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第4讲 数列基础


高考总复习---数列

数列概念
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 ?a n ?的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公 式,即 a n ? f ( n ) . 3.递推公式:如果已知数列 ?a n ?的第一项(或前几项) ,且任何一项 a n

与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的

关系可以用一个式子来表示,即 an ? f (an ?1 ) 或 an ? f ( an ?1 , a n ?2 ) ,那么这个式子叫做数列 ?a n ? 的递推公式. 如数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an ? 2an ? 1 ,其中 an ? 2an ? 1 是数列 ?a n ?的递推公式. 4.数列的前 n 项和与通项的公式 ① S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ; ② a n ? ?

? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n . ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n . ③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….

⑤有界数列:存在正数 M 使 a n ? M , n ? N ? . ⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 a n 使得 a n ? M .

习题讲解
1、根据下面各数列的前 n 项的值,写出数列的一个通项公式. ⑴
2 4 8 16 , , , …; 1? 3 3? 5 5? 7 7?9

⑵ 9,99,999,9999,…; ⑶ 7,77,777,7777, …; 2、某数列{an}的前四项为 0, 2 ,0, 2 ,则以下各式: ① an=
2 [1+(-1)n] 2
?0 (n为 奇 数 )

② an= 1 ? ( ?1)n

? ) ③ an= ? 2 (n为 偶 数

其中可作为{an}的通项公式的是 ( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 3、已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项. ⑴ Sn=3n-2 ⑵ Sn=n2+3n+1

等差数列
1.等差数列的定义: - =d(d 为常数) . 2.等差数列的通项公式: ⑴ an=a1+ × d ⑵ an=am+ × d 3.等差数列的前 n 项和公式: Sn= = . 4.等差中项:如果 a、b、c 成等差数列,则 b 叫做 a 与 c 的等差中项,即 b= 5.数列{an}是等差数列的两个充要条件是: ⑴ 数列{an}的通项公式可写成 an=pn+q(p, q∈R) ⑵ 数列{an}的前 n 项和公式可写成 Sn=an2+bn (a, b∈R) 6.等差数列{an}的两个重要性质: ⑴ m, n, p, q∈N*,若 m+n=p+q,则 . ⑵ 数列{an}的前 n 项和为 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成 数列. 习题讲解
1、在等差数列{an}中,(1)已知 a15=10,a45=90,求 a60;(2)已知 S12=84,S20=460,求 S28; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.



2、在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= . 3、若数列{an}的通项公式是 an=2(n+1)+3,则此数列 ( ) (A)是公差为 2 的等差数列 (B)是公差为 3 的等差数列 (C) 是公差为 5 的等差数列 (D)不是等差数列 4、等差数列{an}中,a1=3,a100=36,则 a3+a98 等于 ( ) (A)36 (B)38 (C)39 (D)42 5、在等差数列{an}中,公差为 d,已知 S10=4S5,则 (A)

a1 是 ( ) d
(D)4 ( )

1 2

(B)2

(C)

1 4

6、设{an}是公差为-2 的等差数列,如果 a1+ a4+ a7+……+ a97=50,则 a3+ a6+ a9……+ a99= (A)182 (B)-80 (C)-82 (D)-84 7、等差数列{an} 中,S15=90,则 a8= ( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)12 8、等差数列{an}中,前三项依次为 (A) 50

1 5 1 , , ,则 a101= x ? 1 6x x
(C)24 (

(

) (D) 8 ) (D)300 ) (D)24

1 3

(B) 13

2 3

2 3

9、等差数列{an}中,a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450,求 a2+a8= (A)45 (B)75 (C)180

10、已知{an}是等差数列,且 a2+ a3+ a8+ a11=48,则 a6+ a7= ( (A)12 (B)16 (C)20

11、在项数为 2n+1 的等差数列中,若所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n 等于 ( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 12、等差数列{an} 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 )

13、等差数列{an}的公差为 (A)60 14、已知数列 (B)80

1 ,且 S100=145,则奇数项的和 a1+a3+a5+……+ a99=( 2
(C)72.5 (D) 其它的值

)

1 1 1 1 , , , ?, ? 则其前 n 项和 Sn=________. 6 12 20 (n ? 1)( n ? 2)

15、数列前 n 项和为 Sn=n2+3n,则其通项 an 等于____________. 16、等差数列{an}中, 前 4 项和为 26, 后 4 项之和为 110, 且 n 项和为 187, 则 n 的值为___________. 17、已知等差数列{an}的公差 d≠0, 且 a1,a3,a9 成等比数列,

a1 ? a3 ? a9 的值是________. a 2 ? a 4 ? a10

18、等差数列{an}中, a1=1,a10=100,若存在数列{bn}, 且 an=log2bn,则 b1+b2+b3+b4+b5 等于___________.

等比数列
1.等比数列的定义:
( ( ) =q(q 为不等于零的常数) . )

2.等比数列的通项公式: - - ⑴ an=a1qn 1 ⑵ an=amqn m 3.等比数列的前 n 项和公式: Sn= ? ?
? ? ? (q ? 1) (q ? 1)

4.等比中项:如果 a,b,c 成等比数列,那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项,即 b2= 5.等比数列{an}的几个重要性质: ⑴ m,n,p,q∈N*,若 m+n=p+q,则 ___. ⑵ Sn 是等比数列{an}的前 n 项和且 Sn≠0,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成 数列. ⑶ 若等比数列{an}的前 n 项和 Sn 满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比 q= .

(或 b=

) .

如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则这个数列是非 0 的常数列 2 16 1、设{an}是等比数列,且 a1= ,S3= ,则它的通项公式为 an= ( ) 3 9
? 1 ? (A) 6 ? ? ? ?2 ?
n ?1

? 1 ? (B) 6 ? ? ? ? ? 2 ?

n

? 1 ? (C) 6 ? ? ? ? ? 2 ?

n ?1

? 1 ? (D) 6 ? ? ? ? ? 2 ?

n ?1



3 2
)

2、已知 a、b、c、d 是公比为 2 的等比数列,则 (A)1 (B)

1 2
2

2a ? b = 2c ? d 1 (C) 4
2

( (D)

1 8
( )

3、已知等比数列{an} 的公比为 q,若 a n?1 =m(n 为奇数) ,则 a 3n ?1 = (A)mqn
-1

(B) mqn

(C) mq

(D)

1 8

4、已知等比数列前 10 项的和为 10,前 20 项的和为 30,那么前 30 项的和为( ) (A)60 (B)70 (C)90 (D)126 5 、 若 {an} 是 等 比 数 列 , 已 知 a4 a7= - 512 , a2+a9=254 , 且 公 比 为 整 数 , 则 数 列 的 a12 是 ( ) (A)-2048 (B)1024 (C)512 (D) -512

6、已知等比数列{an}中,an>0,公比 q≠1,则
2 2 2 2 ? a7 ? a4 ? a6 (A) a3 2 2 2 2 ? a7 ? a4 ? a6 (C) a3 2 2 2 2 ? a7 ?a4 ? a6 (B) a3

(

)

2 2 2 2 ? a7 与a 4 ? a6 的大小不确定 (D) a3

7、等比数列{an}中, 公比为 2, 前 99 项之和为 56, 则 a3+a6+a9+…a99 等于________. 8、在数列{an}中, a n ?1 ? ________.
2 an , 已知{an}既是等差数列, 又是等比数列,则{an}的前 20 项的和为 2a n ? 5

作业: 1、等差数列{an}中, S6=28, S10=36(Sn 为前 n 项和), 则 S15 等于_______. 2、已知{an}是等差数列,且有 a2+a3+a10+a11=48, 则 a6+a7=___________.

3、等比数列{an}中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则 a1 必为________. 7 4、等比数列{an}中, 已知 a1·a2·a3=1,a2+a3+a4= , 则 a1 为________. 4
5、等差数列{an}中,a1+a2+……a10=15,a11+a12+……a20=20,则 a21+a22+……a30=( (A)15 (B)25 (C)35 (D)45 6、等差数列{an}中,a1=3,a100=36,则 a3+a98= (A)36 (B)39 (C)42 ( ) (D)45 ) )

7、{an}是公差为 2 的等差数列,a1+a4+a7+……+a97=50,则 a3+a6+……+ a99= ( (A)-50 (B)50 (C)16 (D)1.82 8、若等差数列{an}中,S17=102,则 a9= ( ) (A)3 (B)4 (C)5

(D)6

9 、 数 列 {an} 为 等 比 数 列 , 若 a1+ a8=387 , a4 a5=1152 , 则 此 数 列 的 通 项 an 的 表 达 式 为 ( ) 1 (A) an =3×2n -1 (B) an =384×( )n -1 2 1 1 (C) an =3×2n -1 或 an =384×( )n -1 (D) an =3×( )n -1 2 2 9 1 2 10、在等比数列中,首项 ,末项 ,公比 ,求项数 ( ) 8 3 3 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 11、等比数列{an}中,公比为 2,前四项和等于 1,则前 8 项和等于 ( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21


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