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2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细解答


2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
(考试时间:2010 年 9 月 4 日上午 10:00—11:20) 二 题号 得分 评卷人 复核人 一 1 2 3 合计

注意事项: 注意事项: 1.本试卷共二大题,全卷满分 120 分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超出装订线。 4.不能使用计算器。 小题, 把答案填在横线上. 一

、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 填空题: 1.方程 log π x + sin x = 2 在区间 (0,
2

π
2

] 上的实根个数为_________________.

2.设数列 8 × ( ) n1 的前 n 项和为 Sn ,则满足不等式 | S n 6 |< _________________. 3.已知 n ( n ∈ N , n ≥ 2 )是常数,且 x1 , x2 ,L , xn 是区间 0, 数



1 3



1 的最小整数 n 是 125

π 内任意实数,则函 2

f ( x1 , x2 ,L , xn ) = sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + L + sin xn cos x1 的 最 大 值 等 于

_________________. 4.圆周上给定 10 个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在 圆内一共有_________________个交点. 5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在

n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
6. 设 O 是 平 面 上 一 个 定 点 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

uuur uuu r uuu r r AC uuu AB r OP λ uuur = OA + λ uuu ,其中 λ ∈ [0, +∞) ,则点 P 的轨迹为_________________. | AC | | AB |
7.对给定的整数 m ,符号 ( m) 表示 {1, 2,3} 中使 m + ( m) 能被 3 整除的唯一值,那么

(22010 1) + (22010 2) + (22010 3) = _________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边 a ,b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体 的体积依次为 Va , Vb , Vc ,则 Va + Vb 与 (2Vc ) 的大小关系是_________________.
2 2 2

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 1.(本小题满分 16 分) 是否存在实数 a , 使直线 y = ax + 1 和双曲线 3 x y = 1 相交于两点 A 、B , 且以 AB
2 2

为直径的圆恰好过坐标系的原点? 2.(本小题满分 20 分) 求 证 : 不 存 在 这 样 的 函 数 f : Z → {1, 2,3} , 满 足 对 任 意 的 整 数 x , y , 若

| x y |∈ {2,3,5} ,则 f ( x) ≠ f ( y ) .
3.(本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 ,求证: 9abc ≤ ab + bc + ca ≤

1 (1 + 9abc) 4

2010 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
一、填空题 则 1.设 f ( x) = log π x + sin x 2 , f ′( x ) =
2

1 x ln

π
2

+ cos x , 0 < x ≤ ∵

π
2

, 0 ≤ cos x < 1 , ∴

又 0 < ln

π

< 1 ,∴ f ′( x) > 0 ,即在区间 (0, ] 上单调递增,故方程 log π x + sin x = 2 在区 2 2 2

π

间 (0,

π
2

] 上有且只有一个实根.

2. 易 知 数 列 8 × ( ) n1 是 首 项 是 8 , 公 比 是



1 3



1 的 等 比 数 列 , ∴ 3

1 8[1 ( ) n ] 3 = 6 6( 1 ) n , 于 是 | S 6 |< 1 2 < 1 3n 1 > 250 , ∵ Sn = n 1 3 125 3n 1 125 1 ( ) 3 35 = 243 < 250 , 36 = 729 > 250 ,故最小整数 n 是 7.
3.∵ ab ≤

a2 + b2 , 2

∴ f ( x1 , x2 ,L , xn ) = sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + L + sin xn cos x1



sin 2 xn + cos 2 x1 sin 2 x1 + cos 2 x2 sin 2 x2 + cos 2 x3 + +L+ 2 2 2

(sin 2 x1 + cos 2 x1 ) + (sin 2 x2 + cos 2 x2 ) + L + (sin 2 xn + cos 2 xn ) = 2 =
n , 2 n . 2

故所求函数的最大值等于

4. 圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的 个数与每两条弦的交点数相等,故有 C10 =
4

10 × 9 × 8 × 7 = 210 个交点. 1× 2 × 3 × 4

2n + 2(1)n 5. 3 2n

uuur uuu r uuu r uuur uuu r r uuu uuu r r AC uuu AB AB AC r r 6. ∵ OP λ uuur = OA + λ uuu ,∴ OP OA = +λ ( uuu + uuur ) , | AC | | AB | | AB | | AC |

uuu r uuur uuu r uuur uuu r AB AC AB AC r r 即 AP = λ ( uuu + uuur ) ,又 uuu , uuur 为单位向量,由向量加法的平行四边形法则, | AB | | AC | | AB | | AC |
知点 P 的轨迹为 ∠BAC 的平分线. 7.由二项式定理知, 22010 = 41005 = (3 + 1)1005 = 3 p + 1 ,即 22010 被 3 除余 1, ∴ (22010 1) = 3 , (22010 2) = 1 (22010 3) = 2 , 故 (2
2010

1) + (2 2010 2) + (2 2010 3) = 6 .
2

8. ∵ Va + Vb = (
2

π

b 2 a ) 2 + ( a 2b ) 2 = a 2b 2 ( a 2 + b 2 ) = a 2b 2 c 2 , 3 3 9 9 4π 2 ab 4 2 4π 2 a 4b 4 ( ) c = 2 , 9 c 9 c

π

π2

π2

(2Vc ) 2 = (2

π
3

h 2 (a′ + b′)) 2 =

∴作商,有 二、解答题

Va 2 + Vb 2 c4 (a 2 + b 2 ) 2 (2ab) 2 = 2 2 = ≥ = 1 ,故 Va 2 + Vb 2 ≥ (2Vc ) 2 . 2 2 2 2 2 (2Vc ) 4a b 4a b 4a b

1.解:设交点 A 、 B 的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,由

y = ax + 1

2 2 3x y = 1

消去 y ,得

(3 a 2 ) x 2 2ax 2 = 0 ,
由韦达定理,得 x1 + x2 =

x1 x2 =

2 , ② 3 a2

2a , ① 3 a2

∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴ OA ⊥ OB , ∴ x1 x2 + y1 y2 = 0 , 即 x1 x2 + ( ax1 + 1)( ax2 + 1) = 0 ,整理,得 ( a + 1) x1 x2 + a ( x1 + x2 ) + 1 = 0
2

uuu r

uuu r



将①②代入③,并化简得

1 a2 = 0 ,∴ a = ±1 , 3 a2

经检验, a = ±1 确实满足题目条件,故存在实数 a 满足题目条件. 2.证明:假设存在这样的函数 f ,则对任意的整数 n ,设 f ( n) = a , f ( n + 5) = b ,其中

a, b ∈ {1, 2,3} ,由条件知 a ≠ b .

由 于 | ( n + 5) ( n + 2) |= 3 , | n ( n + 2) |= 2 , ∴ f (n + 2) ≠ a 且 f ( n + 2) ≠ b , 即

f (n + 2) 是 {1, 2,3} 除去 a , b 后剩下的那个数,不妨设 f (n + 2) = c
又由于 | ( n + 5) ( n + 3) |= 2 , | n ( n + 3) |= 3 ,∴ f ( n + 3) = f ( n + 2) . 以 n + 1 代替 n , f ( n + 4) = f ( n + 3) = f ( n + 2) , 得 但这与 | ( n + 4) ( n + 2) |= 2 矛盾! 因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 3.证明:先证左边的不等式. ∵ a + b + c = 1, ∴ ab + bc + ca = ( ab + bc + ca )( a + b + c) = a 2b + ab 2 + b 2 c + bc 2 + a 2 c + ac 2 + 3abc

≥ 6abc + 3abc = 9abc
再证右边的不等式. 不妨设 a ≥ b ≥ c ,注意到条件 a + b + c = 1 ,得

1 4(ab + bc + ca ) + 9abc = (a + b + c)3 4(a + b + c)(ab + bc + ca ) + 9abc = a (a b)(a c) + b(b a )(b c) + c(c a )(c b) = (a b)[a (a c) b(b c)] + c(c a )(c b) ≥ 0 ,
1 (1 + 9abc) , 4 1 综上, 9abc ≤ ab + bc + ca ≤ (1 + 9abc ) . 4
所以 ab + bc + ca ≤


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