? ? , ? ; ?6 3? ? 3 6 ? ? 163 1 ? 3、 ? ? ,? ? ; 2? ? 6

1 C

2 C

3 B

4 A

5 D

6 C

2、 15 ? 6 5 ;

4、-1; 6、 2 210 .

5、2004;

?1 ? 三、 e ? ? ,1? . ?2 ?

四、a2n=2n+2-2n-3;a2n+1=3×2 n+1-2n-4. 五、(a,b)=(2l―1,l2―l―1)( ? l∈Z)

第二试
一、证略(提示:将条件变形为
PC PA PC ? ?1 ? ,然后应用正弦定理,进行三角 PA PB PQ

变换,得∠BPC=120°,利用同一法即证) ; 二、(-∞,-1). 三、kmin=7.

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