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广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高一数学下学期第二次阶段考试试题 文


揭阳一中 2014—2015 学年度第二学期高一级第 2 次阶段考试 数学科试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在四个备选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知平面向量 a = (1, ?3) , b ? (4, ?2) ,若 ? a ? b 与 a 垂直,则 ? =(

?

?


? ?

?



? ? ? ? ? ? 2.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a =(2, 0), b =1,则| a +2 b |等于(
A. 3 B.2 3 C.4 D.12 ) 3.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:( A. ?

A.-1

B.1

C.-2

D.2 )

?? ? ? , ? ?3 2?

B. ?

?? ? ,? ? ?3 ?

C. ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

D. ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

4. 程序框图如下:

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( ) A、 k ? 10? B、 k ? 10? C、 k ? 11? D、 k ? 11? → → → 5. 设 0≤θ ≤2π ,向量OP1=(cos θ ,sin θ ),OP2=(2+sin θ ,2-cos θ ),则向量P1P2的模长的 最大值为( ) A. 2 B. 3 C.2 3 D.3 2
2 6. 若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? ) 有最小值,则实数 a 的取值范围是 (

1 2



A. (0,1) B. (0,1) ? (1, 2)
2 2

C. (1, 2)

D. ? 2, ??

?

?
) D. 0 )

7. 从圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ?3,2? 向这个圆作两条切线, 则两切线夹角的余弦值为(

A.

1 2

B.

3 5

C.

3 2

8. 过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为( 3 (A) 16 9 (B) 16 3 (C) 8 9 (D) 32

9. 已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 ( ) (A) a ? b ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b ??? ? ??? ? o 10. 给定两个长度为 1 的平面向 量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 .如图所示,
1

6 5

3 2

5 2

(B) b ? a ? c

???? ??? ? ??? ? ??? ? OC ? xOA ? yOB , 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是( AB 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动.若
A. 2 B.2 C. 3 D.3

)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. 已知 α 、 β 为锐角, 且 a =(sin α , cos β ), sin β ), 当 a ? b 时, α +β =________. b =(cos α , 12. 在边长为 2 的正三角形 ABC 中, 设 AB ? c, BC ? a, CA ? b , 则 a ?b ?b ?c ?c ?a ?

?

?

? ?

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

?? ?? ??

.

13.求值:

(1 ? tan 22?)(1 ? tan 23?) 1 ? 2 sin 610? cos 430? ? = 2 sin 250? ? cos790?

.

π? π? ? ? 14.关于函数 f(x)=cos?2x- ?+cos?2x+ ?,有下列说法: 3? 6? ? ? ①y=f(x)的最大值为 2;②y=f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数; ③y=f(x)在区间?

?π ,13π ?上单调递减;④将函数 y= 2cos 2x 的图象向左平移π 个单位后,将 ? 24 ?24 24 ?

与已知函数的图象重合. 其中正确说法的序号是________.(注:把你认为正确的说法的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a sin x ? cos x ? 2 cos x ? 1, f ( ) ? 4 ,

?

(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 在 x ? [ ?

? ?

6

, ] 的值域。 4 4

16. (本小题满分 12 分)如图,函数 y=2sin( 的图象与 y 轴交于点(0,1). (Ⅰ)求φ 的值;

? ? x+φ ),x∈R,(其中 0≤φ ≤ ) 2 2

(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角的余弦值. 17.(本小题满分 14 分)函数 f ( x) ? cos( ? ) ? cos(

???? ? ??? ?

x 2

4k ? 1 x ? ? ) , k ?Z , x?R 。 2 2

(1)求 f ( x) 的周期; (2) f ( x) 在 [ 0 , ? ) 上的减区间; (3)若 f (? ) ?

? ? 2 10 , ? ? ( 0 , ) ,求 tan( 2? ? ) 的值。 2 4 5

18. (14 分)如图 1,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上一点,它的正(主) 视图和 侧(左)视图如图 2 所示. (1)证明:AD⊥平面 PBC;(2)求三棱锥 D-ABC 的体积;
2

19. (本小题满分 14 分) 已知半 径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下 ,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) , 若存在,求 出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 当 ?1 ? x ? 0 时 f ( x) ? e? x ; 当0 ? x ?1 时 f ( x) ? 4 x2 ? 4 x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在(-1,1)上的单调区间; (Ⅱ)若 g ( x) ? f ( x) ? kx(k ? 0) ,求函数 g ( x) 在 [0,3] 上的零点个数.

3

揭阳一中 2014—2015 学年度第二学期高一级第 2 次阶段考试 数学科(文科)答案 一、选择题 BBCAD 二、填空题 11. CBADB

? ; 2

12.-3;

13. 2;

14. ①②③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 解: 解 : (1)由题意得 : f ( ) ? 2a sin

?

?
6

6

cos

?
6

? 2 cos 2

?
6

? 1 ? 4 ,即

3 5 a ? ? 4 ,………..2 分 2 2

解得: a ? 3 ;? a的值为 3 。………………… …………..3 分 (2)由(1)得: f ( x ) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 1 ?
2

3 sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? 1
……………….…..5 分

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin( 2 x ? ? x ? [?

?
6

) ? 2 ………….…………7 分

, ] ,…………………………………………..8 分 3 3 ? ? ? ? 2? 令 z ? 2 x ? ,则 y ? sin z在[? , ]上为增函数 , 在[ , ]上为减函数 ,…10 分 6 3 2 2 3 6

? ?

, ] 4 4

? 2x ?

?

? [?

? 2?

? sin(2 x ?

?
6

) ? [?

3 ,1],则f ( x) ? [2 ? 3,4] ,即 f ( x)的值域为 [2 ? 3, 4] …………….12 分 2
1 ? ? . 因为 0 ? ? ? ,所以 ? ? .…6 分 2 2 6

16.(本小题满分 12 分) 解: (I)因为函数图像过点 (0,1) ,所以 2sin ? ? 1, 即 sin ? ? (II)由函数及其图像,得 M ( ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 3 PM ? PN ? ??? ? ? …………12 分 所以 PM ? (?1,?2), PN ? (1,?2) 从而 cos ? PM , PN ?? ???? 5 | PM | ? | PN |
17.(本小题满分 14 分)解: (1) f ( x) ? cos( ? ) ? cos(

1 5 2 ,0), N ( ,0), P ( ,2) 3 3 3

x x x ? ? cos ? 2 sin ( ? ) , (k ?Z ) 2 2 2 4 2? 所以, f ( x) 的周期 T ? …… 5 分 ? 4? 。 1 2 ? x ? 3 ? 5 (2)由 ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,得 ? 4k? ? x ? ? ? 4k? , k ? Z 。 2 2 4 2 2 2 ? sin

x 2

4k ? 1 x x ? x ? ? ) ? cos ? cos( 2k? ? ? ) 2 2 2 2 2

4

又 x ? [ 0 , ? ) ,令 k ? 0 ,得

?
2

?x?

∴ f ( x) 在 [ 0 , ? ) 上的减区间是 [ (3)由 f (? ) ?

?
2

5 7? 3 ? ;令 k ? ?1 ,得 ? ? x ? ? ? (舍去) 2 2 2
…… 9 分

,? )。

8 3 ? ? 2 10 2 10 ,得 sin ? cos ? ,∴ 1 ? sin ? ? , ∴ sin ? ? 5 5 2 2 5 5

又? ? ( 0 ,

?
2

) ,∴ cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ?

9 4 ? 25 5
3 4 ? 24 9 7 1? 16 2?
……14 分

sin ? 3 2 tan? ? ,∴ tan2? ? ∴ tan ? ? ? cos ? 4 1 ? tan2 ?

24 ?1 31 4 ? 7 ∴ tan( 2? ? ) ? ?? 。 ? 24 4 17 1 ? tan2? tan 1? 4 7

?

tan2? ? tan

?

18. (本题满分 14 分)

(2) 由三视图可得BC=4

由(1)知?ADC=900,即BC ? 平面PAC,
又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积
1 1 1 1 16 ? 所求三棱锥的体积V= ? ? AD ? CD ? BC = ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 ? ……………………… 3 2 3 2 3
……8 分 19.(本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) .由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径为 5 ,所以

4m ? 29 ? 5 ,即 4m ? 29 ? 25 .因为 m 为整数,故 m ? 1 . 5
故所求圆的方程为 ( x ?1) ? y ? 25 . …………………………………4 分
2 2

5

(Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,由于,则直线 l 的斜率为 ?

1 a

1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 a
由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上, 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ?

3 3 3 ?5 ? 。由于 ? ? , ?? ? ,故存在实数 a ? 4 4 4 ? 12 ?

使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB………………………14 分 20.(本题满分 14 分) 解: (1)由题 可知 f ( x) ? ?
?x ? ?e ,?1 ? x ? 0 2 ? ?4 x ? 4 x ? 1,0 ? x ? 1

由图可知,函数 f ( x) 在 ?? 1,1? 的单调递减区间为 ( ?1, ] ,在 ?? 1,1? 递增区间为 [ ,1] … …… 6 分 (2)数形结合思想

1 2

1 2

………10 分 当 k ? e 时, g ?x ? 有 1 个零点 ………11 分 ………12 分

当 1 ? k ? e 时, g ?x ? 有 2 个零点



1 ? k ? 1 时, g ?x ? 有 3 个零点 3 1 时, g ?x ? 有 4 个零点 3

………13 分

当0 ? k ?

………14 分

6


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