当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

微积分在物理竞赛中的应用整理-人教版


1

2

3

4

5

6

求解在立体斜面上滑动的物体的速度
一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩擦因数 ? 恰好满足 ? ? tg? ,? 为斜面的倾角。 今使物体获得一水平速度 V0 而滑动,如图一, 求: 物体在轨道上任意一点的

速度 V 与 ? 的关 系,设 ? 为速度与水平线的夹角。 解:物体在某一位置所受的力有:重力 G , 弹力 N 以及摩擦力 f 。摩擦力 f 总是与运动速度 V 的方向相反,其数值

?

?

?

?

f ? ?N ? ?mgcos? ? tg?mgcos? ? mgsin ?
重力在斜面上的分力为 G1 ,如图二,将 G1 分解为两个分力: 1? 是 G1 沿轨迹切线方向的分 G?

?

?

?

7

? 力 , G1? ? G1 s i? n mgs i?n i? n ? s
? G1 ? G1 cos? ? mgsin ? cos? ,如图三。
根据牛顿运动定律,得运动方程为

? ; G1 是 沿 轨 迹 法 向 的 分 力 ,

?

? G1? ? f ? ma? ? G1 ? man
由(1) ,

(1) (2)

a? ?


1 (mg sin ? sin ? ? mg sin ? ) ? g sin ? (sin ? ? 1) m dV , 得到 dt
(3)

a? ?

dV ? g sin ? (sin? ? 1)dt,

式中 ? 是 t 的函数,但是这个函数是个未知函数,因此还不能对上式积分,要设法在 ? 与 t 中消去一个变量,才能积分,注意到

dt ?

dS 1 ds ? d? V V d?

(4)



ds 表示曲线在该点的曲率半径 ? ,根据(2)式, d?

m gsin ? cos? ? m

V2

?

(5)

由式(3) (5) (4) ,可得到

dV ? (tg? ? sec ? )d? , V V dV ? ? ? (tg? ? sec ? )d? , ?V0 V 0
积分,得到

ln

V ? ? ln cos? ? ln(sec? ? tg? ) ? ? ln(1 ? sin ? ) , V0 V0 . 1 ? sin ?

V?

8

运用积分法求解链条的速度及其时间

一条匀质的金属链条,质量为 m,挂在一个光滑的钉子上,一边长度为 L1 ,另一边长 度为 L2 , 而且 0 ? L2 ? L1 ,如图一。试求: 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。 解:设金属链条的线密度为 ? ?

m . 当一边长度为 L1 ? L2

L1 ? x ,另一边长度为 L2 ? x 时受力如图二所示,则根据牛
顿运动定律,得出运动方程

( L1 ? x)?g ? T ? ( L1 ? x)?a, T ? ( L2 ? x)?g ? ( L2 ? x)?a.
则a ?

( L1 ? L2 ) ? 2 x g. L1 ? L2
dV dV dx VdV ? ? ,所以 dt dx dt dx

因为 a ?

VdV ( L1 ? L2 ) ? 2 x ? g, dx L1 ? L2

?

V

0

VdV ? ?

x

0

( L1 ? L2 ) ? 2 x gdx L1 ? L2

V?

2g ( L1 ? L2 ) x ? x 2 . L1 ? L2

令 x ? L2 , 可以求得链条滑离钉子时的速度大小

V ?

2 L1 L2 g L1 ? L2

再由 V ?

dx , 得到 dt

dx ? dt

2g ( L1 ? L2 ) x ? x 2 L1 ? L2

9

?

x

dx (L1 ? L2)x ? x
2

0

??

t

0

2g dt, L1 ? L2

积分,得到
x ln[2 x ? ( L1 ? L2 ) ? 2 ( L1 ? L2 ) x ? x 2 ] 0 ?

2g t, L1 ? L2
2g t, L1 ? L2

ln

2 x ? ( L1 ? L2 ) ? 2 ( L1 ? L2 ) x ? x 2 L1 ? L2

?

令 x= L2 ,可以求得链条滑离钉子所需的时间为

t?

L1 ? L2 L1 ? L2 ? 2 L1 L2 ln ? 2g L1 ? L2

L ? L2 L1 ? L2 ln 1 . 2g L1 ? L2

求解棒下落过程中的最大速度

在密度为 ?1 的液体上方有一悬挂的长为 L,密度为 ? 2 的均匀直棒, 棒的下端刚与液面接 触。今剪断细绳,棒在重力和浮力的作用下下沉,若 ?1 ? 棒下落过程中的最大速度。 解:剪断细绳后,直棒在下沉过程中受到重力 G 和 浮力 F 的作用,如图一所示。根据牛顿运动定律,有

? 2 ,求:

?

?

mg ? F ? m

dV . dt

(1)

随着棒往下沉,浮力逐渐增大。当直棒所受合力为 零,即 F ? m g 时,棒的加速度为零,速度最大。设棒 达到最大速度时,棒浸入液体中的长度为 L1 ,设棒的截 面积为 S,则有

?1 SL1 g ? ? 2 SLg,
解得,

10

L1 ?

?2 L. ?1

(2)

取 x 坐标如图所示,则(1)式可以写为

dV . dt dV dV dx dV ? ?V , 代入上式,得到 做变量代换,令 dt dx dt dx

? 2 SLg ? ?1 Sxg ? ? 2 SL

(1 ?

x ?1 ) gdx ? VdV ; L ?2
V1 x ?1 )gdx ? ? VdV 0 L ?2

两边积分,得到

?

L1

0

(1 ?

得到, gL1 ?

?1 g 1 2 1 ( L1 ) ? V12 ?2 L 2 2

将(2)式代入(3)式,得棒的最大速度为 V1 ?

?2 Lg . ?1

运用微分法求解阻尼平抛

质量为 m 的物体,以初速为 V0 ,方向与地面成 ? 0 角抛出。如果空气的阻力不能忽略, 并设阻力与速度成正比,即 f ? ?kV ,k 为大于零的常数。求: 物体的运动轨道。 解:根据受力情况,列出牛顿运动定律方程

?

?

? ? ? mg ? f ? ma
其分量式, f x ? ?kVx ? max , (1) (2)

mg ? kVy ? may
将 ax ?

dVx 代入式(1) ,得 dt dVx , dt

? kVx ? m

11

改写成

dVx k ? ? dt, Vx m
k ? t m

?

Vx

V0 x

t dVx k ? ? ? dt, 0 Vx m

两边积分,得到

Vx ? V0 x e
Vx ?

? V0 cos? ? e

k ? t m

.

可见由于空气阻力的存在,x 方向的速度不再是常数,而随时间逐渐衰减。由于

dx , 再积分,并以 t=0 时 x=0,代入得到 dt
? t ? t V m V cos? 0 x ? 0 x (1 ? e m ) ? 0 (1 ? e m ). k k k k

(3)

同理,由于 a y ?

dVy dt

, 式(2)转化为

dVy dt

?g?

dVy k k k mg ? ? dt. Vy ? ( ? V y ), mg m m m k ? Vy k

积分,并以 t=0 时, Vy ? V0 y ? V0 sin ? 0 代入,得到

V y ? (V0 sin ? 0 ?

m g ? mt m g )e ? . k k

k

可见,y 方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分,并以 t=0 时 y=0 代入, 得到
? t m mg mg y ? (V0 sin ? 0 ? )(1 ? e m ) ? t. k k k k

(4)

由(3) (4)两式消去 t,得到有阻力时的轨道方程

y ? (tg? 0 ?

mg m2 g k m2 g k ) x ? 2 ln(1 ? ) x ? 2 ln(1 ? x). kV0 cos? 0 mV0 cos? 0 mV0 cos? k k

12

显然由于空气阻力的作用,抛体的轨道不再是简单的抛物线了,实际轨道将比理想轨

道向左下方偏离,如图一。 例如:以初速 620m/s,仰角 45 发射的步枪子弹的射程,没有空气阻力时应为 40km,而 实际射程只有 4km.
0

求解飞机的滑行距离

飞机以 V0 的水平速度触地滑行着陆。 滑行期间受到空气的阻力为 C xV 2 , 升力为 C yV 2 , 其中 V 是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为 ? ,试求: 飞机从触地到停止所滑行的距离。 解:取飞机触地点为 坐标原点,取飞机滑行方 向为 x 轴。飞机在水平方 向上受力为:摩擦力

f ? ?N , 空 气 阻 力 为

f ? ? C xV 2 ;在竖直方向
上受力为:重力、支持力 和 升 力 F ? C yV , 如 图
2

一所示,应用牛顿第二定 律,得到

? ?N ? C xV 2 ? m

dV dt

N ? C yV 2 ? mg ? 0.
由上两式消去 N,得到
13

dV ? ? ?mg ? (C x ? ?C y )V 2 . dt dV dV dx dV ? ?V , 利用 dt dx dt dx dV ? ? ?mg ? (C x ? ?C y )V 2 . 得到 mV dx m
分离变量,积分

?

V

V0

x mVdV ? ? ? dx, 2 0 ?mg ? (C x ? ?C y )V

?m g ? (C x ? ?C y )V 2 m ln[ ]. 得到 x ? ? 2(C x ? ?C y ) ?m g ? (C x ? ?C y )V02
在飞机触地的瞬间, V ? V0 , 支持力 N=0,由运动方程,得到

C yV02 ? mg.
于是 x ? ?

C yV02 2 g (C y ? ?C y )

ln[

?C yV02 ? (C x ? ?C y )V 2
C xV02

].

这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。 社 V0 ? 90km / h, x=221m.

Cy Cx

, ? 5 (升阻比) ? ? 0.10 。代入数值计算后,得到

求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题

两小球的质量均为 m,小球 1 从离地面高度为 h 处由静止下落,小球 2 在小球 1 的正 下方地面上以初速 V0 同时竖直上抛。 设空气阻力与小球的运 动速率成正比,比例系数为 k(常量)。试求: 两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。 解:两小球均受重力和阻力作用,取坐标如图一所示, 两小球的运动方程可统一表示为

m

d2y ? ?kV ? m g, dt 2

它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的, 故

dV k ? ? V ? g, dt m
分离变量

14

dV k ? V ?g m

? dt .

对于小球 1,初始条件为 t ? 0 时, V10 ? 0, y10 ? h, 故

?

V1

0

t dV ? ? dt , 0 k ? V ?g m

? t mg V1 ? ? (1 ? e m ). k

k

(1)

对于小球 2,初始条件是 t=0 时, V20 ? V0 , y20 ? 0, 故

?

V1

V0

t dV ? ? dt , 0 k ? ?g m

? t mg mg 得到 V2 ? V0 ? ( )e m ? . k k

k

(2)

由(1)式,得到

? t dy1 mg ?? (1 ? e m ), dt k

k

? t mg dy1 ? ? (1 ? e m )dt k

k

?

y1

h

? t mg dy1 ? ? ? (1 ? e m )dt 0 k t

k

积分,得到

y1 ? h ?

? t m2 g mg (1 ? e m ) ? t. 2 k k

k

由式(2)得到

dy2 m g ? mt m g ? (V0 ? )e ? , dt k k dy2 ? [(V0 ? m g ? mt m g )e ? ]dt k k
k

k

15

?

y2

0

m g ? mt m g dy2 ? ? [(V0 ? )e ? ]dt 0 k k
t

k

积分,得到

y2 ?

m m g ? mt m g (V0 ? )e ? t k k k
*

k

两小球相遇时, y1 ? y 2 , 相遇时间为 t ,由(3(4)两式,得到

h?

? t* ? t* m kh V0 (1 ? e m ) , e m ? 1 ? , k mV0

k

k

故t ? ?
*

m kh ln(1 ? ), k m V0

把上述结果代入(3)或者(4) ,得到两小球相遇的地点

mg m2 g kh y ? (1 ? )h ? 2 ln(1 ? ). kV0 m V0 k
*

代入(1) ,得到两小球相遇时的速度 (2)

V1* ? ?

mg kh gh [1 ? (1 ? )] ? ? ; k m V0 V0

V2* ? (V0 ?

mg kh mg gh kh )(1 ? )? ? (V0 ? ) ? . k m V0 k V0 m

讨论: (1)当阻力很小时,即当 k ? 0 时,利用展开式

x2 ln(1 ? x) ? ? x ? , 2
上述结果简化为

t* ?

h * gh gh gh ;y ? h? ;V1* ? ? ,V2* ? V0 ? . 2 V0 V0 V0 2V0

这正是不考虑空气阻力时的结果。 (2)当考虑如提设的空气阻力时,由上述结果可知,只在下述条件下

mV0 ? kh, 或者 V0 ?

kh , m

两小球才有可能相遇。

在非惯性系中求解球环系统的运动情况
一轻绳的两端分别连接小球 A 和小环 B,球与环的质量相等,小环 B 可在拉紧的钢丝 上作无摩擦的滑动,如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求:

16

小球摆离铅垂线的最大角度 ? 时小环和小球的加速度。 解:当小球摆动时,小环沿钢丝做加速运动。以小环 B 为参考系,则小球受重力和绳 子 拉 力外 , 还受 惯性 力

F惯 ? maB 的作用,如图二。其
加速度 a ? 沿圆弧的切线方向。 A 在最大摆角为 ? 时的运动方程 为

T ? F惯 sin ? ? mgcos? ? 0, mgsin ? ? F惯 cos? ? ma? A
小环 B 在水平方向的运动方程为 T sin ? ? maB . 解方程,得到

aB ?
小 球

g sin 2? 2 g sin ? 。 , a? ? A 2 2(1 ? sin ? ) (1 ? sin 2 ? )
A 相 对 地 的 加 速 度

? ? ? a A ? a ? ? aB ,取如图二所示的坐标系, A
则有

a Ax ? a ? cos? ? a B ? A

sin 2? g, 2(1 ? sin 2 ? )

a Ay ? a ? sin ? ? A

2 sin 2 ? g. (1 ? sin 2 ? )

17


相关文章:
微积分在物理竞赛中的应用整理-人教版
3页 免费 微积分在物理竞赛中的应用 暂无评价 27页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
微积分在物理竞赛中的应用整理-人教版
(sin φ 1)dt , 式中 φ是 t 的函数,但是这个函数是个未知函数,因此还不能对积分,要设法在 φ与 t 中消去一个变量,才能积分,注意到 dt = dS 1...
微积分在物理竞赛中的应用
微积分在物理竞赛中的应用_物理_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 微积分在物理竞赛中的应用_物理_自然科学_专业资料。求解在立体斜面上滑动...
专题:微积分在物理竞赛中的应用
专题:微积分在物理竞赛中的应用_其它考试_资格考试/认证_教育专区。智浪教育—普惠英才文库 专题:微积分在物理竞赛中的应用求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体...
微积分在物理竞赛中的应用
微积分在物理竞赛中的应用_理学_高等教育_教育专区。物理竞赛金牌资料求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩擦因数 ? 恰好满足 ? =...
微积分与物理竞赛
Sslgz 物理奥赛培训讲义 专题: 专题:微积分在物理竞赛中的应用求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩擦因数 ? 恰好满足 ? = tgα...
微积分在物理学中的应用
2.微积分在物理中的应用: 微积分作为数学的一门分支学科,在物理学中有着非常重要的应用价值。 尤其是在大学物理中, 微积分作为一种分析连续过程累积的方法已经...
高中物理中的微积分思想
高中物理中的微积分思想_理化生_高中教育_教育专区...下面将高考中体现微积分思想的三个试题加以整理与...对金属杆应用动量定理可得: I=0-mV0 ②由①②两...
微积分在高中物理中的应用
微积分在高中物理中的应用_高二理化生_理化生_高中教育_教育专区。微积分在高中物理中的应用 一、非匀变速直线运动的位移计算 一小球以速度 v 做直线运动,其速度...
更多相关标签:
高中物理竞赛微积分 | 物理竞赛微积分 | 人教版九年级物理竞赛 | 大一微积分笔记整理 | 2016浙江省微积分竞赛 | 浙江省微积分竞赛 | 16年浙江省微积分竞赛 | 浙江省微积分竞赛官网 |