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山东省实验中学2015届高三第三次诊断考试数学理试卷


山东省实验中学 2015 届高三第三次诊断考试 数学(理)试题
2014.12 说明:试题分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 5 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题(本题包括 10 小题

,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项 符合题意) ...... 1.已知 M ? x x ? 3 ? 4 , N ? x ? A. ? B. ?0?
a

?

?

? x ?1 ? ? 0, x ? Z ? , M ? N ? ?x?2 ?
D.

C.

?2?

? x 2 ? x ? 7?

2.幂函数 f ? x ? ? k ? x 的图象过点 ?

?1 2? ,则 k ? ? ? ?2, 2 ? ? ? ?
D.2

A.

1 2

B.1

C.

3 2

3.已知向量 a ? ?1,3? , b ? ? ?2, m ? ,若 a与a ? 2b 垂直,则 m 的值为 A. 1 B. ?1
2

C. ?

1 2

D.

1 2

4.圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 被直线 x ? y ? 0 分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为 A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5

5.等比数列 ?an ?中,a3 ? 6 ,前三项和 S3 ? A.1 6.复数 z ? B. ?

?

3

0

4 xdx ,则公比 q 的值为
1 2

m ? 2i ( m ? R, i 是虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于 1 ? 2i
B.第二象限 D.第四象限

1 2

C. ?1或 ?

1 2

D. 1或 ?

A.第一象限 C.第三象限

7.直线 y ? x ? 1 与双曲线 x ?
2

y2 ? 1? b ? 0 ? 有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是 b2

A. 1, 2

?

?

B.

?

2, ??

?

C. ?1, ?? ?

D. 1, 2 ?

?

? ?

2, ??

?

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8. 若函数 f ? x ? ? ? k ? 1? a ? a
x

?x

( a ? 0,且a ? 1 )在 R 上既是奇函数,又是减函数,则

g ? x ? ? log a ? x ? k ? 的图象是

9. 设 偶 函 数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ? 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , ? KLM 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,

?1? ?KML ? 90 , KL ? 1,则f ? ? 的值为 ?3?
A. ?

3 4

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

3 4

10.已知函数 f ? x ? ? ?

x ? ? x ? 0? 1 ?2 ? 1, ,把函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 的偶数零点按从小到 2 ? ? f ? x ? 2 ? ? 1, ? x ? 0 ?

大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 S n,则S10 = A.45 B.55 C.90 D.110

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡指定横线上.) 11.由 y ?

1 , x ? 1, x ? 2, y ? 1 所围成的封闭图形的面积为______________. x

?y ? x ? 12. 已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域的面积为 9,点 P ? x, y ? 在所给平面区域内,则 ?x ? a ?
z ? 3 x ? y 的最大值为_____________.
13.已知离心率为

x2 y 2 3 5 ? 1? a ? 0 ? 的左焦点与抛物线 y 2 ? mx 的焦点重 的双曲线 C: 2 ? a 4 5

合,则实数 m ? ____________. 14. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1, an ? 25,则n ? d 的最小值等于
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___________. 15.定义函数 d ? x ? ? ?

?1, x ? Q , f ? x ? ? 1gx, 那么下列命题中正确的序号是_________.(把所 ?0, x ? Q

有可能的图的序号都填上). ①函数 d ? x ? 为偶函数;②函数 d ? x ? 为周期函数,且任何非零实数均为其周期; ③方程 d ? x ? ? f ? x ? 有两个不同的根. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本题满分 12 分) 已知向量 a ? ? sin

? ?

x x? x x? ? , cos ? , b ? ? cos , 3 cos ? ,函数 f ? x ? ? a ? b . 3 3? 3 3? ?

(I)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (II)如果 ?ABC 的三边 a、b、c 满足 b 2 ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及函数

f ? x ? 的值域.
17. (本题满分 12 分) 如图所示,四边形 OABP 是平行四边形,过点 P 的直线与射线 OA、OB 分别相交于点 M、N, 若 OM ? xOA, ON ? yOB . (I)建立适当基底,利用 NM / / MP ,把 y用x 表示出(即求 y ? f ? x ? 的解析式) ; (II)设数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足: S n ? f ? S n ?1 ?? n ? 2 ? ,求数列 ?an ? 通项 公式.

18. (本题满分 12 分) 已知直线 l : y ? x ? m, m ? R . (I)若以点 M ? 2, ?1? 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 x 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线 l ? 与抛物线 C: x 2 ? 的方程.

1 y 相切,求直线 l 的方程和抛物线 C m

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19. (本题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 S n ,若 S5 ? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成等比数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?

20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 ? ln x . x

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在区间 ? t , t ?

? ?

1? ? ? t ? 0 ? 上不是单调函数,求实数 t 的取值范围; 2?
a 恒成立,求实数 a 的取值范围. x ?1

(III)如果当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ? 21. (本题满分 14 分)

定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的 .如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 是相 似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴长是 4,椭 a 2 b2

圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1? m ? n ? 0 ? 短轴长是 1,点 F1 , F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点. m2 n2

(I)求椭圆 C1,C2 的方程; (II)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M,N,求 ?F2 MN 面积的最大值.

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