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2.3直线平面垂直的判定及其性质-线面垂直和面面垂直的性质定理3


复习内容 直线和平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面。(线不在多重在相交)
l ? m, l?n . 已知: m ?? , m?n ? B , n ?? ,
求证: l ? ? .

l P g B m

l′

α

n

1.直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条 直线平行。 已知: a ? ? , b ? ? 求证: a // b b? b a 证明:
假定b不平行于a, 设b ? a ? o, ?a // b ?,a ???b ??? 即经过同一点o的两条直线b.b ?都垂直于平面?, 而这是不可能的。因此,a // b b ?是经过o与直线a平行的直线,

?

o

复习:互相垂直的平面:
平面角是直角的二面角叫做直二面角.相交成 直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 平面 ? ?平面 β 记作: ? ??
α A β O B ? A B

讲授新课
2.两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这 两个平面互相垂直。 条件: A B ? ?, A B ? ? ( 如图 )
结论: ? ?

?
a D A
?

B C

E

讲授新课
3.两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。

已知: ? ? ?,? ? ? ? CD , AB ? ? , AB ? CD , 垂足为 D 求证: AB ? ? 证明:在 ?内过点 B作BE ? CD ,
?
D E B C A

则?ABE 是二面角 ? ? CD ? ? 的平面角。由 ? ? ?, 可以知道: AB ? BE

?

又AB ?CD ,BE ?CD?B ,BE ,CD?? ,所以 AB ??

4.推论: 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的 一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。 已 知 :? ? ? , P ? ? , P ? a, a ? ?
求 证 :a ? ?

讲授新课

证明:设 ? ? ? ? c , 过点 P在平面 ?内作 b ? c 根据上面的定理有 b ? ?,因为经过一点只能有
?

一条直线与平面 ?垂直,所以直线 a应与直线 b重合 ? a ? ?
a P a p a a c P

?
C

c

?

例1;已知平面 ?、?,? ? ?,直线a满足a ? ?, a ? ?,试判断直线 a与?的位置关系 .
解;在 ?内作垂直于 ?与?交线的直线 b 因为 ? ??,所以 b??,因为 a ?? , 所以 a // b ,又因为 a?? ,所以 a // ? , 即直线 a与平面 ?平行

?
b

a

?

例2
已知在 60?的二面角的棱上有两点 A , B,AC , BD 分别在这个二面角的两 个面内 ,且垂直于 AB 的线段 AB ? 4 , AC ? 6 , BD ? 8。求 CD的长
解:由已知 CA? AB , AB ? BD ,?CA , BD ??180 ??60? 2 ?120 ?,所以 CD ?( CA? AB ? BD )2 ? CA ? AB 2 2 ? BD 2 ?2?6?8?COS 120 ?
C A D E B F

1 2 2 2 ?6 ?4 ?8 ?2?6?8? ?68 2 CD ?2 17

本讲到此结束,请同学们课 后再做好复习. 谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
· 2007·

王新敞
奎屯

新疆


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