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比例的基本性质及应用


百年教育

初三数学复习资料(张文旭)5

相似图形(一)
一、考点概况
1.线段比的含义:如果选用同一长度单位得两条线段 a、b 的长度分别为 m、n,那么就说这两条线段的
a m 比是 a:b=m:n,或写成 = ,和数的一样,两条线段的比 a、b 中,a 叫做比的前项 b 叫 做比 的 b n


后项. 注意: (1)针对两条线段, (2)两条线段的长度单位相同,但与所采用的单位无关; (3)其比值为一 个不带单位的正数. 2.线段成比例及有关概念的意义:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么
a c 这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.已知四条线段 a、b、c、d,如果 = 或 a:b=c:d,那么 a、 b d

b、c、d 叫做成比例的项,线段 a、d 叫做比例外项,线段 b、d 叫做比例内项,线段 d 叫做 a、b、c 的第 四比例项,当比例内项相同时,即争
a b ? 或 a:b=b:c,那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项. b c

考点 1 线段的比 例题 1 两直角边的长分别为 3 和 4 的直角三角形的斜边与斜边上的高的比为( ) A.5:3 B.5:4 C.5:12 D.25:12 变式练习 1 如图 4—1—1, 已知直角三角形的两条直角边长的比为 a∶b=1∶2,其斜边长为 4 5 cm, 那么这个三角形的面积是_____ 图 4—1—1 考点 2 比例尺 例题 2 在比例尺为 1:8000 的南京市城区地图上,太平南路的长度约为 25 cm,它的实际长度约为( ) A.320cm B.320m C.2000cm D.2000m 变式练习 2 AB 两地的实际距离为 2500m,在一张平面图上的距离是 5cm,这张平面地图的比例尺为__________. 考点 3 成比例线段 例题 3 已知三个数 1,2, 3 ,请你再添上一个数,使它们能构成一个比例式,则这个数是_____________. 变式练习 3 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a= 2 ,b=3,c=2,d= 3 C.a=2,b= 5 ,c=2 3 ,d= 15 3.比例的性质 B.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=2,b=3,c=4,d=1

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a c b d 要注意灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式,即由 = 推出 = 等,但无论怎样变化,它们都 b d a c

保持 ad=bc 的基本性质不变.

4.黄金分割:在线段 AB 上有一点 C,若 AC:AB=BC:AC,则 C 点就是 AB 的黄金分割点.注意: 一条线段上有两个黄金分割点 5、断黄金分割的四个方法:已知线段 AB,若 C 点是黄金分割点且(AC>BC) (1) 、AC:BA=BC:AC (2) 、 AC 2 ? AB :BC

(3) 、较长部分:整体=

5 ?1 2

(4) 、较短部分:整体=

3? 5 2

6、相同的图形:______________________________ 考点 4 比例的基本性质 例题 4 已知 3x=4y,则

x = ( y

)A、

4 3

B、

3 4

C、 ?

3 4

变式练习 4 1、已知线段 a、b、c、d 满足 ab=cd,把它改写成比例式,错误的是( ) A. a∶d=c∶b B. a∶b=c∶d C. d∶a=b∶c D. a∶c=d∶b 2、若 ac=bd,则下列各式 一定成立的是( ) A.

a c ? b d

B.

a?d b?c ? d c

C.

a2 d ? b2 c

D.

ab a ? cd d

3.如图,点 A,B 是反比例函数 y ? 线段 a,b,c,d 的一个比例式

k 图像上的两点,请写出关于图中的四条 x
.

考点 5 比例的合分比性质 例题 5 已知 x:y=3:2,则下列各式中不正确的是( ) x+y 5 A、 = y 2 变式练习 5 若 3x-5y=0,则 y∶x=________, x-y 1 B、 = y 2 x 3 C、 = x+y 5 D、 x 3 = y-x 1

x? y x? y =________. ? ________ x x? y

考点 6 比例的等比性质 例题 6 已知

a?b b?c c?a ? ? ? k ,则直线 y=kx+k 一定过哪些象限?分 c a b

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变式练习 6 如果

a b c d ? ? ? ? k ,试求 k 的值 b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c

考点 7 黄金分割点的应用 例题 7 如果点 C 为线段 AB 的黄金分割点,且 AC>BC,则下列各式不正确的是( ) A.AB:AC=AC:BC B.AC= 变式练习 7 已知线段 AB,点 P 是它的黄金分割点,PA > PB , 设以 AP 为边的正方形面积为 S1 ,以 PB、AB 的矩形的 面积为 S2 ,则( ) A. S1 > S2 B. S1 = S2 C. S1 < S2 D. S1 、 S2 大小不能确
3? 5 AB 2

C、AB=

5 ?1 AC 2

D.AC≈0.61 8AB

定 考点 8 黄金分割的判定 例题 8 以长为 2 的定线段 AB 为边作正方形 ABCD,取 AB 的中点 P,连结 PD,在 BA 的延 长线上取点 F, 使 PF=PD, 以 AF 为边作正方形 AMEF, 点 M 在 AD 上 (如图 l-4-1) . (1)求 AM、MD 的长; (2)你能说明点 M 是线段 AD 的黄金分割点吗?

变式练习 8 如果一个矩形 ABCD(AB<BC)中,

AB 5 ?1 ≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以 ? BC 2

美感. 在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF,得到一个小矩形 ABFE(如图 1),请问矩形 ABFE 是否是黄 金矩形?请说明你的结论的正确性.

考点 9 形状相同的图形 例题 9 如图:已知 A(0,-2) ,B(-2,1) ,C(3,2) (1)求线段 AB、BC、AC 的长. (2)把 A、B、C 三点的横坐标、纵坐标都乘以 2,得到 A′、B′、C′的坐标, 求 A′B′、B′C′、A′C′的长. (3)以上六条线段成比例吗? (4)△ABC 与△A′B′C′的形状相同吗?

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考点 10 比例的性质的横向拓展 例题 10 已知 abc ? 0 且

a b c 3a ? 2b ? c ? ? ,求 的值 b c a a ? 2b ? 3c

变式练习 10 1、已知

a b c d a?b?c?d ? ? ? ,求 的值 b c d a a?b?c?d

?a ? b ??b ? c ??c ? a ? a?b?c a?b?c ?a?b?c ? ? x? c b a abc 2、若 a,b,c 是非零实数,并满足 ,且 ,求 x 的


3、已知

a a?c 1 1 2 ? ,求证 ? ? b c?b a b c

强化练习 巩固提高
1.如果
a a ?b 3 ? ,那么 =________. b b 5

2.若 a= 2 ,b=3,c=3 3 ,则 a、b、c 的第四比例项 d 为________. 3.若 ?
x 3

x? y?z y z ? ,则 =________. 5 7 x? y?z

4.在一张地图上,甲、乙两地的图上距离是 3 cm,而两地的实际距离为 1500 m,那么这张地图的比例尺为 ________. 5.正方形 ABCD 的一边与其对角线的比等于________. 6..在△ABC 中,D 是 BC 上一点,若 A B=15 cm,A C=10 cm,且 BD∶DC = AB∶AC,

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BD-DC =2 cm,求 B C.
7.若

AB AC ? ,且 AB =12,AC =3,AD =5,则 AE =________. AD AE
a 5 b 7 c 8

8.若 ? ? ,且 3a-2b+c=3,则 2a+4b-3c 的值是( A.14 B.42 C.7 D.


14 3

9.如图,等腰梯形 ABCD 的周长是 104 cm,AD∥BC,且 AD∶AB∶BC=2∶3∶5,则这 个梯形的中位线的长是( )cm. A.72.8 B.51 C.36.4 D.28 10.等边三角形的一边与这边上的高的比是( ) A. 3 ∶2 三、解答题 11.若点 P 在线段 AB 上,点 Q 在线段 AB 的延长线上,AB=10,
AP ΑQ 3 ? ? ,求线段 PQ 的长. BP BQ 2

B.

3 ∶1

C.2∶ 3

D.1∶ 3

12.若

a?2 b c?5 ,且 2a-b+3c=21. 试求 a∶b∶c. ? ? 3 4 6

13.已知

x x? y 4 ? ,求 . 2x 3 y

14.在同一时刻物高与影长成比例,如果一古塔在地面上的影长为 50 m,同时高为 1.5 m 的测杆的影长为 2.5 m,那么古塔的高是多少?

平行线分线段成比例

【例1】 如图, DE ∥ BC ,且 DB ? AE ,若 AB ? 5 ,AC ? 10 ,求 AE 的长。
A

D

E

B

C

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【例2】 如图,已知 AB / / EF / / CD ,若 AB ? a , CD ? b , EF ? c ,求证: ? ? .
A C E F D

1 c

1 a

1 b

B

【巩固】如图, AB ? BD , CD ? BD ,垂足分别为 B 、 D , AC 和
BD 相交于点 E , EF ? BD ,垂足为 F .证明:
1 1 1 . ? ? AB CD EF
C A E

B

F

D

【巩固】如图,找出 S?ABD 、 S?BED 、 S?BCD 之间的关系,并证明你的结论.
C E F D

A

B

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