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高三数学专项训练:立体几何解答题(文科)(二)


高三数学专项训练:立体几何解答题(二)(文科)
1.如图,四棱柱 P ? ABCD 中, AB ? 平面PAD. AB / /CD, PD ? AD, F 是 DC 上

1 AB, PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高. 2 (Ⅰ)求证: AB / / 平面 PDC ;
的点且 DF ? (Ⅱ)求证: PH ? BC ; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 EF ? 平面 PAB ?说明理由.

P F D H A B

C

2.如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为 侧棱 PD 上一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示.

(Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD .

试卷第 1 页,总 25 页

0 3.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD//BC, ?ADC =90 ,BA=BC 把Δ BAC 沿 AC 折起

到 ?PAC 的位置,使得点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上,如图 2 所示, 点 E , F 分别为线段 PC,CD 的中点.

(I) 求证:平面 OEF//平面 APD; (II)求直线 CD 与平面 POF; (III)在棱 PC 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P,O,C,F 四点的距离相等?请说明理由.

4. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / /CD , AB ? AD ,CD ? 2 AB , 平面 PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD . E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:

(Ⅰ) PA ? 底面 ABCD ; (Ⅱ) BE / / 平面 PAD ; (Ⅲ)平面 BEF ? 平面 PCD .

试卷第 2 页,总 25 页

5. (满分 13 分) 如图, 已知三棱锥 A-BPC 中, AP⊥PC, AC⊥BC, 为 AB 中点, 为 PB 中点, M D 且△PMB 为正三角形.

(1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC;

6. (本小题满分 13 分) 如图,正三棱柱 中,D 是 BC 的中点,

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)求三棱锥

; ; 的体积.

试卷第 3 页,总 25 页

7. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,底面△ABC 为等边三角形,∠APC=90°,PB=AC=2PA=4, O 为 AC 的中点。

(Ⅰ)求证:BO⊥PA; (Ⅱ)判断在线段 AC 上是否存在点 Q(与点 O 不重合) ,使得△PQB 为直角三角形?若 存在,试找出一个点 Q,并求

AQ 的值;若不存在,说明理由。 QC

8.如图,正三棱锥 O﹣ABC 的底面边长为 2,高为 1,求该三棱锥的体积及表面积.

试卷第 4 页,总 25 页

9.如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 2 . (1)求该正四棱锥的体积 V ; (2)设 E 为侧棱 PB 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角 ? 的大小.

10.如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别 为棱 AB, BC, A1C1 的中点.

(Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

试卷第 5 页,总 25 页

11.如图,在四棱锥 ABCD-PGFE 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC, o ∠ABC=45 ,DC=1,AB=2,PA=1.

(Ⅰ)求 PD 与 BC 所成角的大小; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PAC;

12.如图,底面△ ABC 为正三角形的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 2 , AA1 ? 1 ,

D 是 BC 的中点,点 P 在平面 BCC1 B1 内, PB1 ? PC1 ? 2 .

(Ⅰ)求证: PA1 ? BC ; (Ⅱ)求证: PB1 ∥平面 AC1 D ;

试卷第 6 页,总 25 页

13















P?

A

中 B

C,

D

AD / / BC , AD ? CD , PA ? PD ? AD ? 2BC ? 2CD , E , F 分别是 AD, PC 的中
点.

(Ⅰ)求证 AD ? 平面PBE ; (Ⅱ)求证 PA / /平面BEF ;

14.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD 是正三角形, 且平面 PAD ⊥底面 ABCD

(1)求证: AB ⊥平面 PAD (2)求直线 PC 与底面 ABCD 所成角的余弦值; (3)设 AB ? 1,求点 D 到平面 PBC 的距离.

试卷第 7 页,总 25 页

15.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB1 ? AC1 ,D , 分别是棱 BC , 1 上的点(点 D 不 E CC 1 1 同于点 C ) ,且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点. F

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

16.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD ? PD ,BC=1, PC ? 2 3 , PD=CD=2. (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。

【考点定位】本小题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的 角等基础知识.,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

试卷第 8 页,总 25 页

17 . 如 图 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面

A B C是 菱 形 , D

?BAD ? 60? , AB ? PA ? 2, PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点, F 是 AB 中点。

(1)求证: BE ∥平面 PDF ; (2)求证:平面 PDF ⊥平面 PAB ; (3)求 BE 与平面 PAC 所成的角。

18.如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AC ? 3, BC ? 4, AA1 ? 4 ,点

D 是 AB 的中点,
(1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 // 平面CDB 1 ; (3)求直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值.

试卷第 9 页,总 25 页

19. (本小题共 13 分)如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面 ABE,BE=BC,F 为 CE 上的点, 且 BF ? 平面 ACE。

(1)求证: AE ? 平面 BCE; (2)求证:AE//平面 BFD。

20.如图, PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, AD ? PA ? 2, CD ? 2 2 , E, F 分别 是 AB 、 PD 的中点. (Ⅰ)求证: AF // 平面 PCE ; (Ⅱ)求证:平面 PCE ? 平面 PCD ;

试卷第 10 页,总 25 页

21. (本小题满分 13 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 5 , D, E 分 别为 BC , BB1 的中点,四边形 B1 BCC1 是边长为 6 的正方形. (Ⅰ)求证: A1 B // 平面 AC1 D ; (Ⅱ)求证: CE ? 平面 AC1 D ;

22. (本小题满分 12 分)

E 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, , F , G, H 分别是棱 AB, CC1 , D1 A1 , BB1 的中点.
(1)证明: FH // 平面 A1 EG ; (2)证明: AH ? EG ; (3)求三棱锥 A1 ? EFG 的体积.
D1 G A1 B1 F C1

D

H C

A

E

B

试卷第 11 页,总 25 页

23.如图所示,已知 AC ⊥平面 CDE, BD ∥AC , ?ECD 为等边三角形,F 为 ED 边上的 中点,且 CD ? BD ? 2 AC ? 2 , A B

C

E

F

D

(Ⅰ)求证:CF∥面 ABE; (Ⅱ)求证:面 ABE ⊥平面 BDE; (Ⅲ)求该几何体 ABECD 的体积。

24. (13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为边长为 4 的正方形, PA ? 平 面 ABCD , E 为 PB 中点, PB ? 4 2 .

P E A B

D

C

(1)求证: PD // 面ACE . (2)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

试卷第 12 页,总 25 页

25.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,其中 PA ? PD ? AD ? 2 ,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.

(1) 求证: AD ? 平面PQB ; (2) 若平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 M 为 PC 的中点, 求四棱锥 M ? ABCD的体积.

26.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将 △ AED 、 DF △ C 分别沿 DE 、DF 折起, A 、 两点重合于点 A? , 使 连接 EF ,A?B . C

(1)求证: A?D ? EF ;

(2)求点 A? 到平面 BEDF 的距离.

试卷第 13 页,总 25 页

27. 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱 CC1 ? 底面 ABC , ACB ? 90? ,AB ? 2 , ?

BC ? 1 , AA1 ? 3 .
A A1

C B

D B1

C1

(1)证明: AC ? 平面 AB1C1 ; 1 (2)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上是否存在一点 E ,使 DE / / 平面 AB1C1 ?证明 你的结论.

28.如图,菱形 ABCD 的边长为 4, ?BAD ? 60? , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿 对角线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 2 2 .

(1)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (2)求 证 : 平 面 DOM ? 平 面 ABC ; (3)求 三 棱 锥 B ? DOM的 体 积 .

试卷第 14 页,总 25 页

29.在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形. 若 AE ? 1, AE ? 平面

ABC ,平面 BCD ? 平面 ABC , BD ? CD ,且 BD ? CD.

(1)求证: AE //平面 BCD ; (2)求证:平面 BDE ? 平面 CDE .

30. 如图,AA1 、BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直径,D 、E 分别是 AA1 、

CB1 的中点, DE ? 面CBB1 .
A1

O1
B1
D
E

A

C O
B
(1)证明: DE // 面ABC ; (2)证明: 面A1 B1C ? 面A1 AC ; (3)求四棱锥 C ? ABB1 A1 与圆柱 OO1 的体积比.

试卷第 15 页,总 25 页

31.如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90? . P

B C

A

(1)求证:平面 PBC ? 平面 PAC ; (2)若 PA ? 1, AB=2 ,当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时,求 BC 的长.

32.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 2, E 是棱 CD 上中点, P 是棱 AA1 中点, (1)求证: PD / / 面 AB1 E ; (2)求三棱锥 B ? AB1E 的体积.

D A

E

C

B D1

P

C
1

A
1

B
1

试卷第 16 页,总 25 页

33 . 如 图 , 在 底 面 为 平 行 四 边 形 的 四 棱 柱

ABCD ? A1B1C1D1

中,

D1 D ? 底面

A B C D AD ? 1 , CD ? 2 , ?DCB ? 60? . ,
(1)求证:平面 (2)若

A1BCD1 ?

平面

BDD1 B1

; 的体积.

D1D ? BD

,求四棱锥

D ? A1BCD1

34. 在四棱锥 P ? ABCD 中,?ABC ? ?ACD ? 90? ,?BAC ? ?CAD ? 60? ,PA ? 面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 4 .

P

E

A B
D

C
(1)求证: PC ? AE ; (2)求证: CE // 面 PAB ; (3)求三棱锥 P ? ACE 的体积 V .

试卷第 17 页,总 25 页

35 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , AB / /CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,

AB ? AD ? AP ? 1 , PB ? PD ? 2 , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.

P

F A B C
(1)求证: PA ? 底面 ABCD ; (2)求证:平面 FBE // 平面 PAD ; (3)求三棱锥 F ? BCE 的体积.

D E

36.如图,△ BCD 是等边三角形, AB ? AD , ?BAD ? 90 , M , N , G 分别是
?

BD , BC , AB 的中点,将△ BCD 沿 BD 折叠到 ?BC ?D 的位置,使得 AD ? C ?B .
A G B M D

N

C

(1)求证:平面 GNM // 平面 ADC? ; (2)求证: C ?A ? 平面 ABD .

试卷第 18 页,总 25 页

37.如图,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点,

AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如
图所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ?

2 . 2

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ;

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3 38.如图,已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径, AB ? 4 ,C 是⊙ O 上一点,
(3) 当 AD ? 且 PA ? AC ? BC ,
PE PF ? ??. PC PB

(1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? AE ; 1 (3)当 ? ? 时,求三棱锥 A ? CEF 的体积. 2

试卷第 19 页,总 25 页

39 . 如 图 , 在 底 面 是 直 角 梯 形 的 四 棱 锥

S-ABCD

中 ,

?ABC ? 90 ? , SA ? 面ABCD,SA ? AB ? BC ? 1, AD ?
S

1 . 2

B

C

A

D

(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)求证: 面SAB ? 面SBC; (3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值。

40. 已知如图: 平行四边形 ABCD 中,BC ? 6 , 正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直, G,H 分别是 DF,BE 的中点.
E F

H

G

D C B

A

(1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD ? 2, DB ? 4 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积.

试卷第 20 页,总 25 页

41. 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中,AB // CD ,AB ? AD , AB ? AD ? 且

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面

ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面 BDE ; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.
E
E M

D

C

F

M D C B

F

A

B

A

图1

图2

42.如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别 为棱 AB, BC, A1C1 的中点.

(Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

试卷第 21 页,总 25 页

43.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AB ? BB1 , AC ? BC ? BB1 , 点 D 是 AB 的中点, CD ? DA1 .

C1
A1

E
B1

C

A

D

B

(Ⅰ)求证: BC1 ∥平面 DCA1 ; (Ⅱ)设点 E 在线段 B1 C1 上, B1 E ? ? ? B1C1 ,且使直线 BE 和平面 ABB1 A1 所成的角

的正弦值为

10 ,求 ? 的值. 10

44.如图, AD ? 平面 ABC,AD / /CE,AC ? AD ? AB ? 1,?BAC ? 90?, 凸多面

1 , F 为 BC 的中点. 2 (Ⅰ)求证: AF / / 平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE .
体 ABCED 的体积为
E D

A B

F

C

试卷第 22 页,总 25 页

45.在如图所示的几何体中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD =DE=2AB,F 为 CD 的中点.

(Ⅰ)求证:AF∥平面 BCE; (Ⅱ)求证:平面 BCE⊥平面 CDE.

46





图 , C









P?

A

中 B 分 别

C,


D

A ? B , P ,B

?A

AB∥CD, B ? 2CD , AE, F , G, M , N A AB P P C

A B , B 的中点. D , C P ,

(Ⅰ)求证: CE∥平面PAD ; (Ⅱ)求证: 平面EFG ? 平面EMN .

试卷第 23 页,总 25 页

47.如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,E、F 分别在 BC、 AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使得平面 ABEF ? 平面 EFDC.

A

A

F

D

B
F

D

B

E

C

E

C

(Ⅰ) 当 BE ? 1 ,是否在折叠后的 AD 上存在一点 P ,且 AP ? ? PD ,使得 CP∥平面 ABEF?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由; (Ⅱ) 设 BE=x, 问当 x 为何值时, 三棱锥 A ? CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.

??? ?

??? ?

48.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F.
P

F

E

D A B

C

(I) 证明: PA∥平面 EDB; (II) 证明:PB⊥平面 EFD;

试卷第 24 页,总 25 页

49.已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 为正方形, D1 D ? 面 ABCD ,

AB ? 4 , AA1 ? 2 ,点 E 在棱 C1 D1 上,且 D1 E ? 3 .

(Ⅰ)试在棱 CD 上确定一点 E1 ,使得直线 EE1 / / 平面 D1 DB ,并证明; (Ⅱ)若动点 F 在底面 ABCD 内,且 AF ? 2 ,请说明点 F 的轨迹,并探求 EF 长度 的最小值.

50.如图,已知多面体 EABCDF的底面 ABCD是边长为 2 的正方形, EA ? 底面

ABCD, FD// EA ,且 FD ?

1 EA ? 1 . 2

(Ⅰ )求多面体 EABCDF 的体积; (Ⅱ )求证:平面 EAB⊥平面 EBC;

试卷第 25 页,总 25 页

高三数学专项训练:立体几何解答题(二)(文科)
参考答案 1. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ)详见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用 AB//CD 结合直线与平面平行的判定定理证明即可; (Ⅱ)利用已知 条件先证明 PH ? 平面 ABCD ,进而得到 PH ? BC ; (Ⅲ)取 PA 的中点 G ,连接 DG , 可以先证 DG ? 平面 PAB ,再利用平行四边形平移法证明四边形 DGEF 为平行四边形, 由 EF //DG ,进而得到 EF ? 平面 PAB ,从而确定点 E 的位置. 试题解析: (Ⅰ)证明: AB / / CD ,且 AB ? 平面 PCD, CD ? 平面 PCD,所以 AB / / 平 面 PDC 2分 (Ⅱ)证明:因为 AB ? 平面 PAD,且 PH ? 平面 PAD , 所以 AB ? PH 又 PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高,所以 PH ? AD 又 AD ? AB ? A 所以 PH ? 平面 ABCD 而 BC ? 平面 ABCD 所以 PH ? BC . 7分 (Ⅲ)解:线段 PB 上存在点 E ,使 EF ? 平面 PAB 理由如下:如图,分别取 PA、PB 的中点 G、E

P

G D H A
则 GE / /

E

F

C

B

1 AB 2 1 AB 2

由 DF / /

所以 GE / / DF , 所以 GDEF 为平行四边形,故 EF / /GD 因为 AB ? 平面 PAD,所以 AB ? GD 因此, EF ? AB 因为 G 为 PA 的中点,且 PD ? AD ,所以 GD ? PA ,因此 EF ? PA 又 PA ? AB ? A ,所以 EF ? 平面 PAB 14 分 考点:直线与平面平行、直线与平面垂直

答案第 1 页,总 45 页

2. (I)

2 ; (II)详见解析; (Ⅲ)详见解析. 3

【解析】 试题分析: (I)根据三视图等条件,求出棱锥底面积和高,可求体积; (II)在面 PFC 内找 一直线平行 AE 即可证明 AE ∥平面 PFC ; (III)证平面 PFC ? 平面 PCD 只需证明平面 PFC 过平面 PCD 的一条垂线即可. 试题解析: (Ⅰ)解:由左视图可得 F 为 AB 的中点, 所以 △ BFC 的面积为 S ? 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以四面体 PBFC 的体积为

1 ?1 ? 2 ? 1. 2

1分 2分

1 VP ? BFC ? S?BFC ? PA 3 1 2 ? ?1? 2 ? . 3 3

3分 4分 5

(Ⅱ)证明:取 PC 中点 Q ,连结 EQ , FQ . 分

由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所以 EQ ∥ CD , EQ ? 又因为 AF ∥ CD , AF ?

1 CD . 2

6分

1 CD , 所以 AF ∥ EQ , AF ? EQ . 2
8分

所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE ∥ FQ . 因为 AE ? 平面 PFC , FQ ? 平面 PFC , 所以 直线 AE ∥平面 PFC . (Ⅲ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD . 因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD . 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 AE ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . 因为 PA ? AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD . 所以 AE ? 平面 PCD . 因为 AE ∥ FQ ,所以 FQ ? 平面 PCD . 因为 FQ ? 平面 PFC , 所以 平面 PFC ? 平面 PCD .
答案第 2 页,总 45 页

9分

11 分

12 分 13 分 14 分

考点:棱锥体积公式,线面平行,面面垂直. 3.(I) (II)详见解析; (III)存在点 M 满足条件. 【解析】 试题分析: (I) 要证平面 OEF//平面 APD , 只需借助所给中点, 证明 OE / / PA 、OF / / AD 即可; (II) 借助底面为直角梯形及 OF / / AD 可得 OF ? CD ,另由已知可得: PO ? 平面

ADC ,进而可得 PO ? CD ,从而可证 CD ? 平面 POF ;(III)记点 E 为 M ,证明即可.
试题解析: (I)因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上 所以 PO ? 平面 ABC ,所以 PO ? AC 因为 AB ? BC , 所以 O 是 AC 中点, 所以 OE / / PA 同理 OF / / AD 又 OE ? OF ? O, PA ? AD ? A 所以平面 OEF / / 平面 PDA ; (II)因为 OF / / AD , AD ? CD 所以 OF ? CD 又 PO ? 平面 ADC , CD ? 平面 ADC 所以 PO ? CD 又 OF ? PO ? O 所以 CD ? 平面 POF ; (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为 CD ? 平面 POF , PF ? 平面 POF 所以 CD ? PF 10 分 11 分 8分 7分 6分 3分 4分 2分

又 E 为 PC 中点,所以

EF ?

1 PC 2
答案第 3 页,总 45 页

12 分

同理,在直角三角形 POC 中,

EP ? EC ? OE ?

1 PC 2 ,

13 分 14 分

所以点 E 到四个点 P, O, C, F 的距离相等.

考点:1、面面平行的证明;2、线面垂直的证明;3、立体几何中的探索性问题. 4. 把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直是常见的转化.要证直线和平面垂直, 依据相关 判定定理转化为证明直线和直线垂直.要证直线和平面平行,可以利用直线和平面平行的判 定定理完成。证明平面与平面垂直,需要在一个平面内找到一条和另一个平面垂直的直线, 依据平面与平面垂直的判定定理。 【解析】 (Ⅰ)因为平面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . (Ⅱ)因为 AB / /CD , CD ? 2 AB , E 是 CD 的中点, 所以 AB / / DE ,且 AB ? DE . 所以 ABED 为平行四边形. 所以 AD / / BE ,. 又因为 BE ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 BE / / 平面 PAD . (Ⅲ)因为 AB ? AD ,并且 ABED 为平行四边形, 所以 BE ? CD , AD ? CD . 由(Ⅰ)知 PA ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以 CD ? PD . 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD / / EF . 所以 CD ? EF . 所以 CD ? 平面 BEF . 所以平面 BEF ? 平面 PCD . 【考点定位】本题考查了直线和平面平行、垂直的判定定理,平面与平面垂直的判定定理和 性质定理,考查推理论证能力. 5. (1)要证 DM∥平面 APC,只需证明 MD∥AP(因为 AP?面 APC)即可. (2)在平面 ABC 内直线 AP⊥BC,BC⊥AC,即可证明 BC⊥面 APC,从而证得平面 ABC⊥平 面 APC; 【解析】 试题分析:解:(1)由已知得,MD 是△ABP 的中位线 ∴MD∥AP ∵MD?面 APC,AP?面 APC ∴MD∥面 APC (2)∵△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, ∴MD⊥PB,∴AP⊥PB 又∵AP⊥PC,PB∩PC=P ∴AP⊥面 PBC ∵BC?面 PBC ∴AP⊥BC 又∵BC⊥AC,AC∩AP=A ∴BC⊥面 APC ∵BC?面 ABC ∴平面 ABC⊥平面 APC 考点:线面平行和面面垂直 点评:解决的关键是利用线面和面面的平行和垂直的判定定理来分析证明,属于基础题。
答案第 4 页,总 45 页

6. (Ⅰ)证明:由 ABC—A1B1C1 是正三棱柱,得出 BB1⊥平面 ABC,在正△ABC 中,得到 AD⊥ BD,根据三垂线定理得,AD⊥B1D。 (Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE.由四边形 A1ABB1 是正方形, 确定 DE∥A1C.推出 A1C∥平面 AB1D.

(Ⅲ)



【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明:∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, ∴BD 是 B1D 在平面 ABC 上的射影 在正△ABC 中,∵D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BD, 根据三垂线定理得,AD⊥B1D (Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ?????????? 7 分 ∵DE 平面 AB1D,A1C 平面 AB1D,

∴A1C∥平面 AB1D. ????????9 分

(Ⅲ)

??13 分

考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系、体积计算。 点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、 体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法” 。利用几何法,要遵循“一作、二 证、三计算”的步骤, (3)小题,体积计算应用了等积法,实现了化难为易。 7. (Ⅰ)在等边△ABC 中 BO⊥AC,BO= 2 3 ,在直角△PAC 中 PO=2,在△PBO 中,由 PB=4, 得 PB =PO +BO 所以 BO⊥PO 所以 BO⊥平面 PAC 所以 BO⊥PA(Ⅱ)线段 AC 上存在点 Q, 满足
2 2 2

AQ 1 ? 使得△PQB 为直角三角形 QC 3
【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明:如图,连结 PO,

答案第 5 页,总 45 页

在等边△ABC 中,因为 O 是 AC 的中点,且 AC=4, 所以 BO⊥AC,BO= 2 3 。 在直角△PAC 中,因为 O 是斜边 AC 的中点,且 AC=4, 所以 PO=2, 2 2 2 在△PBO 中,由 PB=4,得 PB =PO +BO , 所以 BO⊥PO。 3分 又因为 AC∩PO=O,AC ? 平面 PAC,PO ? 平面 PAC, 所以 BO⊥平面 PAC, 5 分 又因为 PA ? 平面 PAC, 所以 BO⊥PA。 7分 (Ⅱ)答:线段 AC 上存在点 Q,使得△PQB 为直角三角形。 具体过程如下: 如图,过 P 作 PM⊥AC 于点 M,连结 BM, 因为 BO⊥平面 PAC, 所以 BO⊥PM。 又因为 BO∩AC=O,BO ? 平面 ABC,AC ? 平面 ABC, 所以 PM⊥平面 ABC, 所以 PM⊥BM,即△PMB 为直角三角形。 故当点 Q 与点 M 重合时,△PQB 为直角三角形。 在直角△PAC 中,由∠APC=90°,AC=2PA=4, 得 AM=1, (即 AQ=1) ,MC=3(即 QC=3) , 所以当

10 分 12 分

AQ 1 AM 1 ? (即 ? ) 时,△PQB 为直角三角形。 QC 3 MC 3

14 分

考点:线线垂直线面垂直的判定和性质 点评: 线线垂直与线面垂直之间可以互为条件结论, 本题主要利用两者间的互相推出关系证 明计算 8. 【解析】 试题分析:∵O﹣ABC 是正三棱锥, 其底面三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形, 其面积为 , ∴该三棱锥的体积= = ;

设 O′是正三角形 ABC 的中心,则 OO′⊥平面 ABC,延长 AO′交 BC 于 D.

答案第 6 页,总 45 页

则 AD=

,O′D=

,又 OO′=1,∴三棱锥的斜高 OD= =2 , .



∴三棱锥的侧面积为 × ∴该三棱锥的表面积为

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积 点评:本题考查三棱锥的体积、表面积的求法,解题时要认真审题,注意合理地化立体问题 为平面问题 9. (1) V ?

1 2 4 ?2 ? 2 ? 2 3 3

(2) ? ? arccos

3 . 6

【解析】第一问利用设 O 为底面正方形 ABCD 中心,则 PO 为该正四棱锥的高由已知,可 求得 AO ? 所以, V ?

2 , PO ? PA2 ? AO 2 ? 2

1 2 4 ?2 ? 2 ? 2 3 3 第二问设 F 为 BC 中点,连结 EF 、 AF ,
可求得 AE ?

3 , EF ? 1 , AF ? 5 ,

在 ?AEF 中,由余弦定理,得

cos? ?

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 3 ? . 2 AE ? EF 6
3 . 6 5 5

所以, ? ? arccos

【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 见解析(Ⅲ)

【解析】(Ⅰ)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC∥ A1C1 ,且 AC= A1C1 ,连结 ED,在 ?ABC 中,因为 D、E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE= 可得 A1 F =DE,且 A1 F ∥DE,

1 AC 且 DE∥AC,又因为 F 为 A1C1 的中点, 2

答案第 7 页,总 45 页

即四边形 A1 DEF 为平行四边形,所以 EF∥D A1 , 又 EF ? 平面 A1CD,D A1 ? 平面 A1CD,所以 EF//平面 A1CD. (Ⅱ) 证明:由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点, 所以 CD⊥AB,又由于侧棱 A1 A ⊥底面 ABC, CD ? 平面 A1CD,所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. (Ⅲ)在平面 A1ABB1 内,过点 B 作 BG⊥ A1 D ,交直线 A1 D 于点 G,连结 CG, 由于平面 A1CD⊥平面 A1ABB1,而直线 A1 D 是平面 A1CD 与平面 A1ABB1 的交线, 所以 BG⊥平面 A1CD,由此得 ?BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角. 设棱长为 a ,可得 A1 D ?

5a 5a ,由 ?A1 AD ∽ ?BGD ,易得 BG= , 2 5 5 BG , ? 5 BC

在 Rt ?BGC 中, sin ?BCG ?

所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为

5 . 5

本题第(Ⅰ)问,证明线面平行,可以在面内找一条直线平行于 EF,在几何证明题中,一 般遇到中点,可以联想中位线的思想;第(Ⅱ)问,证明面面垂直,必须在一个面内找一条直 线垂直另外一个平面;第(Ⅲ)问,先找出线面角,再解直角三角形求出结果.证明平行与垂 直关系时,注意写全条件;用几何法求线面角、二面角等空间角时,要注意在解答过程中指 出谁是线面角或二面角的平面角等. 【考点定位】本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基 础知识、考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. o 11. (1)60 (2)根据题意,由于 BC⊥AC,且有 PA⊥BC,则可以根据线面垂直的判定定理来得到结论。 o (3)60 【解析】 试题分析: (Ⅰ)取的 AB 中点 H,连接 DH,易证 BH//CD,且 BD=CD 1 分 所以四边形 BHDC 为平行四边形,所以 BC//DH 所以∠PDH 为 PD 与 BC 所成角 2 分 o 因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC=45 , 所以 DA⊥AB 又因为 AB=2DC=2,所以 AD=1, 因为 Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH 都为等腰直角三角形, 所以 PD=DH=PH= 2 ,故∠PDH=60 4 分 (Ⅰ)连接 CH,则四边形 ADCH 为矩形, ∴AH=DC 在 Rt△BHC 中,∠ABC=45 , ∴CH=BH=1,CB= 2 ∴AC +BC =AB
2 2 2 o o

又 AB=2,∴BH=1 ∴AD=CH=1,AC= 2

∴BC⊥AC??6 分 又 PA 平面 ABCD∴PA⊥BC ??7 分
答案第 8 页,总 45 页

∵PA∩AC=A∴BC⊥平面 PAC

8分

考点:空间角和距离的求解 点评:主要是考查了空间中线面角和二面角的平面角的求解,以及线面垂直的判定,属于基 础题。 12. (Ⅰ)利用线面垂直证明线线垂直. (Ⅱ)线线平行证明线面平行. (Ⅲ) 45? . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)取 B1C1 的中点 Q ,连结 AQ , PQ , 1 ∴ B1C1 ? A1Q , B1C1 ? PQ . 又 PQ ? A1Q ? Q , PQ ? 平面A1 PQ , A1Q ? 平面A1 PQ , ∴ B1C1 ? 平面 APQ . 1 又 PA1 ? 平面APQ ,∴ B1C1 ? PA1 . 1 ∵ BC∥B1C1 ,∴ BC ? PA1 . (Ⅱ)连结 BQ ,在 △PB1C1 中, PB1 ? PC1 ? ∴ PQ ? 1 , BB1 ? PQ . ∴ BB1∥PQ ,∴四边形 BB1 PQ 为平行四边形.∴ PB1∥BQ . 又 BQ∥DC1 ,∴ PB1∥DC1 . 又∵ PB1 ? 面 AC1 D ,∴ PB1∥ 平面 AC1 D . 考点:本题考查了空间中的线面关系 点评: 高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算, 这是高考的 重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理 13.(1)根据已知条件,要证明 AD ? 平面PBE ,则要根据线面你垂直的判定定理来得到, 分析 AD ? CD ,所以 BE ? AD 以及 PE ? AD 加以证明。 (2) 对于线面平行, PA / /平面BEF 的证明分析到 FG / / PA ,是关键一步。 (3) ?FGH =60 ,所以二面角 F-BE-C 等于 60
? ?

2 , B1C1 ? 2 , Q 为中点,

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 证明:由已知得 ED / / BC,ED ? BC , 故 BCDE 是平行四边形,所以 BE / /CD,BE ? CD ,---------1 分 因为 AD ? CD ,所以 BE ? AD , ---------2 分
答案第 9 页,总 45 页

由 PA=PD 及 E 是 AD 的中点,得 PE ? AD , 又因为 BE ? PE ? E ,所以 AD ? 平面PBE .

---------3 分 ---------4 分

(Ⅱ) 证明:连接 AC 交 EB 于 G ,再连接 FG , 由 E 是 AD 的中点及 BE / /CD ,知 G 是 BF 的中点, 又 F 是 PC 的中点,故 FG / / PA , ---------5 分 又因为 FG ? 平面BEF , PA ? 平面BEF , 所以 PA//平面BEF . ---------7 分

---------13 分 考点:线面平行和垂直证明,二面角的平面角 点评: 对于空间中的线面的平行和垂直的判定定理以及性质定理要熟练的掌握, 是解题的关 键,属于中档题。 14. (1)∵底面 ABCD 是正方形,∴AB⊥AD, ∵平面 PAD⊥底面 ABCD,AB 底面 ABCD,底面 ABCD∩平面 PAD=AD,∴AB⊥平面 PAD; (2)

10 21 ; (3) 4 7
底面 ABCD,

【解析】 试题分析: (1) ∵底面 ABCD 是正方形, ∴AB⊥AD, ∵平面 PAD⊥底面 ABCD, AB 底面 ABCD∩平面 PAD=AD,∴AB⊥平面 PAD. (2)取 AD 的中点 F,连结 AF,CF,∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PF⊥AD, ∴PF⊥平面 BCD,∴CF 是 PC 在平面 ABCD 上的射影, ∴∠PCF 是直线 PC 与底面 ABCD 所成的角 cos ?PCF ? (3)设点 D 到平面 PBC 的距离为 h,

10 4

? V D ? PBC ? V P ? BCD ' ? S ?PBC ? h ? S ?BCD ? PF
在△PBC 中,易知 PB=PC= 2 ,? S ?PBC ?

7 4

又 S ?BCD

1 3 ? 21 1 3 ? , PF ? , ?h ? 2 2 ? 7 2 2 7 4
21 7

即点 D 到平面 PBC 的距离为

考点:本题考查了线面角的求法及点到面距离的问题 点评:对于距离问题往往通过转化的方法简化计算,这两个问题是立体几何中的重点问题, 要求我们格外注意这类问题
答案第 10 页,总 45 页

15 . 1 ) ∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平 面 ABC , 又 ∵ AD ? 平 面 ABC , ( ∴ CC1 ? AD , 又 ∵ AD ? DE , 1,DE ? 平 面 B C C B C C CC , 1 1 1?

D? E

, ∴ AD ? 平 面 E

BCC1B1 , 又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1B1
(2)∵ A1 B1 ? A1C1 ,F 为 B1C1 的中点,∴ A1F ? B1C1 ,又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平 面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1F ,又∵ CC1, 1C1 ? 平面 BCC1B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 ,∴ A1 F ? 平面 B

A1 B1C1
【解析】 试题分析: (1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC , 又∵ AD ? 平面 ABC , ∴ CC1 ? AD , 又 ∵ AD ? DE , 1,DE ? 平 面 B C C B C C CC , ? 1 1 1 ∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1B1 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1F ? B1C1 , 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1F , 又∵ CC1, 1C1 ? 平面 BCC1B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 ,∴ A1 F ? 平面 A1 B1C1 , B 由(1)知, AD ? 平面 BCC1B1 ,∴ A1F ∥ AD , 又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE . 考点:本题考查了空间线面关系的判断 点评:以棱柱为载体考查立体几何中的线面、面面、点面位置关系或距离是高考的亮点,掌 握其判定性质及定理,是解决此类问题的关键 16. (I)2 (2)见解析 (3)

D E , ∴ AD ? 平 面 BCC1B1 , 又 ? E

39 13

【解析】 (I)解:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,因为底面 ABCD 是矩形,所以 AD=BC 且 AD∥ BC , 又 因 为 AD ? PD, 故 ?PAD 为 异 面 直 线 PA 与 BC 所 成 的 角 . 在 Rt ?PDA 中 ,

t an?PAD ?

PD ? 2 AD

所以,异面直线 PA 与 BC 所成的角的正切值为 2. (II)证明:由于底面 ABCD 为矩形,故 AD ? CD ,又由于 AD ? PD , CD ? PD ? D , 因此 AD ? 平面PDC 而 AD ? 平面ABCD .所以 平面PDC ? 平面ABCD .
答案第 11 页,总 45 页

(III)解:在平面 PDC 中,过点 P 作 PE ? CD 交直线 CD 于点 E,连接 EB. 由于 平面PDC ? 平面ABCD ,而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 所成的角. 在 ?PDC 中,由于 PD=CD=2, PC ? 2 3 ,可得 ?PCD ? 300 . 在 Rt ?PEC 中, PE ? PC sin 30 ? 3
0

由 AD∥BC, AD ? 平面PDC ,得 BC ? 平面PDC ,因此 BC ? PC . 在 Rt ?PCB 中, PB ?

PC 2 ? BC 2 ? 13
PE 39 ? PB 13 39 13

在 Rt ?PEB 中, sin ?PBE ?

所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为

17.解: (2) 见解析 (1) 0 (3)直线 BE 与平面 PAC 所成的角为 45 【解析】往往有两个中点时,考虑中位线,当两中点不能构成中位线时,考虑构造另一个中 点,组成两对中位线。∵ PA⊥平面 ABCD 则 PA⊥平面 ABCD 内所有的直线,∴ DF⊥PA,再 结合四边形 ABCD 是菱形,找到另一垂直条件。 (1)取 PD 中点为 M,连 ME,MF ∵ E 是 PC 的中点 ∴ ME 是△PCD 的中位线∴ ME // ∴ ME // FB

1 CD 2

∵ F 是 AB 中点且由于 ABCD 是菱形,AB // CD

∴ 四边形 MEBF 是平行四边形 ????2 分

∴ BE∥MF ???????3 分 ∵ BE ? 平面 PDF ,MF ? 平面 PDF ∴ BE∥平面 PDF ???4 分 (2) ∵ PA⊥平面 ABCD DF ? 平面 ABCD ∴ DF⊥PA?????5 分 0 ∵ 底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60 ∴ △DAB 为正△ ∵ F 是 AB 中点 ∴ DF⊥AB ?????6 分 ∵ PA、AB 是平面 PAB 内的两条相交直线 ∴ DF⊥平面 PAB ???7 分 ∵ DF ? 平面 PDF ∴ 平面 PDF⊥平面 PAB ??????8 分 (3)连 BD 交 AC 与 O、连 EO ∵ 底面 ABCD 是菱形 ∴ BO⊥AC ∵ PA⊥平面 ABCD BO ? 平面 ABCD ∴ BO⊥PA
答案第 12 页,总 45 页

∵ PA、AC 是平面 PAC 内的两条相交直线 ∴ BO⊥平面 PAC ????9 分 ∴ EO 是 BE 在平面 PAC 内的射影 ∴ ∠BEO 是 BE 与平面 PAC 所成的角 ??????10 分 ∵ O 是 AC、BD 的中点 ∴ BO=1,EO 是△PAC 的中位线 ∴ EO= ∴ 在直角△BEO 中,tan∠BEO=

1 PA=1 2

BO 0 =1 ∴ ∠BEO=45 EO
0

∴ 直线 BE 与平面 PAC 所成的角为 45 18.证明:

?棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱

? AC ? CC

1

???????1 分

又? AC ? BC 且 CC1 ? BC ? C , CC1 ? 面BB1 C1C , BC ? 面BB1 C1C

? AC ? 面BB C C
1 1

????????2 分

? BC1 ? 面BB1 C1C ,

? AC ? BC

1

????????3 分 ????????4 分 ????????5 分 ????????6 分

(2)证明:设 B1C ? BC1 ? O ,连结 OD

? O、D 分别为 BC1及BA 中点 ? OD ? 面CDB1 , AC1 ? 面CDB1

? OD || AC

1

? AC // 平面CDB
1

1

(3)解:由(1)知, AC ? 面BB1 C1C

?直线 AB 与平面 BB C C 所成角为 ?AB C
1 1 1 1

????????????8 分

在 ?AB1C 中, ?ACB1 ? RT?, AC ? 3, B1 C ? 4 2 ,

?tan ?AB C = ?ACB
1

1

?

AC 3 3 2 ? ? ?????????????10 分 B1C 4 2 8

【解析】略 19.解: (Ⅰ)证明:? AD ? 平面 ABE , AD ∥ BC ?????????????????2 分 ? BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC 又? BF ? 平面 ACE ,则 AE ? BF ?????????????????5 分 ? AE ? 平面 BCE (Ⅱ)证明:依题意可知: G 是 AC 中点 ??????????????6 分 ? BF ? 平面 ACE ,则 CE ? BF , 而 BC ? BE ? F 是 EC 中点 ??????????????9 分 在△ AEC 中, FG ∥ AE

AE ? 平面BFD 又 FG ? 平面BFD ? AE ∥ 平面BFD

??????????????13 分

答案第 13 页,总 45 页

【解析】略

6 3 ? 4' 16 8 20. (3)n ? m ? 2共13种 P? P? 13 16 5'

17. (1)取 PC 中点 G ∴AFGE 是□ ∴AF∥EG ∴AF∥平面 PCE (2)AF⊥平面 PCD ∴EG⊥平面 PCD ∴平面 PCE⊥平面 PCD 4‘

4‘

5‘ 【解析】略 21.16. (I)连接 A1C 交 AC1 于 O,连接 OD ∵四边形 AA1C1C 为平行四边形 ∴O 为 A1C 中点 ∵D 为 BC 中点 ∴OD ?
//

1 A1B 2

∵ODC 平面 AC1D ∴A1B//平面 AC1D (II)∵ABC-A1B1C1 为直棱柱 ∴BB1⊥平面 ABC ∴BB1⊥AD ∵AB=AC 且 D 为 BC 中点 ∴AD⊥BC ∴AD⊥平面 BB1CC1 ∴AD⊥CE
答案第 14 页,总 45 页

∵BB1C1C 为正方形 D、E 分别为各边中点 ∴CD=BE CC1=BC CE=C1D ∴△CC1D≌△CEB ∴∠2=∠3 o ∵∠1+∠2=90 o ∴∠1+∠3=90 ∴C1D⊥CE ∵AD⊥CE ∴CE⊥平面 AC1D (III)过 D 作 DE⊥AC 于 E,连 C、E ∵CC1⊥平面 ABC ∴CC1⊥DE ∵DE⊥AC ∴DE⊥平面,AA1CC1 ∴设 C-AC1-D 成角为α ∴ cos ? ?

S ?AC1E S ?AC1D

?

8 5 25

【解析】略 22.解: (1)证明:? FH // B1C1 , B1C1 // A1G, ? FH // A1G 又 A1G ? 平面 A1GE , FH ? 平面 A1GE ,
? FH // 平面 A1 EG

-------2 分

-------4 分

(2)? A1G ? 平面 ABB1 A1 , AH ? 平面 ABB1 A1 ,
? AH ? A1G

-------5 分

又? ?ABH ? ?A1 AE, ??HAB ? ?EA1 A
? ?A1 AH ? ?HAB ? 90?, ??A1 AH ? ?EA1 A ? 90? ,? AH ? A1 E

-------6 分

又? A1G ? A1 E ? A1 ,? AH ? 平面 A1 EG ,
? EG ? 平面 A1 EG ,故 AH ? EG

-------7 分

-------8 分

(3)连结 HA1 , HE, HG ,由(1)得 FH // 平面 A1 EG ,?VH ? A1EG ? VF ? A1EG -------9 分 又 S?A1EH ? S ABB1 A1 ? S?A1 AE ? S?A1B1H ? S?EBH ? 1? 1 ?
1 1 1 3 1 ? ? ? , A1G ? 4 4 8 8 2

-------10 分

答案第 15 页,总 45 页

1 1 3 1 1 ?VA1 ? EFG ? VF ? A1EG ? VH ? A1EG ? VG ? A1EH ? S?A1EH ?A1G ? ? ? ? 3 3 8 2 16

-------12 分

【解析】略 23. (1)证明:取 BE 的中点 G,由中位线定理 CF∥AG 得到 CF∥面 ABE; (2)由△ECD 为等边三角形得到 CF⊥ED,又由 CF⊥BD 得 CF⊥面 BDE,所以 AG⊥面 BDE, 从而面 ABE ⊥平面 BDE ; (3) V E ? ABCD ? 【解析】 试题分析: (1)证明:取 BE 的中点 G,连 FG∥

1 1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 。 3 2 1 1 BD ,AC∥ BD ,故 CF∥AG ? CF∥面 ABE 2 2

(4 分) (2)证明:△ECD 为等边三角形 ? CF⊥ED 又 CF⊥BD ? CF⊥面 BDE CF∥AG 故 AG⊥面 BDE ? 面 ABE ⊥平面 BDE (8 分) (3)几何体 ABECD 是四棱锥 E-ABCD,EH⊥CD ? EH⊥面 ABCD

VE ? ABCD ?

1 1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 3 2

(12 分)

考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系,体积计算。 点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、 体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法” 。利用几何法,要遵循“一作、二 证、三计算”的步骤, (1)小题,将立体问题转化成平面问题,这也是解决立体几何问题的 一个基本思路。 24. (1)证明:连接 CD ,交 AB 于 F,连接 EF.

P E A F D C B

推出 EF / /PD 进一步得到 PD // 面ABE . (2) V ?

1 16 S?AEC ? BC= . 3 3

【解析】 试题分析: (1)证明:因为 E 为 PC 的中点,连接 CD ,交 AB 于 F,连接 EF.

答案第 16 页,总 45 页

P E A F D C
?四边形 ABCD 为正方形
?F 为 CD 的中点

B

? EF // PD 又? PD?面 ABE,EF?面 ABE,
? PD // 面ABE . ?????????????5 分
(2)?四边形 ABCD 为正方形 ? AC ? BC ? PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ? PA ? BC

? PA ? AC=A ? BC ? 面 PAC ? PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD
?????????????10 分

? PA ? AC

在 RT?PAC 中, PC ? 4 2 ,AC=4,则 PA=AC=4

? AE ? PC ? E 为 PC 的中点 1 S?AEC ? AE ? EC ? 4 2 1 16 ?V ? S?AEC ? BC= ?????????????13 分 3 3
考点:本题主要考查立体几何中平行、垂直及几何体体积的计算。 点评:典型题,立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题,象立 体几何中的计算问题,往往要“一作、二证、三计算” 。 25.(1)详见解析; (2) VM ? ABCD ? 1 . 【解析】 试题分析:(1)只要证 AD 与平面 PQB 内的两条直线相交垂直即可,如 AD 与 PQ , BQ 都 垂 直 ; (2) 先 作 求 出 四 棱 锥 M ? A B C D 高 , 再 利 用 四 棱 锥 体 积 公 式 求 四 棱 锥 的 M ? ABCD 的体积. 试题解析: (1)? PA ? PD , Q 为中点,? AD ? PQ 连 DB ,在 ?ADB 中, AD ? AB , ?BAD ? 60? , 1分

??ABD 为等边三角形, Q 为 AD 的中点,

答案第 17 页,总 45 页

? AD ? BQ , PQ ? BQ ? Q , PQ ? 平面 PQB , BQ ? 平面 PQB ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) 3分

2分

? AD ? 平面 PQB .
(2)连接 QC ,作 MH ? QC 于 H .

4分 5分

P M C H B

D Q A

? PQ ? AD , PQ ? 平面 PAD ,
平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 平面 PAD ? 平面 ABCD, 6分

? PQ ? 平面ABCD ,
QC ? 平面ABCD ,
? PQ ? QC ? PQ / / MH .

7分

8分 9分 10 分

? MH ? 平面ABCD ,
又 PM ? 1 PC ,? MH ? 2

1 1 3 3 . PQ ? ? ?2 ? 2 2 2 2

11 分

在菱形 ABCD 中, BD ? 2 , 方法一: S?ABD ?

1 3 1 = 3, ? AB ? AD ? sin 600 = ? 2 ? 2 ? 2 2 2

12 分

? S菱形ABCD ? 2S?ABD ? 2 3 .
1 3 1 VM ? ABCD ? ? S菱形ABCD ? MH ? ? 2 3 ? ?1. 3 2 3
答案第 18 页,总 45 页

13 分

14 分

方法二: AC ?

AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 cos1200
12 分

? 1? = 4+4 ? 8 ? ? ? ? ? 2 3 , ? 2?
1 1 ? S菱形ABCD ? ? AC ? BD ? ? 2 3 ? 2 ? 2 3 , 2 2

13 分

VM ? ABCD
1 ? ? S菱形ABCD ? MH 3
1 3 ? ?2 3? ?1 3 2
14 分

考点:1、空间线面垂直关系的证明;2、空间几何体体积的计算. 26.(1)略(2)

2 . 3

【解析】 试题分析:试题分析: (1)由 A?D ? A?E , A?D ? A?F 证出 A?D ? 平面 A?EF ,进而证出 结 论 ; 2 ) 应 用 等 体 积 法 , 先 求 出 VD ? A?EF , 再 根 据 VD ? A?EF ? V A?? DEF , 以 及 (

1 VA?? DEF ? S ?DEF ? h ,求出 h ,即为所求. 3 试题解析:1) ( 在正方形 ABCD 中, AD ? AE , ? CF 有 CD
分 则 A?D ? A?E , A?D ? A?F 又 A?E ? A?F ? A? ∴ A?D ? 平面 A?EF 而 EF ? 平面 A?EF ,∴ A?D ? EF (2)∵正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点 ∴ S四边形BEDF ? ∵ S? BEF ∴ S? DEF 2分 3分 4分 5分

1

1 1 S正方形ABCD = ? 22 =2 2 2 1 1 ? ?1?1 ? 2 2 1 3 ? 2? ? 2 2

6分 7分 8分

在 Rt △ BEF 中, BE ? BF ? 1 ,∴ EF ? 而 A?E ? A?F ? 1 ,∴ A?E ? A?F ? EF
2 2 2

2
9分 10 分

1 1 ? 1? 1 ? 2 2 由(1)得 A?D ? 平面 A?EF ,且 A?D ? 2 ,
∴ S? A?EF ?

答案第 19 页,总 45 页

∴ VD ? A?EF ?

1 1 1 1 S? A?EF A?D ? ? ? 2 ? 3 3 2 3 1 1 3 1 S? DEF h ? ? ? h ? 3 3 2 3

11 分 12 分 13 分

设点 A? 到平面 BEDF 的距离为 h ,则 VA?? DEF ? ∴h ?

2 3 2 3

∴点 A? 到平面 BEDF 的距离为

14 分

考点:线面垂直的判定及性质,等体积法求点到平面的距离. 27. (1)见解析.(2)当点 E 为棱 AB 的中点时, DE / / 平面 AB1C1 .证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)要证明线面垂直,须证明直线与平面内的两条相交直线都垂直,一般要遵循 “先找再作”的原则,对图形进行细致分析是关键.注意到 ?ACB ? 90? ,得到 BC ? AC . 由侧棱 CC1 ? 底面 ABC ,得到 CC1 ? BC .从而得到 BC ? 平面 ACC1 A1 . BC ? AC , 1 利用 BC / / B1C1 ,得到 B1C1 ? A1C .结合四边形 ACC1 A1 为正方形. 得到 A1C ? AC1 .推出 AC ? 平面 AB1C1 . 1 (2)对于这类存在性问题,往往是先通过对图形的分析,找“特殊点” ,肯定其存在性,再 加以证明. 注意到当点 E 为棱 AB 的中点时,取 似,得到 EF / / 平面

BB1

的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE ,利用三角形相

AB1C1

及 FD / / 平面

AB1C1

AB1C1 ,利用平面 EFD / / 平面 .推出

DE / / 平面 AB1C1 .
试题解析: (1)∵ ?ACB ? 90? ,∴ BC ? AC . ∵侧棱 CC1 ? 底面 ABC ,∴ CC1 ? BC . ∵ AC ? CC1 ? C ,∴ BC ? 平面 ACC1 A1 . ∵ A1C ? 平面 ACC1 A1 ,∴ BC ? AC , 1 ∵ BC / / B1C1 ,则 B1C1 ? A1C . 在 Rt?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 ,∴ AC ? 3 . ∵ AA1 ? 3 ,∴四边形 ACC1 A1 为正方形. ∴ A1C ? AC1 .
答案第 20 页,总 45 页

4分

6分

∵ B1C1 ? AC1 ? C1 ,∴ AC ? 平面 AB1C1 . 1 (2)当点 E 为棱 AB 的中点时, DE / / 平面 AB1C1 . 证明如下: 如图,取 BB1 的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE , A A1

7分 9分

E C B F D B1 C1

∵ D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点, ∴ EF / / AB1 . ∵ AB1 ? 平面 AB1C1 , EF ? 平面 AB1C1 , ∴ EF / / 平面 AB1C1 . 同理可证 FD / / 平面 AB1C1 . ∵ EF ? FD ? F , ∴平面 EFD / / 平面 AB1C1 . ∵ DE ? 平面 EFD , ∴ DE / / 平面 AB1C1 . 考点:立体几何的平行关系与垂直关系 28. (1)详见解析; (2)详见解析; (3) 14 分 13 分 11 分 12 分

2 3 . 3

【解析】 试题分析: (1)利用三角形的中位线平行于相应的底边证明 OM //AB ,然后结合直线与平 面平行的判定定理即可证明 OM // 平面 ABD ; (2)先利用翻折时 OD 与 AC 的相对位置不 变证明 OD ? AC ,然后利用勾股定理证明 OD ? OB ,并结合直线与平面垂直的判定定理 先证明 OD ? 平面 ABC ,最终利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 DOM ? 平面 (3)利用(2)中的结论 OD ? 平面 ABC ,利用等体积法将三棱锥 B ? DOM 的体 ABC ; 积转化为以点 D 为顶点,?BOM 所在平面为底面的三棱锥 D ? BOM 的体积来计算,则三 棱锥的高为 DO , ?BOM 的面积为底面积,然后利用锥体的体积公式即可计算三棱锥 D ? BOM 的体积,在计算 ?BOM 的面积时,首先应确定 ?BOM 的形状,然后选择合适
答案第 21 页,总 45 页

的公式计算计算 ?BOM 的面积. 试题解析: (1)因为 O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点,所以 OM / / AB . 因为 OM ? 平 面 ABD, AB ? 平面 ABD,所以 OM // 平面 ABD . (2)因为在菱形 ABCD 中, OD ? AC ,所以在三棱锥 B ? ACD 中, OD ? AC . 在菱形 ABCD 中,AB=AD=4, ?BAD ? 60 ,所以 BD=4.因为 O 为 BD 的中点,
?

OD ?
所以

1 1 BD ? 2 OM ? AB ? 2 2 2 .因为 O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点,所以 .

2 2 2 ? 因为 OD ? OM ? 8 ? DM ,所以 ?DOM ? 90 ,即 OD ? OM .

因为 AC ? 平面 ABC, OM ? 平面 ABC, AC ? OM ? O ,所以 OD ? 平面 ABC. 因为 OD ? 平面 DOM,所以平面 DOM ? 平面 ABC . (3)由(2)得, OD ? 平面 BOM,所以 OD 是三棱锥 D ? BOM 的高.

1 1 3 S?BOM ? ? OB ? BM ? sin 60? ? ? 2 ? 2 ? ? 3 2 2 2 因为 OD ? 2 , ,
所以 VB ? DOM ? VD ? BOM ?

1 1 2 3 . S?BOM ? OD ? ? 3 ? 2 ? 3 3 3

考点:直线与平面平行、平面与平面平行、等体积法 29. (1)证明详见解析; (2)证明详见解析. 【解析】 试题分析: 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、AM ,先根据已知条件证出 DM ? 平面 ABC , (1) 再证 AE ∥ DM ,最后得出 AE ∥平面 BCD ; (2)先判断四边形 DMAE 是平行四边形, 利用已知证明 AM ? 平面 BCD , DE ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD ,再证明 CD ? 平面 BDE ,所以平面 BDE ⊥平面 CDE . 试题解析:

(1) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM , 因为 BD ? CD ,且 BD ? CD , BC ? 2
答案第 22 页,总 45 页

所以 DM ? 1, DM ? BC , AM ? BC . 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE / / DM , 又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD , 所以 AE ∥平面 BCD . (2)由(1)已证 AE / / DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1, 所以四边形 DMAE 是平行四边形, 所以 DE ∥ AM . 由(1)已证 AM ? BC ,又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD . 又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD . 因为 BD ? CD , BD ? DE ? D , 所以 CD ? 平面 BDE . 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ⊥平面 CDE . 考点:1.线面平行的判定;2.面面垂直的判定. 30.(1)详见解析; (2) 详见解析; (3) 【解析】

1分

3分

4分 5分 6分

7分 8分

10 分 11 分 12 分 13 分 14 分

2 . 3?

试题分析:(1)证明线面平行,可证线线平行,所以通过证明四边形 AOED 是平行四边形可 知 DE // OA, DE ? 面ABC ,从而证得 DE // 面ABC .(2)证明面面垂直,可证线面垂直, 所以通过证明 A1 B1 ? 面A1 AC ,而 A1 B1 ? 面A1 B1C ,从而证得 面A1 B1C ? 面A1 AC .(3) 关键是求四棱锥的高,通过证明 CA ? 面AA1 B1 B 找到 CA 就是棱锥的高,再分别利用圆柱 和棱锥的体积公式计算. 试题解析: (1)证明:连结 EO , OA .? E, O 分别为 B1C , BC 的中点,∴ EO // BB1 . 又 DA // BB1 ,且 DA ? EO ?

1 BB1 .∴四边形 AOED 是平行四边形, 2
4分

即 DE // OA, DE ? 面ABC . ∴ DE // 面ABC .

(2) 证明: AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线,所以 AB // A1 B1 且 AA1 ? 圆O ,即 AA1 ? AB , 又 BC 是底面圆 O 的直径,所以 AB ? AC , AC ? AA1 ? A ,所以 AB ? 面A1 AC 由
答案第 23 页,总 45 页

AB // A1 B1 ,所以 A1 B1 ? 面A1 AC , A1 B1 ? 面A1 B1C ,
所以 面A1 B1C ? 面A1 AC 9分

(3)解:由题 DE ? 面CBB1 ,且由(1)知 DE // OA .∴ AO ? 面CBB1 ,∴ AO ? BC , ∴ AC ? AB . 因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA ? AB ,且 AA1 ? CA , ∴ CA ? 面AA1 B1 B ,即 CA 为四棱锥的高.设圆柱高为 h ,底半径为 r , 则 V柱 ? ?r 2 h , V锥 ?

2 1 2 . h( 2r ) ? ( 2r ) ? hr 2 ∴ V锥 : V柱 ? 3 3 3?

14 分

考点:1、线面平行的证明,2、面面垂直的证明,3、柱体和锥体的体积计算. 31. (1)详见解析; (2) BC ? 【解析】 试题分析: (1)利用已知条件先证明 BC ? 平面 PAC ,然后再利用平面与平面垂直的判定 定理证明平面 PBC ? 平面 PAC ; 方法 1: (1) (2) 利用 中的提示信息说明 PA ? 平面 ABC , 将 PA 视为三棱锥 P ? ABC 的高,设 BC ? x ,将底面积用 x 表示出来,最后将三棱锥 P ? ABC 用以 x 的代数式进行表示,并结合基本不等式求最大值;方法 2:由于 ?ABC 为 直角三角形,将 ?ABC 的面积用以 ?ABC 为自变量的三角函数表示,最终将三棱锥 P ? ABC 的体积用三角函数进行表示,最后利用三角函数的相关方法求体积的最大值. 试题解析: (1) 证明: 因为 ?PAB ? ?PAC ? 90? , 所以 PA ? AB ,PA ? AC . 分 因为 AB ? AC ? A ,所以 PA ? 平面 ABC . 因为 BC ? 平面 ABC ,所以 BC ? PA . 因为 ?ACB ? 90? ,所以 BC ? CA . 因为 PA ? CA ? A ,所以 BC ? 平面 PAC . 2分 3分 4分 5分 6分 1

2.

因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PBC ? 平面 PAC . (2)方法 1:由已知及(1)所证可知, PA ? 平面 ABC , BC ? CA , 所以 PA 是三棱锥 P ? ABC 的高. 7分 P

B C

A

因为 PA ? 1, AB=2 ,设 BC ? x ? 0 ? x ? 2 ? , 所以 AC ?

8分 9分

AB 2 ? BC 2 ? 22 ? x 2 ? 4 ? x 2 .

答案第 24 页,总 45 页

因为 VP ? ABC ?

1 S△ABC ? PA 3
10 分

1 x 4 ? x2 6 1 2 ? x ? 4 ? x2 ? 6 ?
2 2 1 x ? ?4 ? x ? ? ? 6 2

11 分 12 分

1 ? . 3
当且仅当 x 2 ? 4 ? x 2 ,即 x ?

2 时等号成立.

13 分

所以当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时, BC ?

2.
7分

14 分

方法 2:由已知及(1)所证可知, PA ? 平面 ABC , 所以 PA 是三棱锥 P ? ABC 的高. 因为 ?ACB ? 90? ,设 ?ABC ? ? ? 0 ? ? ?

? ?

??

?, 2?

8分 9分 10 分

则 BC ? AB cos? ? 2cos? , AC ? AB sin ? ? 2sin ? . 所以 S△ABC ? 所以 VP ? ABC

1 1 ? BC ? AC ? ? 2cos ? ? 2sin ? ? sin 2? . 2 2 1 ? S△ABC ? PA 3
11 分 ,

1 ? sin 2? . 3
因为 0 ? ? ? 所以当 ? ?

?
2

?
4

, VP ? ABC 有最大值

此时 BC ? 2cos

?
4

1 . 3
13 分

12 分

? 2.

所以当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时, BC ?

2.

14 分

考点:平面与平面垂直的判定,锥体体积的计算,基本不等式,三角函数的最值. 32. (1)详见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)先证 PQ//

4 . 3 1 1 A1 B1 ,再证 DE // A1 B1 ,? PQ //DE ,所以四边形 PQDE 为 2 2

平行四边形,得到线线平行,得到线面平行;(2)三棱锥 B -AB1 E 换成三棱锥 B1 -ABE ,即

答案第 25 页,总 45 页

1 1 VB -AB1E =VB1 -ABE = ( AB ? BC) BB1 . ? 3 2
试题解析:(1)取 AB1 中点 Q,连接 PQ, D E

C

A

B

P D1 A1

Q

C1

B1

则 PQ 为中位线, PQ//

1 A1 B1 , 2
,E

2分

而正方体 ABCD-A1B1C1D1 故 DE //

是棱 CD 上中点,

1 A1 B1 , 2

4分

? PQ //DE ,所以四边形 PQDE 为平行四边形。
∴PD//QE, 6分

而 QE ? 面 AB1 E , PD ? 面 AB1 E , 故 PD / / 面 AB1 E 8分 10 分

(2)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 ? 面 ABE,故 BB1 为高, BB1 ? 2 ∵CD//AB∴ S?ABE ? S?ABC ? 故 VB ? AB1 E ? VB1 ? ABE

1 1 AB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 1 4 14 分. ? BB1 ? S?ABC ? 3 3

12 分

考点:考查线面平行的判定定理,三棱锥换顶点求体积. 33. (1)详见解析; (2) V ? 1 . 【解析】 试题分析: (1)由

BC ? BD ,BC ?BB

1 得:

BC ? 平面 BDD1 B1 ,进而证得面面垂直; (2)

法 1:做出底面的垂线,证明线面垂直,再利用体积公式;法 2:分割法转化成两个三棱锥 的体积之和,再利用转换顶点的求三棱锥的体积,再相加求四棱锥的体积(省去找底面的垂 线)
答案第 26 页,总 45 页

试 题 解 析 :( 1 ) 证 明 :

在 ?ABD 中 , 由 余 弦 定 理 得 :

BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AD ? AB cos ?DCB ? 3 ,
所以 AD ? BD ? AB ,所以 ?ADB ? 90? ,即 AD ? BD ,
2 2 2

3分

又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD , 又 又

D D ? BC D1 D ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,所以 1 , D1 D ? BD ? D
,所以 BC ? 平面

4分 5分 6 分

BDD1 B1

,

A BCD1 A BCD1 ? BDD1 B1 又 BC ? 平 面 1 ,所以平面 1 平面 .
D1 A1 M D A
解法一图

C1 B1

C B

(2)法一:连结 ∵ BC ? 平面

BD1

,∵

DD1 ? BD ? 3
BC ? BD1


,∴

BD1 ? 6
8分

BDD1 B1

,所以

所以四边形

A1 BCD1

1 S A1BCD1 ? 2 ? ? BC ? BD1 ? 6 2 的面积 ,

10 分



BD1

的中点 M ,连结 DM ,则

DM ? BD1 A1BCD1 ?

DM ?
,且 平面

6 2 ,


又平面

A1BCD1 ?

平面

BDD1

,平面

BDD1 ? BD1

A BCD1 所以 DM ? 平面 1 ,
所以四棱锥

13 分

D ? A1BCD1

的体积:

1 V ? ? S A1BCD1 ? DM ? 1 3 .

14 分

答案第 27 页,总 45 页

D1 A1 B1

C1

D A
解法二图

C B

法二: 四棱锥 而三棱锥

D ? A1BCD1

的体积

V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1



8分 10 分

D ? A1 BD1

与三棱锥

D ? BCD1

底面积和高均相等,

所以

1 V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ? 2VD ? BCD1 ? 2VD1 ? BCD ? 2 ? 3 ? S BCD ? DD1 ? 1



14 分

考点:1.面面垂直;2.线面垂直;3 等体积法求锥体的体积 34.(1)因为等腰三角形 APC 中 PC ? AF ,同时 PA ? 面 ABCD ,可知结论, ( (2)利用中位线性质在 ?PAD 中, EM ∥ PA .得到结论。 (3) VP ? AEC ? VE ? PAC ? 【解析】 试题分析:解: (1)证明 取 PC 中点 F ,连接 AF , EF . 在 Rt ?ABC 中, AB ? 2 , ?BAC ? 60? , 则 1分

1 1 16 3 S Rt ?PAC ? EF ? ? 8 ? 2 3 ? 3 3 3

BC ? 2 3 , AC ? 4 .
2分

而 PA ? 4 则 在等腰三角形 APC 中 PC ? AF . ① 又 在 ?PCD 中, PE ? ED, PF ? FC , 则 因 则 又 则

EF ∥ CD PA ? 面 ABCD , CD ? 面 ABCD , PA ? CD ,
?ACD ? 90? ,即 CD ? AC ,
4分 5分

3分

CD ? 面 PAC , CD ? PC , 所以 EF ? PC . ②

答案第 28 页,总 45 页

由①②知 PC ? 面 AEF . 故 6分 PC ? AE .

P

F
A

E

M
B

D

C
(2) (法一)取 AD 中点 M ,连接 EM , CM . 则 在 ?PAD 中, EM ∥ PA . 又 EM ? 面 PAB , PA ? 面 PAB 则 EM ∥面 PAB , 在 Rt ?ACD 中, ?CAD ? 60? 所以 ?ACM 为正三角形, 则 ?ACM ? 60? 又 ?BAC ? 60? 则 又 则 而 8分

7分

MC ∥ AB . MC ? 面 PAB , AB ? 面 PAB MC ∥面 PAB , EM ? MC ? M , 所以 面 EMC ∥面 PAB . 又 EC ? 面 EMC 则 EC ∥面 PAB .
(法二)延长 DC , AB 交于 N ,连接 PN .

9分 10 分 11 分 7分

在 ?AND 中, ?NAC ? ?DAC ? 60? , AC ? CD , 则 又

C 为 ND 的中点 PE ? ED

9分

所以 EC ∥ PN 又 EC ? 面 PAB , PN ? 面 PAB 则 EC ∥面 PAB . (3)由(1) (2)知 AC ? 4 , CD ? 4 3

10 分

11 分

答案第 29 页,总 45 页

1 EF ? CD ? 2 3 2 因 CD ? 面 PAC , EF ∥ CD 则 EF ? 面 PAC ,


12 分 14 分

1 1 16 3 VP ? AEC ? VE ? PAC ? S Rt ?PAC ? EF ? ? 8 ? 2 3 ? 3 3 3

考点:线面平行以及体积的运算 点评:主要是考查了空间中线面的位置关系的判定以及体积的求解,属于中档题。 35.(1)关键是找出 PA ? AD , PA ? AB (2)关键是证明 BE / / 平面 PAD ,

EF // 平面PAD (3)
【解析】

1 12

试题分析: (Ⅰ)证明:∵ AB ? AD ? AP ? 1 ,PB ? PD ?

2 ,? PA2 ? AD 2 ? PD 2 , ,

? PA2 ? AD 2 ? PD 2 ,? ?PAD ? 90 0 ,? PA ? AD , 同理可得: ? AB, AB ? AD ? A PA
∴ PA ? 底面 ABCD (Ⅱ)证明:∵ AB / /CD , CD ? 2 AB , E 是 CD 的中点,∴ABED 为平行四边形 ∴ BE // AD 又∵ BE ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , ∴ BE / / 平面 PAD . 由于 EF是?PCD 的中位线,? EF // DP, 同理得? EF // 平面PAD, EF ? BE ? E, 所以:平面 FBE // 平面 PAD (Ⅲ)由(Ⅰ)知 PA ? 底面 ABCD , 由已知 AP ? 1 , F 是 PC 的中点,得 F 到底面 ABCD 的距离为 由已知 AB / /CD , AB ? AD , CD ? 2 AB , AB ? AD ? 1,
1 1 PA ? , 2 2

1 1 ? 1? 1 ? , 2 2 1 1 1 1 ∴三棱锥 F ? BCE 的体积为 ? ? ? . 3 2 2 12
∴三角形 BCE 的面积为 考点:直线与平面垂直的判定定理;直线与平面平行的判定定理;三棱锥的体积 点评:在立体几何中,常考的定理是:直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定 定理。当然,此类题目也经常要我们求出几何体的体积和表面积。 36. (1)通过证明所以 MN // 平面 ADC? . 同理 NG // 平面 ADC? ,来得到面面平行。 (2)根据题意,由勾股定理的逆定理,可得 AB ? C A ,以及所以 AD ? 平面 C AB .来的
' '

得到线面垂直。 【解析】 试题分析:证明: (1)因为 M , N 分别是 BD , BC 的中点,
'

答案第 30 页,总 45 页

所以 MN // DC? .因为 MN ? 平面 ADC? , DC? ? 平面 ADC? , 所以 MN // 平面 ADC? . 2分 同理 NG // 平面 ADC? . 4分 又因为 MN ? NG ? N , 5 分 所以平面 GNM // 平面 ADC? .
?

6分

(2)因为 ?BAD ? 90 ,所以 AD ? AB . 又因为 AD ? C B ,且 AB ? C B ? B ,
'
'

所以 AD ? 平面 C AB .
'

8分

因为 C A ? 平面 C AB ,
' '

所以 AD ? C A .
'

9分

因为△ BCD 是等边三角形, AB ? AD , 不防设 AB ? 1,则 BC ? CD ? BD ? 可得 C?A ? 1 . 11 分
'

2,

由勾股定理的逆定理,可得 AB ? C A . 所以 C A ? 平面 ABD .
'

12 分 13 分

考点:面面平行以及线面垂直 点评:主要是考查了空间中线面垂直以及面面平行的 运用,属于基础题。 【答案】(1)见解析 (2) 见解析(3)

3 324

【解析】 (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

AD AE ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中 ? DB EC 也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ; ?
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? CF ①, BF ? CF ?

1 . 2

? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ?

2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2

答案第 31 页,总 45 页

? BF ? AF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / /CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GE ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 ? 3 2 3 2 3 ? ?
解决折叠问题,需注意一下两点:1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应 用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变; 2. 折前折后的图形结合起来使用.本题第一问关键是利用相似比在折叠完以后没有变化,达到 证明目的;第二问中借助勾股定理和不变的垂直关系,借助线面垂直的判断定理证明;第三 问利用体积转化,充分借助第一问的平行关系和第二问的垂直关系进行求解. 【考点定位】线面平行于垂直、几何体的体积问题. 38. (1)欲证 EF∥面 ABC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 EF 与面 ABC 内一直 线平行即可,根据中位线可知 EF∥BC,又 BC?面 ABC,EF?面 ABC,满足定理所需条件; (2)欲证 EF ? AE ,可先证 EF⊥面 PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 EF 与面 PAC 内两相交直线垂直,而 PA⊥面 ABC,BC?面 ABC,则 BC⊥PA,而 AB 是⊙O 的直径, 则 BC⊥AC,又 PA∩AC=A,则 BC⊥面 PAC,满足定理条件;
2 2 3 【解析】

(3)

试题分析:解: (1)证明:在三角形 PBC 中,

PE PF ? ?? PC PB

所以 EF//BC, BC ? 面ABC, EF ? 面ABC,

? EF // 面ABC
(2) ?

4分

? PA ? 面ABC ? BC ? PA ? BC ? 面ABC
7分

又 AB 是⊙ O 的直径,所以 BC ? AC 所以, BC ? 面PAC 8分 因 EF//BC BC ? 面PAC ,所以 EF ? 面PAC 因为 AE ? 面PAC , 所以 EF ? AE . (3)? 在 Rt ?ABC 中, AB ? 4
? PA ? AC ? BC = 2 2

10 分

当? ?
?

1 时, E 是 PC 中点. F 为 PC 中点 2 1 BC ? 2 2 S?EAC ? 1 1 1 1 1 S?PAC ? ? PA ? AC ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 2 2 2 2

EF ?

12 分

1 1 2 2 14 分 VA?CEF ? VF ? ACE ? S?ACE EF ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3 考点:直线与平面平行,三棱锥的体积 点评: 本题主要考查直线与平面平行的判定, 以及空间两直线的位置关系的判定和三棱锥的
? EF ? 面PAC
答案第 32 页,总 45 页

体积的计算,体积的求解在最近两年高考中频繁出现,值得重视. 39.(1) (2)

1 4
? SA ? BC

? SA ? 面ABCD,BC ? 面ABCD,

? AB ? BC,SA ? AB ? A,

? BC ? 面SAB ? BC ? 面SAB ?面SAB ? 面SBC
(3)

2 2

【解析】 试题分析: (1)解:

1 1 1 1 1 1 v ? Sh ? ? ? ( AD ? BC ) ? AB ? SA ? ? ( ? 1) ?1?1 ? 3 3 2 6 2 4
(2)证明:

4分

? SA ? 面ABCD,BC ? 面ABCD, ? SA ? BC
又? AB ? BC,SA ? AB ? A, ? BC ? 面SAB

? BC ? 面SAB ?面SAB ? 面SBC

9分

(3)解:连结 AC,则 ?SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角。
2 2 在三角形 SCA 中,SA=1,AC= 1 ? 1 ?

2,

tan ?SCA ?

SA 1 2 ? ? AC 2 2

14 分

考点:椎体体积线面所成角及面面垂直的判定 点评:椎体体积公式 V ?

1 Sh ,求线面角首先要找到斜线在平面内的射影,本题中的射影 3

为 AC,判定面面垂直常转化为一平面内的一条直线垂直于另外一面 40. (1)由四边形 EFBC 是平行四边形 ,H 为 FC 的中点 ,得, HG // CD ,推出 GH∥平 面 CDE ; (2) VF ? ABCD ?

1 1 S? ABCD ? FA = ? 8 2 ? 6 ? 16 2 。 3 3

【解析】 试题分析: (1)证明:∵ EF // AD , AD // BC ∴ EF // BC 且 EF ? AD ? BC

答案第 33 页,总 45 页

E

F

H

G

D C B

A

∴四边形 EFBC 是平行四边形 ∴H 为 FC 的中点 又∵G 是 FD 的中点 ∴ HG // CD 4分 ∵ HG ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE ∴GH∥平面 CDE 7分 (2)解:∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD, ∴FA⊥平面 ABCD.

2分

9分

∵ BC ? 6 , ∴ FA ? 6 又∵ CD ? 2, DB ? 4 2 , CD2 ? DB2 ? BC 2 ∴BD⊥CD 11 分

∴ S? ABCD ? CD ? BD = 8 2 ∴ VF ? ABCD ?

1 1 S? ABCD ? FA = ? 8 2 ? 6 ? 16 2 3 3

14 分

考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系,体积计算。 点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、 体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法” 。利用几何法,要遵循“一作、二 证、三计算”的步骤。利用向量则能简化证明过程,对计算能力要求高。本题(2)小题, 计算体积时,利用了局部与整体的关系,焦点较为方便。 41. (1)利用线线平行证明线面平行; (2)利用线线垂直证明线面垂直; (3)利用等体积法 求解点到面平面的距离 【解析】 试题分析:
E F M D A G N C B

解: (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN, BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD ,且 MN ?

1 CD . 2

答案第 34 页,总 45 页

1 CD , 所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 2 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 4分 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC ,所以 AM ∥平面 BEC . (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . 7分
由已知 AB ∥ CD , AB ? 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 在△ BCD 中, BD ? BC ?

3分

5分

2.

2 , CD ? 2 ,
8分 10 分 11 分 12 分

所以 BD 2 ? BC 2 ? CD2 .所以 BC ? BD .

所以 BC ? 平面 BDE . (3)解法一:由(2)知, BC ? 平面 BDE 又因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ? 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ?

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE ? BE

2 3

?

6 3
6 . 3
14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

解法二:由(2)知, BC ? BE, BC ? BD 所以 S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2
12 分

S ?BCE ?

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2

又 VE ? BCD ? VD ? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h. 则

S ? DE 1 6 1 1 ? ? S ?BCD ? DE ? ? S ?BCE ? h , 所以 h ? ?BCD S ?BCE 3 3 3 6 2
6 . 3
14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

考点:本题考查了空间中的线面关系 点评: 立体几何问题主要是探求和证明空间几何体中的平行和垂直关系以及空间角、 体积等
答案第 35 页,总 45 页

计算问题.对于平行和垂直问题的证明或探求,其关键是把线线、线面、面面之间的关系进 行灵活的转化. 在寻找解题思路时, 不妨采用分析法, 从要求证的结论逐步逆推到已知条件. 42. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)连接 ED ,要证明 EF // 平面 A1CD ,只需证明 EF //DA1 即可; (Ⅱ)欲证 平面 A1CD ? 平面 A1 ABB1 ,即证平面内一直线与平面垂直,根据直线与平面垂直的判定定 理证得 CD ? 平面 A1 ABB1 ,再根据平面与平面垂直的判定定理证明即得; (Ⅲ)先过 B 作

5 . 5

BG ? AD 交 A1 D 于 G ,利用(Ⅱ)中的结论得出 BG ? 平面 A1CD ,从而 ?BCG 为所求
的角,最后在直角 ?BCG 中,求出 sin ?BCG 即为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角的正弦 值. 试题解析: (Ⅰ)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC //A1C1 且 AC ? A1C1 , 连接 ED , ?ABC 中, 在 因为 D 、 分别为 AB 、 的中点, 所以 DE ? BC E

1 AC 且 DE //AC , 2

又因为 F 为 A1C1 的中点,可得 A1 F ? DE ,且 A1 F //DE ,即四边形 A1 DEF 为平行四边形, 所以 EF //DA1 ,又 EF ? 平面 A1CD , DA1 ? 平面 A1CD ,? EF // 平面 A1CD ;

(Ⅱ)由于底面 ABC 是正三角形, D 为 AB 的中点,故 CD ? AB , 又由于侧棱 AA1 ? 底面 ABC , CD ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? CD , 又 AA1 ? AB ? A ,因此 CD ? 平面 A1 ABB1 ,而 CD ? 平面 A1CD ,所以平面 A1CD ? 平 面 A1 ABB1 ; (Ⅲ)在平面 A1 ABB1 内,过点 B 作 BG ? A1 D 交直线 A1 D 于点 G ,连接 CG ,
答案第 36 页,总 45 页

由于平面 A1CD ? 平面 A1 ABB1 ,而直线 A1 D 是平面 A1CD 与平面 A1 ABB1 的交线, 故 BG ? 平面 A1CD ,由此得 ?BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角, 设棱长为 a ,可得 A1 D ?

5 5 a ,由 ?A1 AD ? ?BGD ,易得 BG ? a, 2 5
BG 5 , ? BC 5

在 Rt ?BGC 中, sin ?BCG ?

所以直线 BC 与平面 A1CD 所成的角的正弦值为

5 . 5

考点:直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定、直线与平面所成的角 43. (Ⅰ)连接 AC1 交 AC 于点 M ,连接 DM ,得到 DM ∥ BC1 ,进一步可得 BC1 ∥平面 1

DCA1 .
(Ⅱ) a ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明:在三棱柱 C1 , E 中, 连接 AC1 交 AC 于点 M ,连接 DM ,则 M 是 AC1 的中点 1 在 ?ABC1 中,点 D 是 AB 的中点, 所以 DM ∥ BC1 , 又 DM ? 平面DCA1 , BC1 ? 平面DCA1 , 所以 BC1 ∥平面 DCA1 . (5 分)

1 。 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, AC ? BC , AC ? BC ,点 D 是 AB 的中点 所以 CD ? AB ,又 CD ? DA1 , AB, DA1 是平面 ABB1 A1 内的相交直线, 所以 CD ? 平面 ABB1 A1 ,可知 CD ? BB1 . (7 分)

又 AB ? BB1 , AB, CD 是平面 ABC 内的相交直线,交点是 D, 知 BB1 ? 平面 ABC .

BB1 ? 平面 A1B1C1

在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, SAD 为线段 AB 上的点,

答案第 37 页,总 45 页

过 C1 , E 分别作 C1 D1 ? A1 B1 于点 D1 , EE1 ? A1 B1 于点 E1 ,连接 BE , BE1 由 BB1 ? 平面 A1 B1C1 , EE1 ? 平面A1 B1C1 ,得 EE1 ? BB1 又 EE1 ? A1 B1 , BB1 、 A1 B1 是平面 SAD 内的相交直线 所以 EE1 ? 平面 A1 B1 BA ,

BE1 是 BE 在平面 SAB 内的射影, EE1 ? BE1
?EBE1 是直线 BE 和平面 SAD 所成的角.
(12 分)

设 AC ? BC ? BB1 ? 1 ,由 B1 E ? ? ? B1C1 得 B1 E ? ? (0 ? ? ? 1) , 可得 EE1 ?

2 ? , BE ? 1 ? ? 2 2

2 ? EE 10 1 ? 2 ? 所以在 Rt ?BE1E 中, sin ?EBE1 ? , 解得 a ? (14 分) BE 10 2 1? ?2
考点:三棱柱的几何特征,平行关系,垂直关系,角的计算。 点评:中档题,立体几何问题中,平行关系、垂直关系,角、距离、面积、体积等的计算, 是常见题型,基本思路是将空间问题转化成为平面问题,利用平面几何知识加以解决。要注 意遵循“一作,二证,三计算” 。利用“向量法” ,通过建立空间直角坐标系,往往能简化解 题过程。 44. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)取 BE 的中点 G,连结 GF,GD, 只需证明 AF / /GD ; (Ⅱ)先证明 DG ? 面 BCE ,再证平面 BDE ? 平面 BCE . 试题解析: (Ⅰ)证明:? AD ? 平面 ABC , AC ? 面 ABC , AB ? 面 ABC , ? AD ? AC,AD ? AB ,

? AD / /CE, CE ? AC ? ∴四边形 ACED 为直角梯形. (1 分) 又??BAC ? 90?, AB ? AC, AB ? 面 ACED . ? ? 1 ∴凸多面体 ABCED 的体积 V ? ? S ACED ? AB 3 1 1 1 ? ? ? (1 ? CE ) ?1?1 ? , 3 2 2 求得 CE ? 2 . (3 分) 取 BE 的中点 G,连结 GF,GD, 如图:

(2 分)

答案第 38 页,总 45 页

1 CE ? 1 , 2 ?GF / / AD,GF ? AD ,四边形 ADGF 为平行四边形, (5 分) ? AF / / DG . 又∵GD ? 面 BDE,AF ? 面 BDE, (7 分) ? AF / / 平面 BDE . (Ⅱ)证明:? AB ? AC ,F 为 BC 的中点, (8 分) ? AF ? BC . 由(Ⅰ)知 AD ? 平面 ABC,AD / /GF, GF ? 面 ABC . ? (9 分) ? AF ? 面 ABC ,? AF ? GF . 又 BC ? GF ? F ,∴ AF ? 面 BCE . (10 分) 又∵ DG / / AF ,∴ DG ? 面 BCE . (11 分) (12 分) ? DG ? 面 BDE ,∴面 BDE ⊥面 BCE .
则 GF / / EC,GF ? 考点:1.线面平行;2.线面垂直;3.面面垂直. 45. (1)根据中位线性质可知,GF∥DE,且 GF=

1 DE,那么得到线线平行来证明。 2

(2)对于面面垂直的证明,先证明线面垂直,AF⊥平面 CDE.,然后得到证明。 【解析】 试题分析:证明:(1)如图,取 CE 的中点 G,连接 FG,BG. ∵F 为 CD 的中点,∴GF∥DE,且 GF=

1 DE. 2

∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥DE.∴GF∥AB. 又 AB=

1 DE,∴GF=AB.∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. 2

∵AF?平面 BCE,BG?平面 BCE,∴AF∥平面 BCE.

(2)∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点,∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF.又 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE.∵BG?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. 考点:空间中线面的位置关系 点评:主要是考查了空间中线面平行以及线面垂直的运用,属于中档题。 46.见解析 【解析】 (I)取 PA 的中点 H ,连接 EH , DH .
答案第 39 页,总 45 页

因为 E 为 PB 的中点,所以 EH ? AB, EH ? 又 AB ? CD, CD ?

1 AB , 2

1 AB , 2

所以 EH ? CD, EH ? CD. 因此四边形 DCEH 是平行四边形. 所以 CE ? DH . 又 DH ? 平面 PAD , CE ? 平面 PAD , 因此 CE ?平面 PAD .

另解:连结 CF . 因为 F 为 AB 的中点,所以 AF ? 又 CD ?

1 AB. 2

1 AB, 所以 AF ? CD. 2

又 AF ? CD ,所以四边形 AFCD 为平行四边形,因此 CF ? AD . 又 CF ? 平面 PAD ,所以 CF ? 平面 PAD . 因为 E , F 分别为 PB, AB 的中点,所以 EF ? PA. 又 EF ? 平面 PAD ,所以 EF ? 平面 PAD . 因为 CF ? EF ? F ,所以平面 CEF ? 平面 PAD . (II)证明 因为 E , F 分别为 PB, AB 的中点, 所以 EF ? PA ,又因为 AB ? PA ,所以 AB ? EF. 同理可证 AB ? FG . 又 GF ? EF ? F , EF ? 平面 EFG , FG ? 平面 EFG , 因此 AB ? 平面 EFG . 又 M , N 分别为 PD, PC 的中点,所以 MN ? CD .
答案第 40 页,总 45 页

又 AB ? CD ,所以 MN ? AB. 因此 MN ? 平面 EFG , 又 MN ? 平面 EMN ,所以平面 EFG ? 平面 EMN .

【考点定位】本题考查空间直线与平面,平面与平面间的位置关系,考查推理论证能力和空 间想象能力.要证 CE ?平面 PAD , 可证明平面 PAD 与 CE 所在的某个平面平行, 不难发现 平面 CEF ? 平面 PAD .证明平面 EFG ? 平面 EMN 时,可选择一个平面内的一条直线 ( MN )与另一个平面垂直.线面关系与面面关系的判断离不开判定定理和性质定理,而形 成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的,如图形固有的位置关系,中点 形成的三角形的中位线等,都为论证提供了丰富的素材. 47.(Ⅰ) ? ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)存在 P 使得满足条件 CP∥平面 ABEF,且此时 ? ?

3 (Ⅱ) x=3 时 VA?CDF 有最大值,最大值为 3 2 3 . 2分 2

A B M F

P
D
C

E
下面证明: 当? ? 有

??? 3 ??? ? ? 3 AP 3 时,即此时 AP ? PD ,可知 ? ,过点 P 作 MP∥FD,与 AF 交于点 M ,则 2 2 AD 5

MP 3 // ? ,又 FD= 5 ,故 MP=3,又因为 EC=3,MP∥FD∥EC,故有 MP ? EC,故四边形 MPCE FD 5 为平行四边形,所以 PC∥ME,又 CP ? 平面 ABEF,ME ? 平面 ABEF,故有 CP∥平面 ABEF 成
立. 6 分 (Ⅱ)因为平面 ABEF ? 平面 EFDC,平面 ABEF ? 平面 EFDC=EF,又 AF ? EF,所以 AF⊥平面 EFDC . 由 已 知 BE = x ,, 所 以 AF = x(0 ? x ? 4) , FD = 6 ? x . 故

VA?

C D F

?

1 1 1 1 ? 2? ( ?6 x ? ) x ? ? ( x62 x? ) ? [ x2? ( 3 2 3 3
答案第 41 页,总 45 页

1 ? ) ? 9 ] ?2 ?.所以,当 x? 3 3 x ( ?3 ) 3

=3 时, VA?CDF 有最大值,最大值为 3.

12 分

考点:线面平行的判定及椎体的体积 点评:本题第一问求解时可采用空间向量法,以 F 为原点建立坐标系,写出点 P 的坐标(用 ? 表示)通过直线的方向向量与平面的法向量垂直得到 ? 值即可求出点 P 的位置 48.(1)结合线面的判定定理,根据题意得到 PA∥EO 是解题的关键一步 (2)根据已知的线面垂直可知 PD⊥底面 ABCD 且 DC?底面 ABCD,∴PD⊥DC ,同时可知同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC.进而推理得到 BC⊥平面 PDC.结合判定定理 得到证明。 【解析】 试题分析:解: (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO 而 EO?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, 所以,PA∥平面 EDB (2)证明: ∵PD⊥底面 ABCD 且 DC?底面 ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC.① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE?平面 PDC,∴BC⊥DE.② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC 而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 EFD. 考点:线面垂直以及线线垂直的判定问题 点评:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能 力和推理论证能力 49. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)点 F 在平面 ABCD 内的轨迹是以 A 为圆心,半径等于 2 的四分 之一圆弧,且 EF 长度的最小值为 13 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先利用证明四边形 DD1 E1 E 为平行四边形证明 EE1 //DD1 从而证明直线

EE1 // 平面 D1 DB ,或者可以以 EE1 // 平面 D1 DB 为已知条件出发,利用直线与平面平行的
性质定理得到 EE1 //DD1 ,进而确定点 E1 的位置; (Ⅱ)先确定四边形 ABCD 的形状以及各 边的长度, 然后再根据 AF ? 2 以及点 A 为定点这一条件确定点 F 的轨迹, 在计算 EF 的过 程中, 可以利用 DD1 ? 平面 ABCD 以及 EE1 //DD1 从而得到 EE1 ? 平面 ABCD , 于是得到

EE1 ? E1 F ,进而可以由勾股定理 EF ? EE12 ? E1 F 2 ,从而将问题转化为当 E1 F 取到最
小值时, EF 取到最小值.
答案第 42 页,总 45 页

试题解析: (Ⅰ) CD 的四等分点 E1 , 取 使得 DE1 ? 3 , 则有 EE1 / / 平面 D1 DB . 证明如下: 1分 因为 D1 E / / DE1 且 D1 E ? DE1 , 所以四边形 D1 EE1 D 为平行四边形,则 D1 D / / EE1 , 2分 4分

因为 DD1 ? 平面 D1 DB , EE1 ? 平面 D1 DB ,所以 EE1 / / 平面 D1 DB .

(Ⅱ) 因为 AF ? 2 ,所以点 F 在平面 ABCD 内的轨迹是以 A 为圆心, 半径等于 2 的四分之 一圆弧. 6分 因为 EE1 / / DD1 , D1 D ? 面 ABCD ,所以 E1 E ? 面 ABCD , 故 EF ? 7分

E1 E 2 ? E1 F 2 ? 4 ? E1 F 2 .

8分

所以当 E1 F 的长度取最小值时, EF 的长度最小,此时点 F 为线段 AE1 和四分之一圆弧的 交点, 10 分

即 E1 F ? E1 A ? AF ? 5 ? 2 ? 3 , 所以 EF ?

E1 E 2 ? E1 F 2 ? 13 .
12 分

即 EF 长度的最小值为 13 .

考点:直线与平面平行、勾股定理、点到圆上一点距离的最值 50. (Ⅰ) V多面体 ? VE ? FCD ? VE ? ABCD ?

10 . (Ⅱ )见解析.(Ⅲ)利用三角形中位线定 3

理,取线段 DC 的中点 Q ,连接即为所求.

【解析】
答案第 43 页,总 45 页

试题分析: (Ⅰ)连接 ED,利用“分割法”计算得 V多面体 ? VE ? FCD ? VE ? ABCD ?

10 . (Ⅱ ) 3

根据 ABCD 为正方形, 得到 AB⊥BC. 利用 EA⊥平面 ABCD, 得到 BC⊥EA. 证得 BC⊥平面 EAB. 根据 BC?平面 EBC,得到平面 EAB⊥平面 EBC.(Ⅲ)取线段 DC 的中点 Q ;连接 KQ ,则直 线 KQ 即为所求. 试题解析: (Ⅰ)如图,连接 ED, ∵ EA ? 底面 ABCD 且 FD // EA ,∴ FD ? 底面 ABCD ∴ FD ? AD ∵ DC ? AD,FD ? CD ? D ∴ AD ? 面 FDC 1分

1 1 1 2 2分 AD ? S ?FDC ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3 1 1 8 VE ? ABCD ? EA? S? ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3分 3 3 3 10 ∴ V多面体 ? VE ? FCD ? VE ? ABCD ? . 5分 3
∴ VE ? FCD ?

(Ⅱ )∵ABCD 为正方形,∴AB⊥BC. 6分 ∵EA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴BC⊥EA. 7 分 又 AB∩EA=A,∴BC⊥平面 EAB. 8分 又∵BC?平面 EBC, ∴平面 EAB⊥平面 EBC. 10 分

答案第 44 页,总 45 页

考点:1、平行关系,2、垂直关系,3、体积计算.

答案第 45 页,总 45 页


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